ББК 22.193 мзо УДК 519.6(075.8) Марчук Г. И. Методы вычислительной математики: Учеб. пособие.— 3-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.—608 с.— ISBN 5-02-014222-0 Содержит изложение численных методов решения задач математической физики. Основное внимание уделяется сложным задачам математической физики, которые в процессе решения сводятся, как правило, к более про- стым, допускающим реализацию алгоритмов на ЭВМ. Рассмотрены многие современные подходы к численным методам. 2-е изд.—1980 г. Для студентов старших курсов и аспирантов по специальности «Приклад- ная математика». Может представлять интерес для научных работников в области вычислительной математики. Табл. 10. Ил. 34. Библиогр. 767 назв. Учебное издание МАРЧУН Гурий Иванотч. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ Заведующий редакцией Е. Ю. Ходам Редактор В. И. Алошков. Художественный редактор Т. Н. Яольчеяко Технический редактор С. Я. Шкляр. Корректоры И. Я. Нришталь, Л. С. Сомова ИВ N, 32852 Сдано в набор 10.03.89. Подписано к печати 04.t0.89. Формат 60х90/16. Бумага тип. М 1. Гарнитура обыкновенная. Печать высокая. Уел. печ. л. 38. Усл. кр.-отг. 38. Уч.-изд. л. 39,01. Тираж 27600 экз. Заказ Л» 2734. Цена 1 р. 60 к. Ордеаа Трудового Красного Знамени издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15 2-я типография издательства «Наука» 121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6 1602120000-134 м 053(02)-89 5"09 ISBN 5-02-014222-0 © Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1977, с изменениями, 1980, с изменениями, 1989 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к третьему изданию ................. 7 Указатель обозначений ..................... 10 Введение ............................. 11 Глава 1. Общие сведения из теории разностных схем ..... 19 1.1. Основные понятия и определения ............. 19 I.I.I. Оценки норм некоторых матриц (2*). 1.1.2. Вычисление границ спектра положительной матрицы (25). 1.1.3. Собственные числа и функции оператора Лапласа (33). 1.1.4. Сетки и сеточные функции. Собственные числа и векторы конечно-разностного аналога оператора Лапласа (35). 1.2. Аппроксимация . ................... 41 1.3. Счетная устойчивость .................. 49 1.4. Теорема сходимости ................... 57 1.5. Конечно-разностные аналоги некоторых задач математиче- ской физики ....................... 59 1.5.1. Задача Дирихле для одномерного уравнения Пуассона (59). 1.5.2. Одномерная задача Неймана (62). 1.5.3. Двумерное урав- нение Пуассона (65). 1.5.4. Проблема граничных условий (70). 1.5.5. Уравнение теплопроводности (72). 1.5.6. Уравнение коле- баний (76). 1.5.7. Уравнение движения (80). Глава 2. Методы построения разностных схем для дифференци- альных уравнений .................. 88 2.1. Вариационные методы в математической физике ...... 89 2.1.1. Некоторые задачи вариационного исчисления (89). 2.1.2. Метод Ритца (96). 2.1.3. Метод Галёркина (101). 2.1.4. Метод наименьших квадратов (105). 2.2. Построение базисных функций для решения одномерных задач ..... .................... 107 2.2.1. Кусочно-постоянные финитные функции (107). 2.2.2. Ку- сочно-линейные базисные функции (109). 2.2.3. Общий подход к построению подпространств кусочно-полиномиальных функций (113). 2.2.4. Построение базиса на основе тригонометрических функций и использование его в вариационных методах (116). 2.3. Построение базисных функций для решения многомерных задач ................. ......... 122 2.3.1. Кусочно-линейные функции на прямоугольнике (122). 2.3.2. Кусочно-линейные базисные функции на прямоугольной обла- сти (124). 2.3.3. Билинейные базисные функции (126). 2.3.4. Способы построения подпространств в областях с криволинейной границей (128). 2.3.5. Способы построения подпространств F h для многомерных задач (131). ' 2.4. Вариационно-разностные и проекционно-сеточные схемы 133 2.4.1. Вариационно-разностная схема для одномерного уравнения диф- фузии (13i). 2.4.2. Вариационно-разностная схема для эллиптиче- ского уравнения (139). 2.4.3. Проекпионно-сеточная схема для эл- липтического уравнения (1,3). 2.4.4. Решение третьей краевой за- дачи для эллиптического уравнения второго порядка (147) 245 Метод штрафа (151). 2.5. Метод интегральных тождеств .............. 152 2_5.1. Построение разностных уравнений для задач с разрывными ко- »ффициентами на основе интегрального тождества (162) 262 Вариационная форма интегрального тождества (160). 2.6. Построение схем для нестационарных задач проекционно-се- точным методом ..................... 169 Глава 3. Интерполяция сеточных функций ........... 173 3.1. Интерполяция функций одного переменного ........ 174 3.1.1. Интерполяция функций одного переменного с помощью куби- ческих сплайнов (174). 3.1.2. Кусочно-кубическая интерполяция со сглаживанием (178). 3.1.3. Гладкие восполнения (181). 3.1.4. Сходимость сплайн-функций (182). 3.2. Интерполяция функций двух и многих переменных . . . 184 3.3. г-гладкое приближение функций многих переменных . . . 187 3.4. Элементы общей теории сплайнов ............. 193 Глава 4. Методы решения стационарных задач математической физики ....................... 199 4.1. Общие понятия теории итерационных методов ....... 200 4.2. Некоторые итерационные методы и их оптимизация . . . 202 4.2.1. Простейший итерационный метод (202). 4.2.2. Сходимость и оптимизация стационарных итерационных методов (205). 4.2.3. Метод последовательной верхней релаксации (208). 4.2.4. Чебы- шевский итерационный метод (213). 4.2.5. Сравнение скорости сходимости итерационных методов для систем разностных уравнений (222). 4.3. Нестационарные итерационные методы .......... 224 4.3.1_ Теоремы сходимости (224). 4.3.2. Метод минимальных невязок (227). 4.3.3. Метод сопряженных градиентов (228). 4.4. Метод расщепления . . . ................ 234 4.4.1. Коммутативный случаи (237). 4.4.2. Некоммутативный слу- чай (241). 4.4.3. Вариационная и чебышевская оптимизация мето- дов расщепления (246). 4.5. Итерационные методы для систем с вырожденными матрица- ми ........................... 251 4.5.1. Случай совместной системы (251). 4.5.2. Случай несовмест- ной системы (253). 4.5.3. Метод фиктивных областей (255). 4.6. Итерационные методы при неточных входных данных . . . 259 4.7. Прямые методы решения конечно-разностных уравнений 261 4.7.1. Быстрое преобразование Фурье (261). 4.7.2. Метод цикли- ческой редукции (266). 4.7.3. факторизация разностных уравне- ний (268). 4.8. Асимптотический анализ алгоритмов решения задач . . . 279 4.8.1. Оценки некоторых алгоритмов линейной алгебры (280). 4.8.2. Анализ вычислительных алгоримов решения модельной задачи (282). Глава 5. Методы решения нестационарных задач ........ 290 5.1. Разностные схемы второго порядка аппроксимации с опера- торами, зависящими от времени ............. 290 5.2. Неоднородные уравнения эволюционного типа ....... 293 5.3. Методы расшепления нестационарных задач ....... 294 5.3.1. Метод стабилизации (295). 5.3.2. Метод предиктор-корректор (299). 5.3.3. Метод покомпонентного расщепления (303). 5.3.4. Некоторые общие замечания. Попеременно-треугольный метод (308). 5.4. Многокомпонентное расщепление задач .......... 312 5.4.1. Метод стабилизации (312) 5.4.2. Метод предиктор-корректор (314). 5.4.3. Метод покомпонентного расщепления на основе эле- ментарных схем (316). 5.4.4. Расщепление квазилинейных задач (321). 5.5. Общий подход к покомпонентному расщеплению ...... 322 5.6. Методы решения уравнений гиперболического типа . . . 327 5.6.1. Метод стабилизации (327). 5.6.2. Сведение уравнения колеба- ний к эволюционной вадаче (330). 5.7. Методы решения многомерного уравнения движения и урав- нения переноса ..................... 335 5.7.1. Двумерное уравнение движения с переменными коэффициента- ми (336). 5.7.2. Многомерное уравнение движения (340). 5.7.3. Нестационарное уравнение переноса нейтронов (3-6). 5.8. Асимптотический анализ и распараллеливание алгоритмов решения простейшего уравнения диффузии ........ 359 Глава 6. Повышение точности приближенных решений по Ри- чардсону ...............••••••• 366 6.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка 366 6.2. Общие результаты . . ................. 361 6.2.1. Теорема о разложении (372). 6.2.2. Ускорение сходимости (378). 6.3. Простейшие интегральные уравнения ........... 384 6.3.1. Уравнение Фредгольма второго рода (384). 6.3.2. Уравнение Вольтерра первого рода (387). 6.4. Одномерное уравнение диффузии ............. 389 6.4.1. Разностный метод (390). 6.4.2. Метод Галёркина (392). 6.5. Нестационарные задачи ................. 399 6.5.1. Уравнение теплопроводности (399). 6.5.2. Метод расщепле- ния для эволюционной задачи (404). 6.6. Экстраполяция Ричардсона для многомерных задач . . . 406 Глава 7. Методы Шварца и разделения области ........ 411 7.1. Метод Шварца . . ............. ...... 412 7.1.1. Формулировка метода (411). 7.1.2. Сходимость метода (414). 7.2. Метод разделения области ................ 418 7.2.1. Алгоритмы метода разделения области (418). 7.2.2. Сходи- мость алгоритмов (423). 7.2.3. Распараллеливание процесса реше- ния задач (427). 7.3. Метод разделения области в нестационарных задачах . . . 430 7.4. Метод фиктивных областей ................ 436 Глава 8. Сопряженные уравнения и методы возмущений . . . 443 8.1. Основные и сопряженные уравнения. Алгоритмы возмуще- ний ........................... 443 8.2. Метод теории возмущений для задач на собственные значе- ния .................. 8.3. Сопряженные уравнения и теория возмущений для линеп- ных функционалов ................... 4о7 8.4. Алгоритмы возмущений в нестационарных задачах. Приме- нение спектрального метода ............... 461 8.5. Формулировка теории возмущений для сложных нелиней- ных моделей . . . .................. 465 8.6. Применения сопряженных уравнений и методов возмущений в прикладных задачах .................. 469 8.6.1. Задачи теории переноса излучения С69). 8.6.2. Задачи охра- ны окружающей среды (i71). Глава 9. Постановка и численные методы решения некоторых обратных задач ................... 475 9.1. Основные определения и примеры ............ 476 9.2. Решение обратных эволюционных задач с постоянным опера- тором . . . ...................... 485 9.2.1. Метод Фурье (485). 9.2.2. Редукция к решению прямой за- дачи С»88). 9.3. Обратная эволюционная задача с оператором, зависящим от времени ....................... 490 9.4. Постановка обратных задач на основе методов теории воз- мущений ........................ 497 9.4.1. Некоторые вопросы линейной теории измерений (497). 9.4.2. Сопряженные функпиид понятие ценности (i98). 9.4.3. Теория возмущений для линейных функционалов (502). 9.4.4. Численные методы решения обратных задач и планирование эксперимента (503). Глава 10. Методы оптимизации ................ 510 10.1. Выпуклое программирование . . ............ 510 10.2. Линейное программирование .............. 515 10.3. Квадратичное программирование . . .......... 520 10.4. Численные методы для задачи выпуклого программирования 525 10.5. Динамическое программирование . ........... 528 10.6. Принцип максимума Понтрягина ............ 533 10.7. Экстремальные задачи с ограничениями и вариационные неравенства ...................... 539 10.7.1. Элементы общей теории (539). 10.7.2. Примеры экстремаль- ных задач (5i2). 10.7.3. Численные методы для экстремальных за- дач (548). Г л а в а 11. Обзор методов вычислительной математики ..... 554 11.1. Теория аппроксимации, устойчивости и сходимости раз- ностных схем ...................... 554 11.2. Методы численного решения задач математической физики 557 11.3. Условно корректные задачи ............... 563 11.4. Вычислительные методы в линейной алгебре ...... 564 11.5. Вопросы оптимизации численных методов ........ 568 11.6. Методы оптимизации .................. 570 11.7. Методы Шварца и разделения области . . ....... 572 11.8. Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений .... 573 Список литературы ........................ 575 ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ Предлагаемая книга является результатом обработки курса лекций по вычислительной математике, который в течение ряда лет читался автором для студентов математического факультета Новосибирского государственного университета. Автор стремился акцентировать вниманье на сложных задачах математической физики, которые в пр<- 'ессе решения, как правило, редуцируются к более простым, хорошо изученным теоретически и допускающим эффективную реализацию алгоритмов на современных вычислитель- ных машинах. Именнч с такими сложными задачами зачастую сталкивается молодой иссл^ьватель в своей практической работе после окончания высшего учебного заведения. Поэтому данная книга прежде всего рассчитана на тех, кто впервые встречается с необ- ходимостью решения больших задач математической физики и хочет получить рекомендации о рациональных подходах к решению. Автором избрана такая форма изложения, которая, по его мне- нию, способствует привлечению внимания к проблемам прикладной и вычислительной математики более или менее широкого круга ис- следователей. Эта форма потребовала известных уступок в изло- жении, позволив сосредоточить внимание лишь на основных идеях и подходах к решению задач. Что касается деталей, иногда су- щественных, и возможных обобщений, например таких, как мини- мальные требования к гладкости функций, ограничения на входные данные задач и т. п., то для специалистов они в большинстве слу- чаев очевидны, а для начинающего исследователя предоставляют хорошие возможности для полезных упражнений. Одиннадцатая глава основана на материалах доклада автора на Международном математическом конгрессе в Ницце (1970 г.), дополненных новыми материалами. Эта глава дает некоторое представление не только о методах и проблемах вычислительной математики, рассмотренных в курсе, но и о тех направлениях, которые не вошли в книгу, но имеют существенное значение как в теоретическом плане, так и для приложений. Часть материала книги была изложена в монографии под тем же названием, вышедшей в 1973 г. Настоящее учебное пособие су- щественно отличается от нее. Так, в первое издание (1977 г.) включен ряд новых идей и алгоритмов, которые представляют методический и практический интерес. В частности, в книгу были вкгючены новые алгоритмы оптимизации на основе вариационных 8 ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТоЕМУ ИЗДАНИЮ методов, вопросы автоматизации вычислительного процесса на ос- нове так называемого метода «фиктивных» областей, рассмотрен итерационный алгоритм расщепления задачи в случае некоммути- рующих операторов, метод неполной факторизации и др. Раздел книги, посвященный интерполяции функций с помощью сплайнов, был расширен и выделен в самостоятельную главу. Также в от- дельную главу выделен круг идей, связанных с экстраполяцией по Ричардсону, для решения задач с повышенной точностью. Глава, посвященная решению обратных задач, была дополнена новыми результатами по теории возмущений для решения нелиней- ных задач математической физики и анализу чувствительности математических моделей по отношению ко входным данным. Были сделаны и другие дополнения. Во втором издании данного учебного пособия (1980 г.) были исправлены неточности и опечатки и была включена часть нового материала, что расширило круг рассматриваемых методов. В книгу была также включена новая глава по теории оптимизации, становящейся в наши дни неотъемлемой частью формирования ма- тематических моделей и методов их реализации. Третье издание книги является существенно переработанным вариантом второго издания. Изменения внесены в ряд глав. Так, значительная часть примеров применения разностных методов к простым, но широко распространенным задачам математи- ческой физики перенесена в первую главу, после чего эта глава может быть использована для знакомства с основными понятиями теории разностных схем. Существенной переработке подверглась вторая глава, посвя- щенная методам построения схем. Основное внимание здесь по-преж- нему уделяется вариационным и проекционным методам, а также методу интегральных тождеств. Однако материал главы дополнен и систематизирован. В настоящее издание включены две новые главы. Одна из них посвящена алгоритмам возмущений, а другая — методам Шварца и разделения области. Алгоритмы возмущений давно используются в прикладной математике, но в учебной литературе они изложены недостаточно полно. Появление другой новой главы обусловлено тем обстоятельством, что в настоящее время возрос интерес к известному методу Шварца, а также появилось целое направление алгоритмов, которые можно объединить одним названием — метод разделения области. Изложение их в книге, по мнению автора, даст возможность читателям проследить за некоторыми новыми тенденциями в вычислительной математике. При работе над данной книгой автору постоянно помогали обсуждения и научные контакты со многими учеными различных учреждений нашей страны: Отдела вычислительной математики АН СССР, Вычислительного центра СО АН СССР (г. Новоси- бирск}, Вячислипегъного центра СО АН СССР (г. Красноярск), ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ 9 Математического института АН СССР им. В. А. Стеклова, Института прикладной математики АН СССР им. М. В. Кел- дыша, Вычислительного центра АН СССР, Московского и Ново- сибирского государственных университетов, Института матема- тики СО АН СССР и многих других. Их замечания и пожелания в значительной степени способствовали усовершенствованию кни- ги. Фамилии этих ученых читатели найдут в тексте при изложении соответствующего раздела или в списке литературы. Всем им автор выражает свою искреннюю благодарность. Г. И. Марчук УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ R" — евклидово пространство л-мерных вещественных векторов 19 D — область в пространстве R71 19 9D — граница области D 33 L^ {D) — пространство вещественных измеримых функций, суммируе- мых с квадратом в области D 19 (,) — скалярные произведения в L^ (D) и в R" 19 ]| • || — нормы в Аз (D} и в R» 19 А — оператор, действующий в пространстве L^ (D), или матрица, дей- ствующая в R" 19 А "^ 0 — положительно полуопределенный оператор 20 А > 0 — положительный оператор 20 Ф (А) — область определения оператора А 20 А* — сопряженный оператор 20 А = А* — самосопряженный оператор 20 ^ (А) — собственное число оператора А 21 Ц А || — норма оператора А-^21 » (А) = ^faia (^) — минимальное по модулю собственное число опе- ратора А Р (А) — спектральный радиус оператора А 22 W!^ (D) — пространство Соболева 23 (,) ту; /п\ — скалярное произведение в W, (D} 23 В • || ^, - норма в Wy (D) 23 ТЙ (Д) — пространство Соболева функций пространства W\ (D), обра- щающихся в нуль на дВ 23 Д — оператор Лапласа 33 д/i — разностный аналог оператора Лапласэ на равномерной сетке 38 D^ — сеточная область 35 8Dh — граница сеточной области D^ 35 (<P)h — проекция функции q> на сетку 35 \,'у — разностные операторы 38 Дж, Ду, Vxi v»/ — разностные операторы а» А11, а11 — сеточные операторы 39, 41 F^, Gh, Ф;1 — пространства сеточных функций 41 Hi? > II • HG • II • ||Ф — ПОР"" в пространствах F^, Оц, Ф^ 41 Н"! (а, Ъ) — пространство кусочно-полиномиальных функций на отрез- ке [я, Ь] С"1 (а, Ь) — пространство функций, непрерывных вместе с производными до порядка т включительно, на отрезке [а, Ь] 141 Т — оператор шага 45 supp (cp) — носитель функции ф (х) (— замыкание множества точек х, в которых (р (ж) ^= 0) 0 — пустое множество ВВЕДЕНИЕ Современные электронные вычислительные машины дали в руки исследователей эффективное средство для математического моделирования сложных задач науки и техники. Именно поэтому количественные методы исследования в настоящее время прони- кают практически во все сферы человеческой деятельности, а ма- тематические модели становятся средством познания. Роль математических моделей далеко не исчерпывается про- блемой познания закономерностей. Их значение непрерывно воз- растает в связи с естественной тенденцией к оптимизации техни- ческих устройств и технологических схем планирования экспе- римента. В процессе познания и в стремлении создать детальную картину исследуемых процессов мы приходим к необходимости строить все более сложные математические модели, которые в свою очередь требуют универсального тонкого математического аппара- та. Реализация математических моделей на ЭВМ осуществляется с помощью методов вычислительной математики, которая непре- рывно совершенствуется вместе с прогрессом в области электрон- но-вычислительной техники. Всякая редукция задач математической физики или техники в конечном итоге обычно сводится к алгебраическим уравнениям той или иной структуры. Поэтому предмет вычислительной мате- матики, как правило, связан с методами сведения задач к систе- мам алгебраических уравнений и их последующему решению. Построение систем алгебраических уравнений, соответствую- щих той или иной задаче с непрерывно меняющимися аргумента- ми, обычно существенно опирается на априорную информацию, связанную с исходной задачей. Такой информацией может быть принадлежность решения к тому или иному классу функций, обладающих определенными свойствами гладкости, свойства опе- раторов задачи, свойства входных данных и т. д. Априорная ин- формация во многих случаях оказывает решающее влияние на вы- бор методов вычислительной математики, используемых для ре- шения указанных алгебраических уравнений. При этом, как пра- вило, должно иметь место соответствие между априорными требо- ваниями для исходной задачи и свойствами ее алгебраического аналога. Это прежде всего относится к операторам задач, свойства которых должны быть по возможности сохранены при редукции задачи от непрерывных аргументов к дискретным. 12 ВВЕДЕНИЕ Такой принцип, по-видимому, является основополагающим при решении многих задач. Одновременно следует отметить, что пре- емственность свойств операторов задач при редукции дает воз- можность опираться на хорошо разработанные методы функцио- нального анализа, что обычно позволяет простым и универсаль- ным путем проводить исследования эффективности алгоритмов вычислительной математики. Теперь мы переходим к краткому обзору книги, с тем чтобы отразить главные моменты и новые идеи, предлагаемые читателю. Первая глава посвящается общим вопросам теории разност- ных схем. Наряду с уже ставшими классичеекими понятиями в тео- рии разностных схем, такими, как аппроксимация, счетная ус- тойчивость и сходимость решений разностных уравнений, в этой главе приведены некоторые важные результаты, связанные с об- щими свойствами основных и сопряженных задач, которые будут использованы во многих главах книги. Нам хотелось бы особо выделить п. 1.1.2, в котором приведены современные алгоритмы для вычисления границ неотрицательного спектра матриц. Как известно, верхняя граница спектра находится с помощью хорошо разработанных итерационных процессов, и эта проблема, как правило, не вызывает трудностей в реализации. Что касается минимального собственного числа — нижней границы спектра, то его вычисление обычно является сложной проблемой. Теоретически наиболее простой подход, связанный с оценкой максимального собственного числа обратного оператора, оказы- вается алгоритмически малоэффективным. В книге изложен дру- гой подход, связанный со сдвигом спектра операторов, который позволяет достаточно просто находить нижнюю границу спектра. На этом вопросе мы остановились подробно, поскольку многие вычислительные алгоритмы, особенно связанные с оптимизацией итерационных процессов, существенно опираются на априорную информацию о границах спектра. Во второй главе рассмотрены методы построения разностных схем. При этом мы сконцентрировали свое внимание на двух под- ходах: методе интегральных соотношений и вариационных спо- собах построения разностных схем. Каждый из этих подходов име- ет свои определенные преимущества и некоторые недостатки. От- метим лишь, что эти подходы не являются независимыми и при определенных условиях приводят к тождественным разностным схемам, аппроксимирующим исходные дифференциальные задачи. Тем не менее следует отметить, что вариационный подход к построению разностных схем во многих случаях бывает более предпочтительным, поскольку он приводит к сохранению свойств определенности исходных операторов при переходе к разностным. Важно отметить, что для широкого класса задач это происходит автоматически. В книге мы ограничились рассмотрением трех методов построе- ВВЕДЕНИЕ 13 ния разностных схем на основе вариационных принципов: метода Ритца, метода Галеркпна и метода наименьших квадратов. Ко- нечно, они не исчерпывают всего многообразия вариационных подходов, однако они позволяют познакомиться с общими прин- ципами конструкции разностных схем, которые весьма просто мо- гут быть распространены п на другие случаи. Несколько слов о методе конечных элементов (вариационно- разностный метод, проекционно сеточный метод). Можно сказать, что этот метод является удобным средством для построения раз- ностных схем на основе вариационных принципов. В своей мето- дологической основе метод конечных элементов тесно связан с ме- тодом рядов Фурье, но вместо привычных нам базисных функций (например, тригонометрических функций, многочленов Лежандра, Эрмита и т. д.) здесь мы имеем дело с многочленами, отличными от нуля только в сравнительно небольшой области изменения ар- гументов, т. е. с финитными функциями. Применение вариационных принципов к построению разност- ных схем не случайно. Из теории следует, что вариационный функционал, адекватно отражающий определенные закономер- ности механики, математической физики, динамики и т. д., дости- гает своего экстремального значения на решении интересующей нас задачи. Поэтому если нам задан вариационный функционал и определен класс функций, на которых следует минимизировать функционал, то дальнейшая задача состоит в алгоритмическом отыскании функций, доставляющей экстремум функционалу. Если класс допустимых функций сужать, налагая на них до- полнительные ограничения, то минимизирующая функция не обязательно будет решением исходной задачи, а будет только при- ближаться к точному решению. В будущем, когда средства вычислительной техники станут еще более мощными, роль вариационных функционалов в по- строении решений задач математической физики будет непрерывно возрастать. Появятся методы целенаправленного перебора пробных функ- ций, принадлежащих широким классам, позволяющие эффективно находить экстремальные решения. Таким образом, использование вариационных функционалов для решения задач все более смы- кается с проблемой оптимальной организации алгоритма получе- ния решения задачи с заданной точностью, т. е. с теорией оптими- зации. Наряду с классически поставленными задачами, при решении задач науки и техники зачастую приходится иметь дело с зада- чами, поставленными неклассически. К ним, например, относится задача с ограничениями. Правда, простейшие задачи с ограниче- ниями являются классическими. Ограничениями, например, яв- ляются краевые условия для дифференциальных задач. Более сложные задачи с ограничениями требуют для своего 14 ВВЕДЕНИЕ решения и более сложного математического аппарата. Например, если требуется решить задачу о прогибе мембраны под действием различных сил, если ее положение сверху и снизу ограничивается заданными функциями координат, то обычный классический под- ход оказывается бессильным. Тем не менее, если такой задаче поставить в соответствие некоторый вариационный функционал и отыскивать его минимум на классе функций, каждая из которых удовлетворяет заданному ограничению, то минимизирующая функция будет доставлять решение нашей задачи. В главе третьей рассмотрены вопросы интерполяции сеточных функций. Проблема интерполяции возникает всякий раз, когда требуется заданную на сетке функцию восполнить непрерывными функциями на всю область. Сюда относятся задача продолжения приближенного решения на всю область по его значениям в узлах сетки и задача обработки экспериментальных данных, известных на дискретном множестве точек. Задача интерполяции становится фундаментальным звеном в системе автоматизации проектно-конструкторских работ, где в самом существе проблемы заложены способы графического ото- бражения информации. Проблема интерполяции не является новой, и в математической литературе классические методы изло- жены достаточно полно. Новым в последние десятилетия направ- лением в теории интерполяции является использование так назы- ваемых сплайновых интерполяций, описанию которых в основном и посвящена третья глава. Сплайновые интерполяции являются наилучшим средством построения гладких восполнении сеточных функций на заданных классах функций. Оптимальность сплайна связана с его специ- альным экстремальным свойством. Сплайновые аппроксимации все более широко применяются во всех областях науки и техники, поэтому знакомство с ними читателя, по нашему мнению, являет- ся необходимым. Четвертая глава в основном посвящена итерационным методам решения линейных алгебраических уравнений. Здесь изложены как общие подходы к решению алгебраических систем, так и спе- цифические методы, связанные с особенностями аппроксимаций задач математической физики, с помощью разностных и вариа- ционно-разностных методов. Хотя литература по итерационным методам весьма обширна и содержит описание многих эффектив- ных алгоритмов, тем не менее в настоящей книге мы, наряду с рас- смотрением классических процессов, основное внимание уделили итерационным методам, оптимизируемым с помощью квадратичных функционалов. В этом состоит выражение нашего общего подхода к вопросам оптимизации как при построении вычислительных алгоритмов, так и при их реализации. Касаясь специфических проблем, связанных с частным видом матриц, возникающих при численном решении задач математичес- ВВЕДВНИЕ 15 кой физики, кы ориентируемся на методы расщепления матриц на простейшие в общей схеме итерационного процесса. Метод рас- щепления является естественным развитием метода попеременных направлений, сыгравшим исключительную роль в численном ре- шении задач математической физики. Метод расщепления имеет различные модификации и обобщения, в том числе с использова- нием вариационных принципов. Особого внимания заслуживают прямые методы решения ко- нечно-разностных уравнений, изложенные в конце этой главы. Это прежде всего быстрое преобразование Фурье и метод цикли- ческой редукции. Эти методы предложены недавно и их популяр- ность непрерывно возрастает. Методам решения нестационарных задач посвящена пятая глава книги. Эти методы в основном связаны с использованием идеи расщепления сложных операторов задач на более простые. Здесь не только проанализированы хорошо утвердившиеся в прак- тике методы, такие, как метод стабилизации и метод предиктор- корректор, но и детально описан наиболее эффективный, по на- шему мнению, метод покомпонентного расщепления, идея которого изложена в 5.3.3 и 5.4. Метод покомпонентного расщепления позволяет на каждом временном шаге сводить сложную задачу математической физики к последовательности простейших однокомпонентных задач. В результате мы приходим к эффективному алгоритму реализации на ЭВМ, абсолютно устойчивому и обеспечивающему второй поря- док аппроксимации решения как по пространственным перемен- ным, так и по времени. Этот метод применяется для широкого класса нестационарных задач математической физики. В шестой главе рассматриваются методы уточнения прибли- женных решений, восходящие к Ричардсону и Рунге. Как извест- но, уточнение приближенных решений можно производить раз- личными методами. Обычно для этой цели используются более точные аппроксимации дифференциальных или интегральных уравнений с помощью схем высокого порядка точности. Ри- чардсон предложил для этой цели использовать разностную аппроксимацию сравнительно невысокого порядка точности, но примененную для различных сеток. Так, если исходное разност- ное уравнение соответствует аппроксимации на сетке с шагом h, то следующее соответствует шагу h/2 и т. д. В результате мы при- ходим к разностным уравнениям, записанным для последователь- ности сеток. Оказывается, что при выполнении ряда требований относительно операторов, шага сетки и исходных данных задачи линейная комбинация приближенных решений на последователь- ности сеток позволяет получить решение более высокого поряд- ка точности по сравнению с исходными решениями. Метод экстраполяции Ричардсона, первоначально предложен- ный для обыкновенных дифференциальных уравнений, удалось 16 ВВЕДЕНИЕ применить к решению краевых задач для уравнений эллиптиче- ского и параболического типов. Здесь, естественно, возникают различные особенности, которые отмечены в схемах реализации. Важно подчеркнуть, что метод Ричардсона может быть применен к решению задач с малым параметром или для решения условно- корректных задач на основе методов регуляризации. В этом слу- чае метод Ричардсона основывается на решении задач с различными параметрами, сходящимися к предельному их значению. Таким образом, метод экстраполяции позволяет ввести в вычислитэльную математику новые идеи, которые с успехом используются для оп- тимизации различных алгоритмов решения задач. Следует также подчеркнуть особое место, которое отводится этому методу при решении задач вариационно-разностными ме- тодами. В самом деле, здесь имеет место обычно следующая аль- тернатива: либо получать решение разностных уравнений с очень мелким шагом на основе довольно грубых разностных аппрокси- маций, либо с помощью схем высокого порядка точности, но при более крупных шагах разностных схем. Первый метод прост, но требует большого объема вычислений, второй логически значительно труднее, но требует меньшего числа арифметических операций. Таким образом, ни тот, ни другой ме- тод не оказывается эффективным для задач математической фи- зики, если требуется высокая точность результатов. Поэтому воз- никла мысль использовать наиболее простые вариационно-раз- ностные схемы первого или второго порядка аппроксимаций, но реализованные на последовательности сеток. Линейная комбина- ция решений таких задач, как указано выше, во многих случаях позволяет получить решение требуемого порядка точности. В седьмой главе рассматриваются методы, к которым в послед- нее время значительно возрос интерес. Эти методы позволяют в ря- де случаев свести решение задач в области со сложной границей к решению последовательности задач в более простых областях. Отметим здесь метод разделения области, исследования по кото- рому ведутся во многих странах. Интерес к данному методу обу- словлен и тем обстоятельством, что он часто допускает крупно- блочное распараллеливание процесса решения исходной задачи. Это обстоятельство является важным в связи с внедрением в прак- тику вычислений многопроцессорных ЭВМ, работающих в парал- лельном режиме. В восьмой главе формулируются алгоритмы теории регулярных возмущений. Данные алгоритмы излагаются в применении к не- однородным функциональным уравнениям, задачам на собствен- ные значения, вычислению линейных функционалов. Рассмотрение здесь проводится с использованием как основных, так и сопряжен- ных уравнений, осуществляется иллюстрация алгоритмов на при- мере конкретных прикладных задач. Девятая глава посвящена постановке и численному решению ВВЕДЕНИЕ 17 обратных задач. Методы математического моделирования сложных задач науки и техники постоянно выдвигают перед исследователем проблемы, связанные с восстановлением решения задачи по не- которым функционалам от решения или с восстановлением вида оператора задачи. Этот класс обратных задач оказывается наиболее трудным с точки зрения вычислительной математики, поскольку он, как правило, связан с решением некорректных по Адамару задач. В математике возникло целое направление исследований некорректных задач, основные результаты которых были полу- чены советской школой математиков. А. Н. Тихонов ввел в рас- смотрение процесс регуляризации таких задач, и они вскоре нашли свое обоснование и алгоритмическое оформление. В этой главе делается акцент на постановку обратных задач по восстановлению структуры дифференциальных операторов и входных данных. Хотя вид дифференциального оператора фиксируется, но его коэф- фициенты предполагаются неизвестными, требующими опреде- ления. Теория обратных задач тесным образом связана с исполь- зованием основных и сопряженных уравнений. Разработанный автором математический аппарат оказывается эффективным для оценки малых возмущений функционалов от решений задач в за- висимости от вариаций входных параметров. Следует особо от- метить, что разработанные здесь методы могут быть применены как для линейных, так и для нелинейных задач математической физики. В десятой главе изложены методы оптимизации, которые ак- тивно вторгаются в математическое моделирование технологи- ческих процессов, экономики и управления. Это прежде всего методы линейного и квадратичного программирования, кото- рые с алгоритмической точки зрения продвинуты наиболее су- щественно. В этой главе даны также описания подходов к нели- нейному программированию для выпуклых функций и выпуклых областей. Далее читатель знакомится с общими идеями метода динамического программирования и принципа максимума Понт- рягина. В заключение рассматриваются проблемы оптимизации задач математической физики с ограничениями на основе метода вариационных неравенств, получившие широкое развитие в трудах французских математиков. Одиннадцатая глава посвящена обзору методов вычислитель- ной математики. Настоящая книга, разумеется, не могла включать в себя огромного объема алгоритмов вычислительной матема- тики, разработанных к настоящему времени. Многие из них вообще выпали из рассмотрения, поскольку хорошо описаны в учебниках по вычислительной математике или в специальной литературе. Мы не говорим здесь о таких классических основах числен- ного анализа, как кубатурные формулы, методы численного ре- шения обыкновенных дифференциальных уравнений, простейшие 18 ВВЕДЕНИЕ методы интерполяции и др. Речь идет о новых методах современ- ной вычислительной математики, таких, как метод крупных ча- стиц, метод интегральных соотношений, универсальные методы линейной алгебры и др. Они отражены в обзоре. Обзор методов вычислительной математики, данный в настоя- щей главе, сопровождается постановкой ряда проблем вычислитель- ной математики и анализом тенденций их развития. По нашему мнению, это поможет читателю не только сориентироваться в проб- лемах вычислительной математики, но и определить наиболее активно развивающиеся ее области. Поскольку книга является учебным пособием, мы старались в основном тексте избегать ссылок на библиографию, которые могли бы отвлечь читателя от систематического ознакомления с материалом. Этот пробел частично восполняется одиннадцатой главой, где, кроме обзора методов вычислительной математики, даются ссылки на соответствующие источники. Особое место в книге отводится списку литературы. Этот список систематизирован по различным вопросам вычислительной мате- матики, что позволит читателю быстро войти в круг интересующих его проблем. Вся книга имеет общую цель — подготовить читателя к реше- нию сложных задач вычислительной и прикладной математики. При изучении предлагаемой книги автор рекомендует читате- лю использовать задачник В. И. Дробышевича, В. П. Дымни- кова, Г. С. Ривина «Задачи по вычислительной математике» (Москва, «Наука», 1980), который соответствует изложению боль- шей части материала книги. В заключение следует отметить, что в книге широко использо- ваны новые результаты исследований советских и зарубежных авторов и в первую очередь сотрудников Отдела вычислительной математики АН СССР и Вычислительного центра СО АН СССР. Это прежде всего результаты, полученные В. И. Агошковым, В.А. Булавским,А. Л. Бухгеймом, В. А. Василенко, В. П. Ильиным, Ю. А. Кузнецовым, В. И. Лебедевым, А. М. Мацокиным, В. В. Сме- ловым, В. А. Цецохо, В. В. Шайдуровым, В. П. Шутяевым и др. Раздел книги по вариационным неравенствам был'написан по мате- риалам, любезно представленным автору французскими математи- ками Ж.-Л.Лионсом и Р. Гловинским. ГЛАВА 1 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ В настоящей главе приводятся краткие сведения по фундамен- тальным вопросам теории разностных схем, которые существенно использованы в последующих главах книги. Поскольку нашей основной задачей является знакомство с некоторыми современными принципами построения вычислительных алгоритмов для реше- ния задач математической физики, то при рассмотрении вопросов теории мы ограничимся только наиболее простыми случаями. В данной главе мы также приведем конечно-разностные ап- проксимации некоторых простейших (но вместе с тем широко рас- пространенных) краевых задач. 1.1. Основные понятия и определения Рассмотрим в и-мерном евклидовом пространстве R" некоторую область D. Обозначим через Lg (Z?) гильбертово пространство всех вещественных измеримых функций/ (ж), суммируемых с квад- ратом, т. е. таких, что со скалярным произведением (/,§-)== \f(x)g(x)dx. D (1.1) Как обычно, норму функций / из L^ (D) определим равенством 11 / 11 = (/,/У72. (1.2) Выделим теперь из гильбертова пространства Ly (D) некоторое множество элементов Ф С L^ (D), содержащее вместе с (р и г{э их линейную комбинацию кср + рг|), где ее, (3 (= R, причем воз- можно, что каждый элемент (р (= Ф удовлетворяет некоторым до- полнительным условиям. Такими условиями в зависимости от рассматриваемой задачи могут быть, например, требования за данной гладкости, удовлетворение предельным соотношениям на границе области D и т. д. Указанные условия, однако, должны быть достаточными для того, чтобы оператор А задачи переводил элемент <р ^= Ф в элемент Л(р ?? L^ (D). ГЛАВА 11 ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ Высокопроизводительные электронные вычислительные ма- шины создали основу для алгоритмических построений и широ- ких математических экспериментов во многих областях науки и техники. Это способствовало привлечению новых научных кадров к проблемам машинной математики. Ценный опыт, накопленный при решении прикладных задач, в дальнейшем был использован для построения эффективных методов и алгоритмов вычислитель- ной математики. В данной главе мы кратко перечислим основные направления в вычислительной математике, которые сложились к настоящему времени, и отметим основные тенденции их развития. 11.1. Теория аппроксимации, устойчивости и сходимости разностных схем Широкое использование метода конечных разностей для реше- ния дифференциальных уравнений математической физики вы- звало необходимость детального изучения тех свойств разностных уравнений, которые непосредственно влияют на качество разност- ных схем. Такими свойствами прежде всего являются устойчи- вость и сходимость. Развитие теории устойчивости и сходимости началось после того, как расчеты на быстродействующих машинах показали, что разностная схема, аппроксимирующая корректную диффе- ренциальную задачу, может оказаться неустойчивой (некоррект- ной). Неустойчивая схема чувствительна к ошибкам округления, допускаемым в процессе счета, и поэтому может привести к реше- нию, значительно отличающемуся от решения дифференциальной задачи. Эта отличительная и своеобразная черта разностных уравнений вызвала усиленные теоретические исследования по установлению связи между сходимостью и устойчивостью. В середине 50-х годов А. Ф. Филиппов [б], Лаке [6, 7], Рихт- майер [3, 6, 7], В. С. Рябенький [б], Дж. Нейман [7] почти одно- временно и с разных позиций сформулировали следующий основ- ной результат, получивший название теоремы эквивалентности: если линейная однородная дифференциальная задача корректна и разностная схема аппроксимирует эту задачу, то устойчи- вость разностной схемы является необходимым и достаточным условием сходимости решения разностной задачи к решению исходной задачи. В окончательном виде для абстрактного урав- ii.i] АППРОКСИМАЦИЯ, УСТОЙЧИВОСТЬ И СХОДИМОСТЬ: 555 нения в банаховом пространстве эта теорема сформулирована и доказана В. С. Рябеньким и А. Ф. Филипповым [б]. Теорема эквивалентности сформулирована в терминах одной и той же нор- мы. Сходимость в других нормах, как правило, может быть установ- лена на основе теорем вложения С. Л. Соболева [I]. Повышая тре- бования гладкости к начальным данным, можно ослабить требо- вания на устойчивость схемы, на что первыми обратили внимание В. С. Рябенький и А. Ф. Филиппов [б]. Эта идея последовательно проведена в теореме эквивалентности Стрэнга [7] с использованием понятия слабой устойчивости. Из исследований, связанных с поиском эффективных призна- ков устойчивости, в первую очередь следует отметить работу Неймана и Рихтмайера [7], в которой сформулирован локальный критерий устойчивости. Однако этот критерий верен лишь для уравнений с постоянными коэффициентами в случае самосопря- женных задач, в связи с чем начались усиленные поиски границ применимости локального критерия. Лаке и Ниренберг [6, 7] разработали теорию устойчивости гиперболических разностных схем в терминах так называемого символа разностной схемы. В случае явных разностных уравнений символ совпадает с обычной матрицей перехода, получаемой ме- тодом Фурье, при этом локальный критерий устойчивости оказы- вается справедливым, если коэффициенты имеют ограниченные вторые производные по х. Стрэнг [7] сформулировал теорему сходимости для систем квазилинейных гиперболических уравнений при условии локаль- ной устойчивости разностных уравнений, соответствующих пер- вой вариации дифференциальной системы, и достаточной гладкости решения. Изучение разностных схем с переменными коэффициентами связано с использованием понятия диссипативности. Прежде всего здесь следует отметить работу Крайса [б], который сформу- лировал теоремы о связи порядка диссипативности разностных уравнений, аппроксимирующих системы гиперболических урав- нений, с порядком их точности. При этом матричные коэффици- енты разностных уравнений предполагаются эрмитовыми и Лип- шиц-непрерывными как функции от х. Интересный подход к исследованию устойчивости предложен в работах Н. Н. Яненко и Ю. И. Шокина [7]: вместо разностного уравнения рассматривается некое сопутствующее ему дифферен- циальное уравнение, называемое первым дифференциальным приближением, из некорректности которого следует неустойчи- вость разностной схемы. Весьма важный класс разностных схем составляют схемы с положительными операторами, рассмотренные Фридрихсом [2], который ввел общее понятие положительных схем и устано- вил для них достаточный критерий устойчивости в Zg. 556 ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ [ГЛ. 11 С. К. Годунов и В. С. Рябенький [6, 7] ввели понятие спектра семейства разностных операторов, что позволило им сформули- ровать необходимое условие устойчивости разностных уравнений, хорошо вскрывающее сущность неустойчивости. Введено новое понятие ядра спектра семейства разностных операторов. В терми- нах радиусов ядер спектра даны оценки норм степеней операто- ров семейства, причем эти оценки оказываются равномерными для всего семейства и могут быть использованы для исследования устойчивости. Все рассмотренные выше признаки устойчивости можно на- звать спектральными, так как они основаны на изучении спектра разностных операторов. Эти признаки могут установить сходимость в норме La. Доказательства устойчивости разностных схем в С проводились С. И. Сердюковой [б], Томэ [б], А. А. Самар- ским [7] и др. Из неспектральных подходов к изучению устойчивости разно- стных аналогов уравнений параболического и гиперболического типов необходимо указать на весьма общую теорию, построенную А. А. Самарским [3, 6, 71 на основе энергетических неравенств и априорных оценок. В этой теории для широкого класса двух- слойных и трехслойных схем содержатся достаточные условия устойчивости, сформулированные в виде неравенств между опе- раторными коэффициентами разностных схем. Эти условия весьма конструктивны и позволяют не только исследовать схемы на устой- чивость, но и строить новые устойчивые схемы. ^ Большое развитие в настоящее время получил энергетический метод. Идея метода состоит в выборе такой нормы для вектора решения, значения которой возрастают от шага к шагу не быстрее, чем 1 — О (At), что означает устойчивость в этой норме. Энергетический метод исследования устойчивости появился еще в работе Куранта, Фридрихса и Леви [7] и был с успехом раз- вит О. А. Ладыженской [71, Лпзом [7], Лаксом [7], Крайсом [61, А. А. Самарским [З], А. Н. Коноваловым [15J и др. Для гиперболических краевых задач весьма полное исследо- вание проблемы устойчивости проведено Крайсом [61. Им уста- новлены достаточные условия устойчивости разностных аналогов при весьма общих предположениях относительно входных данных задач. Теория аппроксимации и сходимости с общих позиций функ- ционального анализа развита Л. В. Канторовичем и Г. П. Аки- ловым [I], которые рассмотрели широкий класс операторных урав- нений, уделив особое внимание проблеме численного решения интегральных уравнений. Важное значение для теории сходимости имеет разработанная С. Л. Соболевым ЦТ теория замыкания вычислительного алго- ритма, широко используемая для теоретического обоснования приближенных методов решения задач математической физики. 11.2] МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 557 11.2. Методы численного решения задач математической физики Понятия аппроксимации, устойчивости и сходимости создали необходимую базу широкого поиска эффективных разностных схем для решения задач математической физики. Алгоритмы ре- шения задач с помощью конечно-разностных методов, как правило, представляют собой сочетание методов построения разностных аналогов задач и методов их решения. Поэтому прогресс в конст- руктивной теории конечно-разностных методов обязан взаимо- согласованному развитию указанных двух направлений иссле- дований. Если попытаться просуммировать богатейший опыт в раз- витии конечно-разностных методов последних лет, то условно можно выделить следующие важные направления. Построение разностных схем. Одно из таких направлений свя- зано с разработкой методов построения консервативных разно- стных схем, основанных на законах сохранения, свойственных большинству физических процессов. Для конструирования кон- сервативных разностных схем исходят из уравнений балансов, записанных для отдельной ячейки сеточной области, с последую- щим использованием квадратурных и интерполяционных формул. Построенные разностные уравнения после необходимых преобра- зований и суммирования по всем точкам сеточной области удовле- творяют дискретным аналогам интегральных законов сохранения. Такие подходы рассмотрены О. А. Ладыженской [7], в рабо- тах которой построены разностные операторы для уравнений с раз- рывными коэффициентами, имеющие единый вид для любой внут- ренней точки области. Для обоснования алгоритма использовано понятие обобщенного решения и доказано, что решение разностной задачи образует некоторый функционал, переходящий при h —>- О в функционал дифференциальной задачи. Консервативные разностные схемы сквозного счета в гидро- динамике разработаны С. К. Годуновым [4J, Лаксом и Вендро- фом [6] на основе явных разностных аппроксимаций. Большое значение для решения задач гидродинамики имеет метод инте- гральных соотношений, предложенный А. А. Дородницыным [3] и развитый О. М. Белоцерковским, П. И. Чушкиным [41 и др., в котором использована частичная разностная аппроксимация уравнений, записанных в дивергентной форме, на основе метода прямых. Эти методы сыграли существенную роль в формировании общего взгляда на конструкцию разностных схем для квазили- нейных уравнений. Интересные общие подходы к интегрирова- нию уравнений гидродинамики также предложены в работах К. II. Бабенко, В. В. Русанова [12], Фромма [4], Кроули [4], В. Ф. Куропатенко [4]. В последнее время большое внимание уделяется построению решений задач математической физики высокого порядка точности. 558 ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ [ГЛ. 11 Здесь в основном определились два направления. Первое связано с повышенным порядком аппроксимации разностных уравнений. Такие идеи рассмотрены в исследованиях А. А. Самарского [З], Н. Н. Яненко и А. Н. Валпуллина [З], Митчелла [3] и др. Второе направление связано с построением решений на основе разностных уравнений сравнительно невысокого порядка на последователь- ности сеток с изменяющимися шагами. Эти методы получили на- звание экстраполяции по Ричардсопу и нашли отражение в иссле- дованиях Е. А. Волкова [41, Фокса [41, В. В. Шайдурова [4] и др. Методы построения разностных схем для уравнений эллип- тического и параболического типов в классе разрывных коэффи- циентов разработаны на основе интегро-пнтерполяционного ме- тода А. Н. Тихоновым, А. А. Самарским [4] и др. Вариационные и проекционные методы. В последние годы заметно повысился интерес к вариационным и проекционным методам решения задач математической физики. Эти методы давно заняли в вычислительной математике важное место. Осо- бенно эффективны они в тех задачах, где искомыми являются функционалы от решения. Оказалось, что уже при сравнитель- но невысоких приближениях функционалы получаются с боль- шой точностью. Наиболее полное теоретическое обоснование методов дано в исследованиях С. Г. Михлина [11, который уста- новил необходимые и достаточные условия устойчивости вариа- ционных методов в пространствах с энергетической нормой. Актив- ное развитие вариационных методов обнаружило и некоторые их недостатки, связанные с трудностью построения базисных функций. Новое направление в методе построения разностных уравне- ний для задач математической физики было развито на основе использования вариационных и проекционных методов в сочета- нии со специальной конструкцией базисных функций, отличных от нуля в некоторых сравнительно небольших областях, принад- лежащих всей области определения решения. Первые работы Куранта [51, Л. А. Оганесяна [5], Лионса, Темама [5], Сеа [57, Обэна [5], Биркгофа, Шульца, Варги [5], Брембела положили начало развитию этого направления. Развитие этих методов обя- зано прежде всего работам Бабушки [5], Стрэнга и Фикса [5], Зламала [51, Дугласа и Дюпона [51, В. Я. Рпвкинда [41, В. И. Агошкова [5], Г. И. Марчука, В. И. Агошкова [5], А. М. Мацоки- на [4], В. В. ГОайдурова [3] и др. Решение многомерных стационарных задач. Интенсивное раз- витие методов решения линейных алгебраических уравнений с якобиевыми и блочно-трехдиагональными матрицами приводит к созданию ряда первоклассных численных алгоритмов решения стационарных задач, основанных на факторизации разностного оператора задачи. Среди методов факторизации особое место за- нимают различные варианты безытерациопных методов матрич- ной факторизации, разработанные В. С. Владимировым [121, 11.2] МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 559 М. В. Келдышем [51, И. М. Гельфандом, О. В. Локуциевским [12], К. И. Бабенко, В. В. Русановым [121, Н. Н. Ченцовым, С. К. Го- дуновым [121, А. А. Абрамовым, В. Б. Андреевым [121 и др. На основе работ М. И. Вишика, С. Л. Соболева и Л. А. Лю- стерника для решения краевых задач в областях сложной гео- метрии В. К. Саульевым [41 был предложен метод фиктивных об- ластей, исследованный впоследствии Мпно [21, В. Д. Копченовым [41, Л. А. Руховцом [41, А. Н. Коноваловым [4] и др. Исследова- нию разностных уравнений, аппроксимирующих краевую задачу, возмущенную по методу фиктивных областей, посвящены, напри- мер, работы В. И. Лебедева [41 и В. Я. Ривкинда [41. В последнее время интенсивно развиваются безытерационные методы решения разностных уравнений, соответствующих диф- ференциальным задачам, допускающим разделение переменных. Разработанная специальная техника быстрого преобразования Фурье и циклической редукции позволяет существенно сократить объем вычислительной работы. Это направление представлено работами Кули и Таки [13J, Бужби, Голуба и Нилсона [12], Хок- ни [13] и др. Вместе с развитием методов точной факторизации активно раз- виваются методы приближенной факторизации, в которых факто- ризация оператора комбинируется с методом последовательных приближений. Необходимость в таких алгоритмах обнаружилась сразу же, как только задачи математической физики начали ре- дуцироваться к большим алгебраическим системам. Первые работы Н. И. Булеева [151, Бейкера и Олифанта [151 дали толчок к раз- витию новых методов решения многомерных задач на основе быстросходящихся процессов. Начало 60-х годов ознаменовалось крупным вкладом в вы- числительную математику, связанным с именами Дугласа, Писс- мана и Рэчфорда [151, предложившими метод переменных направ- лений. Успех метода был обеспечен использованием простой ре- дукции многомерной задачи к последовательности одномерных с матрицами якобиевого типа, легко обращаемыми на ЭВМ. В ко- нечном итоге метод продольно-поперечных направлений сводится к итерационному методу, в котором оптимизация вычислений осуществляется специальным подбором оператора сжатия, со- стоящего из произведения более простых операторов и ряда сво- бодных параметров релаксации. При этом последовательное об- ращение простых операторов, как правило, осуществляется на основе одномерной факторизации. Такие итерационные схемы весьма экономичны и эффективны при незначительном, по срав- нению с явным методом Ричардсона, увеличении объема вычисли- тельной работы в расчете на одну итерацию. Метод переменных направлений оказал существенное влияние на построение алго- ритмов в различных областях прикладной математики и развитие исследований по нелокальным и блочно-итерационным процессам. 560 ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ [ГЛ. 11 Теоретическим исследованиям этого и родственных ему методов посвящены работы Дугласа [15], Е. Г. Дьяконова [151, А. А. Са- марского [31, Биркгофа, Варги, Янга [15], Вакспресса [151, Кел- лога [15], Ганна [15], Ю. В. Воробьева [15] и др. Развиваются методы, основанные на однородных и неоднород- ных аппроксимациях. В случае неоднородной аппроксимации каждая из вспомогательных задач может и не аппроксимировать исходную задачу, но в совокупности и в специальных нормах такая аппроксимация имеет место. Эти методы были названы ме- тодами расщепления, они развиты в работах советских матема- тиков Н. Н. Яненко [3, 15], Е. Г. Дьяконова [3, 151, А. А. Са- марского [3, 15], В. К. Саульева [З], Г. И. Марчука [15] и др. Большой цикл исследований посвящен выбору оптимизаци- онных параметров схем расщепления на основе спектральных и вариационных методов. Это работы А. А. Самарского [3, 151, Е. Г. Дьяконова [151, В. П. Ильина [3, 15] и др. Различные аспекты теории метода попеременных направле- ний и метода расщеплений рассмотрены в работах В. Б. Андре- ева [151, Видлунда [15], Фейрвезера, Митчелла [151 и др. Решение многомерных нестационарных задач. Опыт решения одномерных задач подготовил основу для формирования алго- ритмов решения более сложных задач математической физики. Важным этапом в развитии методов решения нестационарных двумерных задач явился метод попеременных направлений, ос- нованный на однородной аппроксимации; первоначально он был применен для решения многомерных уравнений параболического типа и затем получил широкое распространение во многих зада- чах математической физики. Развитие методов решения многомерных нестационарных задач связано с методами расщепления, основанными, как правило, на неоднородных разностных аппроксимациях исходной задачи. Сущность метода расщепления состоит в редукции сложного опе- ратора к простейшим. При таком подходе интегрирование данного уравнения сводится к последовательному интегрированию урав- нений более простой структуры. При этом разностные схемы обя- заны удовлетворять условиям аппроксимации и устойчивости только в конечном итоге. Это дает возможность гибкого построе- ния схем по существу для всех основных задач математической физики. Для явных аппроксимаций метод расщепления был пред- ложен К. А. Багриновским и С. К. Годуновым [151. Схемы рас- щепления для неявных аппроксимаций предложены Н. Н. Яненко [151, Е. Г. Дьяконовым [151, А. А. Самарским [15], Г. И. Мар- чуком [3] и др. Эти методы нашли широкое применение для разнообразных по своему характеру задач и стимулировали формирование более общего подхода к решению задач математической физики на ос- нове метода слабой аппроксимации, разработанного Н. Н. Янен- 11.2] МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 561 ко [3, 15], А. А. Самарским [3, 15]. Оказалось, что метод расщеп- ления можно толковать как метод слабой аппроксимации исход- ного уравнения некоторым другим, более простым. Условия, при которых имеет место сходимость решения для метода слабой аппроксимации, сформулированы в теореме Яненко — Демидо- ва [151 и в работах В. И.Лебедева [151 и Е. Г. Дьяконова [3, 151. Метод слабой аппроксимации нашел естественное применение в задачах гидродинамики, метеорологии, океанологии, теории пере- носа излучения и т. д. (Г. И. Марчук [3, 17], Н. Н. Яненко [31). Широкое применение в задачах гидродинамики, метеороло- гии, океанологии получила оригинальная схема типа предиктор- корректор Лакса—Вендрофа, в которой предиктор предложен в виде явной разностной схемы. Эта схема является условно устой- чивой, она проста в реализации и имеет второй порядок аппрокси- мации по всем переменным. Подробное исследование схемы при- ведено в книге Рихтмайера и Мортона [31. Различные варианты метода предиктор-корректор на основе неявных разностных аппроксимаций предложены Брайеном [41, Дугласом [151, И. Д. Софроновым [121, Г. И. Марчуком, Н. Н. Яненко [15] и др. Оказалось, что все эти схемы в известном смысле эквивалентны и различаются только методами реализа- ции. В последней из перечисленных работ в качестве предиктора применена неявная схема расщепления первого порядка точности с факторизованным оператором. Для задач гидродинамики в ка- честве предиктора используются неявные мажорантные схемы. Особый интерес представляет сформулированный Лпонсом и Темамом [5J, а также Бенсусаном, Лионсом и Темамом [151, метод декомпозиции и децентрализации, который примыкает к методам расщепления и слабой аппроксимации. Метод частиц в ячейке. В последние годы интенсивно разви- вается новый метод решения многомерных задач математической физики, связанный с именем Харлоу [19]. Этот метод получил название метода больших частиц. Он широко применяется для расчета многомерных гидродинамических течений с сильными деформациями жидкости, большими относительными перемеще- ниями и соударяющимися поверхностями раздела. Сущность мето- да состоит в следующем. Уравнения гидродинамики на основе слабой аппроксимации на каждом малом временном интервале сводятся к двум более простым системам, первая из которых опи- сывает адаптацию гидродинамических полей между собой без учета адвективных членов и интегрируется обычными способами в неподвижной эйлеровой сетке, а вторая описывает перенос суб- станций в лагранжевой системе координат. Именно при решении второй системы используется феноменологическое упрощение мо- дели сплошной среды на основе замены ее системой частиц в каждой ячейке эйлеровой системы, так что суммарный баланс массы, им- пульса и энергии частиц в ячейке отождествляется с соответствую- 562 ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ [ГЛ. 1) щими характеристиками для сплошной среды. Как только неко- торая частица, «несущая» определенную массу в соответствии со своей траекторией, рассчитываемой индивидуально, пересекает границу ячейки, масса, импульс и энергия этой частицы вычитаются из покинутой ячейки и добавляются в новую ячейку, где теперь находится частица. Схема Харлоу основана на явных методах решения уравнений первого и второго этапа, в целом она условно устойчива. Особенно плодотворным является использование в рас- четах первого шага неявных схем. В этом случае критерий устой- чивости всей схемы совпадает с известным условием Куранта. До сих пор еще не получены абсолютно устойчивые схемы метода частиц, однако в ближайшие годы можно рассчитывать на суще- ственный прогресс в этом направлении. В последнее время в работах В. Ф. Дьяченко [19], О. М. Бе- лоцерковского и Ю. М. Давыдова [19], Н. Н. Яненко, Н. Н. Ану- чиной, В. Е. Петренко, Ю. И. Шокина [19] даны различные мо- дификации метода, которые существенно уменьшили свойственные ему флюктуации плотности и давления, увеличили «запас устой- чивости», и рассмотрены различные схемы реализации. Можно надеяться, что применение абсолютно устойчивых ме- тодов и устранение флюктуации позволит распространить метод частиц на слабосжимаемые течения жидкости. В ближайшие годы можно ожидать существенного расширения сферы влияния этого метода на решение многомерных задач. Метод Монте-Карло, предложенный Нейманом и Уламом, активно развивается уже более двух десятилетий. Первоначаль- ный оптимизм в применении метода через некоторое время усту- пил место столь же необоснованному пессимизму. Дело в том, что уже на первых этапах развития оказалось, что метод Монте-Кар- ло эффективен только при реализации на быстродействующих ЭВМ с миллионами операций в секунду, поскольку он требует вы- полнения большого числа статистических проб, понижающих среднюю квадратичную ошибку в получаемом результате. Однако несмотря на трудности в осуществлении метода на ЭВМ среднего класса, а может быть, и благодаря им, в теорию метода были внесены усовершенствования, которые существенно повыси- ли эффективность метода в решении большого круга задач науки и техники. Наиболее значительные усовершенствования связаны с привлечением для расчетов условных вероятностей процессов и статистических весов, определяемых на основе информации о ре- шениях сопряженных уравнений по отношению к существенным функционалам задач. Такие методы на два порядка, а в некоторых случаях и на четыре уменьшили дисперсию ошибки и, следо- вательно, на два и четыре порядка сократили время счета по сравнению с методами прямого статистического моделирования. В настоящее время ЭВМ третьего поколения создали необхо- димую базу для активного применения этого метода к различным 11.3] УСЛОВНО КОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ 563 сложным задачам математической физики. Метод Монте-Карло уже имеет солидные позиции в теории переноса излучения, зада- чах массового обслуживания, кубатурных и интерполяционных процессах, решениях интегральных уравнений и систем алгебраи- ческих уравнений. В последнее время он начинает использоваться для решения нелинейных уравнений Больцмана, в задачах ли- нейного программирования и т. д. Большой вклад в теорию и алгоритмы решения задач матема- тической физики методом Монте-Карло внесли работы В. С. Вла- димирова [18], Н. С. Бахвалова [18], И. М. Соболя [18], Н. Н. Ченцова [18], Фано, Спансера, Бергера [18], С. М. Ерма- кова, В. Г. Золотухина [18], Г. А. Михайлова [18], Н. П. Буслен- ко, Д. И. Голенко [18] и др. Простой и универсальный метод Мон- те-Карло, несомненно, станет активным средством вычислитель- ной математики. 11.3. Условно корректные задачи При решении задач математической физики численными мето- дами важную роль играет корректность постановки исследуемой задачи. Понятие корректности было введено Адамаром. Известно большое число классических задач математической физики, по- ставленных корректно по Адамару. В связи с более глубоким изучением различных задач естествознания и техники возникла проблема решения так называемых условно корректных задач. А. Н. Тихонов [16] сформулировал требования, которые оказыва- ются естественными в постановке задач, некорректных по Адама- ру. Сущность этих требований состоит в том, что в условия поста- новки задачи добавляется априорное предположение о существова- нии решения и принадлежности его заданному компакту. Для ус- тановления условной корректности необходимо доказать теорему единственности. Широкий цикл исследований по условно корректным задачам проведен М. М. Лаврентьевым [16] и В. К. Ивановым [16]. Раз- личные аспекты теории условно корректных задач математической физики рассмотрены в трудах Джона [16], С. Н. Мергеляна [16], Дугласа [16], С. Г. Крейна [16] и др. А. Н. Тихонов [16] ввел понятие регуляризации. Сущность его состоит в том, что вместо неограниченного оператора, дающего точную формулу решения некорректно поставленной задачи, рас- сматривается последовательность (регуляризующее семейство) не- прерывных операторов такая, что на каждом элементе, принад- лежащем области существования решения, соответствующая по- следовательность сходится к решению. Одним из интересных подходов к постановке задач, некоррект- ных^ по Адамару, является применение понятий и методов теории вероятности. В наиболее полной форме такие исследования были 564 ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ ГГЛ. 11 развиты М. М. Лаврентьевым и В. Г. Васильевым [16]. В работах этого направления устанавливается понятие устойчивости, конст- руируются оптимальные в определенном смысле алгоритмы реше- ния различных классов задач при некоторых предположениях о вероятностных свойствах погрешностей во входных данных и о вероятностных свойствах множества искомых решений. Лионе и Латтес [16] сформулировали численный метод решения обратных эволюционных уравнений на основе так называемого квазиобращения. К эволюционному уравнению добавляется ре- гуляризующий оператор с малым параметром, являющийся про- изведением исходного оператора на его сопряженный. Малый пара- метр выбирается на основе специальным образом разработанных оптимальных оценок в решении. Метод квазиобращения весьма прост в реализации для решения эволюционных задач математи- ческой физики. Автором и С. А. Атанбаевым [16] разработан метод решения условно корректных задач эволюционного типа на основе приме- нения метода минимальных невязок для всей пространственно- временной области определения решения. Регуляризация в этом методе производится за счет выбора оптимального числа шагов итерационного процесса на основе априорной оценки погрешно- стей во входных данных. Весьма полное исследование по теории некорректно поставленных задач и методов регуляризации дано в работах В. А. Морозова [14, 16]. Тенденция развития методов решения условно корректных за- дач свидетельствует о том, что используемые методы тесно примы- кают к методам оптимизации вычислительного процесса. 11.4. Вычислительные методы в линейной алгебре Необходимо отметить все возрастающий интерес к решению больших систем линейных алгебраических уравнений как с раз- реженными, так и плотными матрицами, решению плохо обус- ловленных систем и спектральных задач для матриц произвольной структуры. Большое внимание при этом уделяется использованию априорной и апостериорной информации о задаче в ходе ее реше- ния. Существенное влияние на пересмотр старых вычислительных методов линейной алгебры оказали ЭВМ, которые стимулировали интерес к новым алгоритмам, приспособленным для автоматиче- ского счета. Прямые методы линейной алгебры. Под прямым методом линейной алгебры обычно понимают метод, ко- торым можно решить задачу за конечное число арифметических действий. В вычислительной линейной алгебре прямые методы играют важную роль при решении систем линейных уравнении, вычислении обратных матриц и определителей. Прямые методы позволяют с помощью ряда элементарных преобразований полу- 11.4] ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ 565 чить разложение исходной матрицы в произведение двух, каждая из которых легко обращается. Классическими примерами прямых методов служат метод иск- лючения Гаусса, методы вращения и отражения. Вторую группу составляют так называемые методы сопряженных направлений: метод сопряженных градиентов Хестенса и Штифеля [11] и метод минимальных итераций Ланцоша [З]. Работы этих авторов положи- ли начало развитию методов, основанных на ортогонализации. В последние годы прямые методы получили значительное раз- витие в первую очередь благодаря исследованиям Д. К. Фаддее- ва, В. Н. Фаддеевой, В. Н. Кублановской [18], Бауэра [8], Хаус- холдера [З], Уилкинсона [8], Хенричи [З], Форсайта, Молера [8], Голуба [12], В. В. Воеводина [8] и др. Большой проблемой по-прежнему остается решение систем уравнений с плохо обусловленными матрицами, которая тесно связана с решением условно корректных задач математической физики. Сложность проблемы связана с сильной чувствитель- ностью решения к точности задания элементов матрицы и компо- нент вектора правой части системы. Хотя уже получен ряд важных результатов, тем не менее это только начало большого научного поиска, который должен завершиться созданием общей теории. Итерационные методы. Важнейшим средством решения задач линейной алгебры являются итерационные методы, активное раз- витие которых привело к созданию ряда хороших алгоритмов, эф- фективно реализуемых на ЭВМ. Этот прогресс в первую очередь был вызван необходимостью решать задачи математической физи- ки, экономики и управления, приводящие к системам большого порядка с матрицами специального вида. Прямые методы в боль- шинстве случаев оказываются малоэффективными при решении таких задач, хотя каждый новый этап в развитии вычислительной техники и расширяет их возможности. К настоящему времени определились некоторые направления в построении итерационных методов; мы ограничимся рассмотре- нием только двух из них. Первое основано на использовании спект- ральных характеристик операторов, участвующих в процессе. Методы этого типа можно описать следующим образом: строится итерационный процесс с матрицей перехода, зависящей от сово- купности параметров, и эти параметры выбираются либо одина- ковыми для всех шагов из условия минимизации спектрального радиуса матрицы перехода, либо строится последовательность зна- чений параметров, зависящих от номера итерации так, чтобы век- тор ошибки стремился как можно быстрее к нулю равномерно по всем начальным приближениям. Оба способа используют ап- риорную информацию о спектрах участвующих матриц. Выбор таких параметров является составной частью проблемы оптимиза- ции вычислительного алгоритма. Наибольшая трудность этапа состоит в определении границ спектров участвующих матриц. 566 ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ [ГЛ. 11 Активный прогресс в области спектральной оптимизации ите- рационных методов стимулирует постановку ряда проблем. Сле- дует иметь в виду, что спектральные методы оптимизации особен- но эффективны в случае решения серии задач с одним и тем же оператором, но разными входными данными. Второе направление связано с применением вариационных принципов. Методы этого класса осуществляют последовательную минимизацию некоторого функционала (как правило, квадратич- ного), который достигает минимального значения на искомом ре- шении системы. Основы вариационного подхода к построению итерационных методов заложены Л. В. Канторовичем [II], Лан- цошем [З], Хестенсом, Штифелем [II], М. А. Красносельским, С. Г. Крейном [11] и др. Из последних исследований нужно отме- тить работы Петришина [9, Ю], Форсайта [II], Даниеля [II], Г. И. Марчука, Ю. А. Кузнецова [3, И], С. К. Годунова, Г. П. Прокопова [II], В. И. Лебедева [9], Н. И. Горбенко, В. П. Ильина [11] и др. Достоинство вариационных методов типа наискорейшего спус- ка и итерационного процесса с минимальными невязками состоит в том, что параметры релаксации выбираются за счет использова- ния апостериорной информации, получаемой на каждом шаге. Скорость сходимости таких многошаговых методов не ниже, чем для методов, использующих полиномы Чебышева. Существенным является также то, что такие методы сходятся как для симметрич- • ных, так и несимметричных матриц при условии их положитель- ной определенности. В последнее время удалось построить ряд эф- фективных методов типа минимальных невязок для положитель- но полуопределенных матриц. Важным обстоятельством, сдерживающим до настоящего вре- мени развитие нестационарных вариационных методов, является необходимость хранить большее, по сравнению с чебышевскими методами оптимизации, количество промежуточной информации. В последнее время развиваются итерационные методы, в кото- рых сочетается подход спектральных и вариационных оптимиза- ций. В. И. Лебедев сформулировал условия на операторы задач, для которых итерационный процесс имеет неулучшаемую оценку числа арифметических операций. Развивается еще один метод вы- бора оптимальных параметров итерации, основанный на вероят- ностном подходе. Ряд интересных результатов в этой области по- лучен Ю. В. Воробьевым [9]. До сих пор не утратил своего боль- шого значения ставший уже классическим метод верхней релак- сации Янга — Франкела [Ю]. Исследования этого метода обобще- ны в монографиях Вазова, Форсайта [З], Варги [З], Изаксона, Кел- лера [З], Янга [10] и др. Обзор и систематизация итерационных методов даны в книге Г. И. Марчука и В. И. Лебедева [17]. Большой круг исследований был выполнен по итерационным методам решения линейных систем с особенными матрицами. Для 11.4] ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ 567 случая совместных систем автором и Ю. А. Кузнецовым [8, 11] был предложен общий подход к исследованию сходимости стацио- нарных и нестационарных итерационных методов. Этот подход позволил не только расширить область применимости известных итерационных методов, но и дал возможность разработать новый класс методов, получивших название матричных аналогов метода фиктивных областей (см. Ю. А. Кузнецов, А. М. Мацокин [4]). Итерационные методы решения несовместных систем были предло- жены в работах Ю. А. Кузнецова [8] и др. Остановимся на итерационных методах решения полной про- блемы собственных значений для общих матриц. Рассмотрим толь- ко степенные методы, поскольку именно здесь в последнее время получены существенные результаты, чем мы обязаны исследова- ниям Уилкинсона [8], Бауэра [8], Коллатца [З], В. В. Воеводина I8], Френсиса [8], В. Н. Кублановской [8], Эберлейна [8] и мно- гих других. Степенные методы основаны на последовательном приведении исходной матрицы с помощью унитарных преобразований подо- бия (метод Якоби, (?7?-алгоритм) или преобразований подобия с треугольными матрицами (L.fl-алгоритм) к матрице, собственные значения которой легко вычисляются. Такими матрицами являют- ся диагональная, треугольная или блочно-треугольная, порядки диагональных блоков которой не выше двух. До последнего времени существовали эффективные алгорит- мы решения проблемы собственных значений лишь для симмет- ричных матриц, такие как метод Якоби (Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева [8], Рутисхаузер [8]). Разработка (?-й-алгоритма (В. Н. Кублановская [8], Френсис [8], Уилкинсон [8]) и обобщен- ного метода вращении (В. В. Воеводин [8]) позволяет говорить о решении проблемы для произвольных матриц. Наиболее интен- сивно в настоящее время разрабатываются различные модифика- ции ^Д-алгоритма. Прогресс в развитии проблемы собственных чисел имеется также в связи с работами в области расчета ядерных реакторов, стимулировавшими изучение итерационных методов решения част- ной проблемы собственных чисел для неотрицательных матриц. Основы теории заложены в трудах Перрона, Фробениуса и значи- тельно развиты в исследованиях Варги [З], Трауба [8], Марека [8] и др. Анализ ошибок округления. Если до последнего времени вычис- лительные методы сравнивались между собой по количеству ариф- метических действий и объему памяти, которые требовались для их реализации, то теперь к этим характеристикам добавилась точ- ность. Это означает, что анализ ошибок округления при реали- зации метода на ЭВМ стал одной из составных частей алгоритма. Начало исследованиям в этой области положено работами Неймана. Систематическое изучение ошибок впервые было прове- 568 ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ [ГЛ. 11 дено Уилкинсоном [8]. Основу математического аппарата Уил- кинсона составил метод эквивалентных возмущений, с помощью которых получены оценки норм возмущений для всех преобразо- ваний линейной алгебры и построены оценки норм эквивалентных возмущений для большого числа методов. Параллельно с методом эквивалентных возмущений интенсив- но развивалась статистическая теория анализа ошибок. Результа- ты, полученные Н. С. Бахваловым [8], В. В. Воеводиным [8], Г. Д. Ким [8] и др., положили начало исследованию действитель- ного распределения ошибок округления. Комплексы стандартных программ. Следствием успехов, до- стигнутых в вычислительной линейной алгебре, явилась разра- ботка высококачественных стандартных программ для решения систем линейных уравнений и нахождения собственных значений. Так, например, в журнале Numerische Mathematik уже опубли- ковано большое число различных процедур, которые широко используются как для решения общих задач линейной алгебры, так и для ряда специальных задач математической физики, эко- номики и т. д., связанных с матрицами специального вида. Указанная проблема, несомненно, привлечет внимание иссле- дователей, и результатом их усилий должно явиться создание универсальной вычислительной системы решения задач линейной алгебры. Можно указать по крайней мере на две тенденции, которые уже наметились в развитии этого направления: одна связана с тщательной отработкой комплексов алгоритмов и про- грамм решения общих задач, другая состоит в создании универ- сальных методов, адаптирующихся к конкретным особенностям классов задач. Обе тенденции крайне интересны, поскольку про- кладывают пути к системе универсального проблемно-ориенти- рованного математического обеспечения для ЭВМ четвертого и последующих поколений. 11.5. Вопросы оптимизации численных методов Важной целью вычислительной математики является отыска- ние наиболее быстрых и экономически выгодных методов реше- ния задач, т. е. оптимизация вычислительных алгоритмов. Проб- лему оптимизации решения при заданных ограничениях необхо- димо изучать с помощью общих математических теорем и оцени- вать минимально возможные затраты на решение конкретной задачи из заданного класса или суммы задач. Рассмотрение одной изолированной математической задачи оптимизации большей частью не решает практического вопроса. Однако, умея находить условный экстремум, т. е. наилучший способ решения при задан- ных возможностях и средствах вычислений каждой локальной задачи, мы тем самым подходим к решению общей проблемы. Эта концепция теории оптимизации вычислительных методов, сфор- 11.5] ВОПРОСЫ ОПТИМИЗАЦИИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ 569 мулированная Н. С. Бахваловым [20], С. М. Никольским [З], И. Бабушкой и С. Л. Соболевым [20], достаточно хорошо отража- ет существо поставленной проблемы. Во многих случаях, однако, построить оптимальный алго- ритм не удается, хотя и оказывается возможным построить алго- ритм, близкий к оптимальному. Такая ситуация типична, напри- мер, при построении асимптотически оптимальных алгоритмов. Можно отметить, что в настоящее время именно теория асимпто- тических оценок является эффективным средством решения проб- лем оптимизации алгоритмов для различных классов задач. К настоящему времени наиболее развитой с точки зрения теории оптимизации является теория кубатурных формул, раз- работанная С. Л. Соболевым [1, 20], И. Бабушкой [20]. В их работах задача оценки кубатурных формул приводится к реше- нию задачи отыскания минимума линейного функционала ошибок. Получены оценки ошибки кубатурных формул с правильной ре- шеткой на классах периодических финитных и бесконечно диф- ференцируемых функций. Методы исследования существенно ис- пользуют асимптотические оценки приближений. Теории куба- турных формул посвящены исследования Н. С. Бахвалова [20] и И. М. Соболя [18], связанные с оптимальными оценками схо- димости кубатурных процессов, с методами интегрирования типа метода Монте-Карло, а также с отысканием наилучших способов численного интегрирования. Несколько иной подход к построению кубатурных формул на основе теоретико-числового анализа, заложенный трудами И. М. Виноградова [20], развивается в работах Н. М. Коробова [201, К. К. Фролова [20], где строятся формулы, точные для конечных тригонометрических полиномов, и даются оценки по- грешностей на классе периодических функций. А. Н. Колмогоров [20] ввел в рассмотрение ряд понятий тео- рии множеств общего характера, позволяющих найти оценку границы для необходимого числа действий при решении вычисли- тельных задач. Особое значение такие оценки имеют для направ- ленного поиска алгоритмов в тех случаях, когда асимптотики сверху и снизу расходятся. Для линейных дифференциальных операторов, имеющих вполне непрерывный обратный, им дана оценка числа необходимых для решения действий. Эта оценка позволяет находить алгоритмы, асимптотически близкие к опти- мальным по числу арифметических действий. Н. С. Бахваловым [20] исследован комплекс алгоритмов реше- ния задач математической физики конечно-разностными методами. В частности, им даны оценки снизу количества действий при решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Интересное направление в оптимизации решения задач мате- матической физики развивается в работах В. И. Лебедева [9]. В качестве основного минимизируемого функционала рассматрп- 570 [ГЛ. 11 ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ вается цена алгоритма и энтропия. С помощью этого метода рассмотрены некоторые задачи теории переноса. При решении проблемы оптимизации зачастую приходится абстрагироваться от многих факторов, таких, как методы округ- ления чисел в процессе реализации алгоритма, особенности осу- ществления арифметических операций в регистрах конкретных ЭВМ и т. д. Между тем именно эти факторы в ряде случаев опре- деляют эффективность алгоритма. Следовательно, здесь необходи- мо говорить уже об оптимизации вычислительного процесса. Изучению теории вычислительных процессов и их оптимиза- ции посвящено значительное число исследований Бабушки [20], Дальквиста [20], Хенричи [3] и др. Бабушка, Витасек и Прагер [3] ввели понятие (^-последовательностей вычислительных про- цессов, которое отражает тот факт, что при увеличении длины последовательности вычислений точность вычислений должна уве- личиваться по степенному закону., На основе теории (^-последо- вательностей было введено понятие локальной и глобальной устойчивости численных процессов, которое позволило провести анализ большого круга реальных алгоритмов вычислительной математики. В последние годы возникло направление в теории оценки точ- ности реального алгоритма на ЭВМ, получившее название интер- вальной арифметики, разработанное в трудах Мура [20], Никела [20] и др. Основная цель интервальной арифметики состоит в по- лучении апостериорных оценок погрешности, получаемых дву- кратным счетом на одной и той же ЭВМ. 11.6. Методы оптимизации С задачами на связанный экстремум человечество знакомо с глубокой древности. История развития этой области знаний в рамках математики может быть разделена, конечно, весьма условно, на ряд этапов. Сначала рассматривались отдельные за- дачи, главным образом геометрического происхождения, причем среди них имеются весьма знаменитые, не потерявшие своего значения до наших дней. Например, решение изопериметриче- ской задачи было известно еще древним грекам (Зенодор). Общий метод решения аналитических задач на связанный максимум или минимум принадлежит Лагранжу. Наличие техники множителей Лагранжа позволяет многие задачи решать стандартным путем, не подвергая их порой весьма сложному индивидуальному иссле- дованию. Однако при этом решаются лишь задачи на гладких многообразиях. Границы многообразии, то есть ограничения типа неравенств, должны исследоваться отдельно. Следующий этап можно связать с именем Минковского. Ука- жем, в частности, на его теоремы о возможности получить всякое следствие из системы неравенств путем их комбинирования с И.6] 571 МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ неотрицательными множителями и о конечной порождаемое™ множества решений системы линейных неравенств. В этих тео- ремах, по сути дела, заложен фундамент для всей теории линей- ного программирования. Но фактическое создание линейного программирования началось значительно позже, и связано с име- нами Канторовича и Данцига. После этого началось активное развитие методов оптимизации. В разных странах появились ра- боты по линейному, выпуклому, общему нелинейному, динамиче- скому программированию. Большое число работ посвящено чис- ленным методам решения таких задач и их всевозможным прило- жениям. В настоящее время эта работа продолжается, причем на первое место выходит проблема корректной и экономной алго- ритмизации методов, их реализация на ЭВМ в виде пакетов прикладных программ, удобных для решения больших классов практических задач. Что касается создания современной теории оптимального урав- нения, то, по-видимому, впервые вопросы получения оптимальных законов управления серьезно были поставлены в теории движения ракет. Однако с точки зрения общей теории полученные резуль- таты носили частный характер. Дело в том, что большинство задач приводит к неклассическим вариационным постановкам — задачам с ограничениями. Впервые наиболее важные результаты были получены в теории систем, обеспечивающих минимальное время регулирования. В 1952—1955 гг. главным образом в работах Фельдбаума были заложены основы теории оптимальных по быстродействию про- цессов для линейных систем. В 1956 году Л. С. Понтрягиным был сформулирован принцип, ведущий к решению общей задачи о нахождении оптимального по быстродействию процесса регулирования. Этот принцип, полу- чивший наименование принципа максимума, был проведен сна- чала для отдельных типов систем и, в частности, доказан Р. В. Гамкрелидзе для случая линейных систем. В. Г. Болтян- ский полностью доказал принцип максимума Понтрягина в каче- стве необходимого условия оптимальности по быстродействию. Затем принцип максимума был распространен на общий случай минимизации произвольного функционала типа интеграла функ- ции от переменных системы. При рассмотрении вопросов, касающихся теории оптималь- ных процессов, необходимо отметить многочисленные работы Р. Беллмана. Метод динамического программирования, развитый им, дает новый аппарат для решения вариационных задач и тесно связан с принципом максимума Понтрягина. Как уже отмечалось в гл. 10, в теории оптимального управле- ния рассматриваются такие задачи с запаздыванием, с дискретным временем, с параметрами, с изопериметрическими условиями и аналогичные задачи оптимального управления для уравнений 572 ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ [ГЛ. И с частными производными. Работы, в которых содержатся дру- гие концепции и дальнейшее развитие теории оптимального уп- равления, приведены в списке литературы [22]. Многие задачи математической физики допускают естествен- ную вариационную постановку, когда задача сводится к отысканию экстремума некоторого функционала. Вариационный подход позволяет снять ограничения гладкости на искомое решение, не вызванные физической природой явления, и, кроме того, дает возможность строить заведомо устойчивые разностные схемы (см. гл. 2). В приложениях часто приходится иметь дело с задачами, ко- торые приводятся к экстремальным, но на более узком множестве, чем традиционные, причем соответствующие функционалы могут не обладать гладкостью, необходимой для применения классиче- ских методов вариационного исчисления. Для исследования та- кого рода задач с ограничениями были привлечены вариационные неравенства, что позволило решить довольно сложные задачи механики и физики, до того не поддававшиеся решению. Вариационные неравенства возникают в ряде разделов меха- ники сплошных сред, в задачах со свободной границейе во многих задачах оптимального управления и т. д. Вопросы теории данного подхода развивались в основном в работах французских матема- тиков [21 J. Систематическое изложение численных методов ис- тледования вариационных неравенств, возникающих в различных сриложениях, можно найти в книге Гловинского, Лионса, Тре польера «Численное исследование вариационных неравенств», моторая вышла в русском переводе в 1979 году. 11.7. Методы Шварца и разделения области Альтернирующий метод Шварца известен в вычислительной математике уже многие годы (В. И. Смирнов [2], С. Л. Соболев [23], С. Г. Михлин [23], С. К. Годунов [2] и др.). Он всегда рас- сматривался прежде всего как метод, позволяющий сводить ре- шение исходной задачи в области со сложной формой границы- к последовательности задач в подобластях, форма которых доста- точно простая. В последние годы интерес к этому методу значи- тельно возрос (Е. А. Волков [23], С. Е. Романова [23], А. М. Ма- цокин [23], А. М. Мацокин, С. В. Непомнящих [231, П.-Л. Лионе [23] и др.). Одной из причин этого является то обстоятельство, что в настоящее время разработаны достаточно эффективные алгорит- мы численного решения ряда задач математической физики имен- но для случая простых областеи. С учетом этого обстоятельства в последние годы осуществляется поиск модификаций метода Шварца, обладающих более высокой скоростью сходимости, по сравнению с его классическим вариантом. 11.8] СОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ И АЛГОРИТМЫ ВОЗМУШЕНИИ 573 Другим методом, позволяющим часто сводить решения задач к решениям последовательности задач в подобластях, имеющих простую форму границы, является метод разделения области (Э. И.'Матеева, Б. В. Пальцев [23], В. Э. Кацнельсон. В. В. Мень- шиков [23], Л. Б. Цвик [23], В. В. Смелов [23], А. М. Мацокин [23], В. И. Лебедев, В. И. Агошков [23], Г. И. Марчук, Ю. А. Куз- нецов [23], Р. Гловинский [23], М. Дрыя [23], Е. Г. Дьяконов [23] и др.). В первых же исследованиях поданному методу была отмечена необходимость введения в итерационный процесс, лежащий в основе метода, некоторых параметров. Эти пара- метры необходимо было выбирать так, чтобы процесс сходил- ся. Некоторые подходы по выбору оптимальных значений этих параметров осуществлены В. Э. Кацнельсоном, В. В. Мень- шиковым [23]. Л. Б. Цвиком [23] параметры итерационного про- цесса выбирались на основе одношаговой минимизации квадра- тичного функционала. В работах М. Е. Дмитриенко, Л. А. Ога- несяна [23], В. Г. Осмоловского, В. Я. Ривкинда [23], А. М. Ма- цокина [23] рассматривались стационарные итерационные процес- сы метода разделения области в применении к дифференциальным уравнениям и их разностным аналогам. В работах В. И. Ле- бедева, В. И. Агошкова [23] исследованы эффективные нестацио- нарные итерационные алгоритмы метода разделения области с переменными параметрами, найдены оптимальные наборы этих параметров. В. И. Агошковым, В. И. Лебедевым введен специаль- ный класс операторов — операторов Пуанкаре — Стеклова, изу- чен ряд свойств этих операторов и на их основе разработана об- щая методология конструирования и исследования алгоритмов разделения области. В. В. Смеловым [23] и В. И. Агошковым [23] методы разделения области изучались в применении к зада- чам теории переноса излучения. Исследованием данных методов в нестационарных задачах посвящены работы Ю. А. Кузнецова [23], Г. И. Марчука, Ю. А. Кузнецова [23], С. Н. Булеева, В. И. Агошкова [23] и др. В настоящее время число научных работ по методу разделения области постоянно растет как в нашей стране, так и за рубежом. Одной из причин этого роста является то, что данный метод часто позволяет осуществить распараллеливание процесса решения задачи при использовании многопроцессорных ЭВМ, которые интенсивно внедряются в практику вычислений в последние годы. 11.8. Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений Алгоритмы возмущений возникли в XIX веке в связи с реше- нием задач небесной механики. Математическая теория возмуще- ний берет свое начало из работ А. Пуанкаре [24], А. М. Ляпуно- ва [24J, Реллиха [24]. Дальнейшее свое развитие она получила в работах К. Фридрпхса, Т. Като, Н. II. Боголюбова, Ю. А. Мпт- 574 ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ [ГЛ. 11 ропольского, А. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузова, М. И. Вишика, Л. А. Люстерника, Секефальви-Надя, С. А. Ломова, Н. Н. Мои- сеева, В. П. Маслова, В. А. Треногина, Р. Беллмана, Ван Дей- ка и многих других ученых как в нашей стране, так и за рубежом. В настоящее время методы возмущений широко применяются для исследования и численного решения различных прикладных за- дач. Одновременно с их развитием была выявлена значительная роль сопряженных уравнений в теории возмущений. Определенные Лагранжем сопряженные операторы нашли широкое применение при решении задач математической физики. Однако истинное значение теории сопряженных уравнений, по- видимому, было впервые оценено при развитии квантовой меха- ники. Уравнение Шредингера потребовало развития аппарата сопряженных уравнений по крайней мере для задач на собствен- ные значения. Здесь впервые сопряженные уравнения становятся необходимым математическим аппаратом для формулирования теории малых возмущений в спектральных проблемах. Новый подход к сопряженным задачам был сформулирован в работах Б. Б. Кадомцева [16], Л. Н. Усачева [24], а также в ра- боте Г. И. Марчука, В. В. Орлова [24], в которой была дана об- щая формулировка сопряженных задач по отношению к избран- ным линейным функционалам задач. В дальнейшем в работах автора [24] было дано развитие тео- рем сопряженных задач по отношению к заданным функционалам для широкого класса задач математической физики. Оно оказалось плодотворным и для многих других направлений науки. В резуль- тате появились более и менее общие подходы к исследованию слож- ных систем и математических моделей теории диффузии охраны окружающей среды, теории климата и его изменений, иммунологии и др. Вместе с развитием методов сопряженных уравнений форми- ровался рациональный подход к решению обратных задач и к пла- нированию математического эксперимента (Г. И. Марчук [24], [16], Г. И. Марчук, Ю. П. Дробышев [16]). В последние годы сопряженные уравнения и алгоритмы воз- мущений интенсивно исследуются в применении к нелинейным задачам (Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский [24], В. С. Вла- димиров, И. В. Волович [24], М. М. Вайнберг, В. А. Треногий [24], В. П. Маслов [24], Г. И. Марчук [24], Г. И. Марчук, В. И. Агош- ков [24]). В этих задачах возникают те или иные обобщения теории сопряженных уравнений. Изложение этих обобщений можно найти в книге Г. И. Марчука, В. И. Агошкова, В. П. Шутяева [24]. В ней также рассмотрены вопросы обоснования различных аспек- тов теории сопряженных уравнений и алгоритмов возмущений применительно как к линейным, так и нелинейным задачам. В данной книге также приведен обзор многих приложений сопря- женных уравнений и алгоритмов возмущений в математической физике, вычислительной математике, геофизике и др. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Функциональный анализ и вычислительная математика А н с е л о н (Anselone Р. Н. М.) Collectively Compact Operator Approxima- tion Theory and Applications to Integral Equations.— Englewood Cliffs: Prentice-Hall Inc., 1967. Балакришнан (Balakrishnan A. V.) Applied Functional Analysis.— N. Y.: Springer-Verlag, 1976. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в числен- ном анализе.— М.: Мир, 1974. Вейнштейн, Стенгер (Weinstein A., Stenger W.). Methods of In- termediate Problems for Eigenvalues, Theory and Ramifications.— L., N. Y.: Acad. Press, 1972. Канторович Л.В. Функциональный анализ и прикладная математи- ка//УМН.—1948.—Т. 3, №6. Канторович Л.В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нор- мированных пространствах.— М.: Физматгиз, 1959. Келдыш М. В., Л и д с к и и В. Б. Вопросы спектральной теории не- самосопряженных операторов // Труды IV Всесоюзного математического съезда, Ленинград, 3—12 июля, 1961 г. Т. 1. Пленарные доклады.— Л.: Изд-во АН СССР, 1963. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика.— М.: Мир, 1969. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.— М.: Наука, 1976. Красносельский М. А., В а н н и к к о Г. М., 3 а б р е й- к о П. П. и др. Приближенное решение операторных уравнений.— М.: Наука, 1969. К р е и н С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом про- странстве.— М.: Наука, 1967. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплекс- ного переменного.— М.: Физматгиз, 1965. Лионе (Lions J.). Equations dilferentiellcs operationnelles.—Berlin— Gottingen — Heidelberg: Springer-Verlag, 1961. Л ю с т е р н и к Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа.—М.: Наука, 1965. М и х л и н С. Г. Вариационные методы в математической физике,— М.: Наука, 1970. М ц х л и п С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала.— М.: Гостехиздат, 1952. М и х л и н С. Г., С м о л и ц к и и X. Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений.— М.: Наука, 1965. Н а т а н с о ц И. П. Теория функций"веществснной переменной.— М.: Наука, 1974. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.— М.: Наука, 1969. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и техни- ке.— М.: Мир., 1985. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 576 Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в ма- тематической физике.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул.— М.: Наука 1974. Треногий В. А. Функциональный анализ.— М.: Наука, 1980. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина.— М • Мир, 1988. 2. Дифференциальные уравнения в частных производных и математическая физика Б и ц а д з е А. В. Краавые задачи для эллиптических уравнений второго порядка.— М.: Наука, 1966. Б о с с а в и (Bossavit A.). Regularisation d'equations variationnelles et applications.— Centre national de la Recherche Scientifique, Institute Blaise Pascal, Juin 1970. В е к у а И. Н. Новые методы решения уравнений эллиптического типа.— М.: Гостехиздат, 1948. В и ш и к М. И., Л ю с т е р н и к Л. А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстроменяю- щимися коэффициентами и граничными условиями // УМН.—1964.— Т. 15, № 4. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1967. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике.— М.: Наука, 1976. Годунов С. К. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1971. Канторович Л.В.,Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа.— М.: Физматгиз, 1962. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнении в об- ластях с коническими или угловыми точками // Труды Московского ма- тематического общества.—1967.— Т. 16. Курант Р. Уравнения с частными производными.— М.: Мир, 1964. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1.— М.: Гостехиздат, 1953. ЛаврентьевМ. А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа.— М.: Изд-во АН СССР, 1952. ЛаврентьевМ.М. О некоторых некорректных задачах математической физики.— Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. ЛадыженскаяО.А. Смешанная задача для гиперболического урав- нения.— М.: Гостехиздат, 1953. Леоне Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.— М.: Мир, 1972. Лионе Ж. -Л., МаженесЭ. Неоднородные граничные задачи и их приложения.— М.: Мир, 1971. Миллер (Miller J. Н.), ed. Topics in Numerical Analysis. Procs of the Royal Irish Acad. Conf. on Numer. Analysis 1972.— L., N. Y.: Acad. Press, 1973. Миллер (Miller J. H.), ed Topics in Numerical Analysis. II, Procs of the Royal Irish Acad. Conf. on Numer. Analysis, 1974.— L., N. Y.: Acad. Press, 1975. М и н о (Mignot A.). Methodes d'approximation des solutions de problems aux limites// Rend. del som. Mat. della Univ. di Padova.— 1968.— 11. П е т р о в с к и и И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными.— М.: Физматгпз, 1961. Рождественски и Б.Л., ЯненкоН.Н. Системы квазилинейных уравнений.— М.: Наука, 1968. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 577 Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 1—5.— М.: Гостехиздат, 1948. Соболеве.Л. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1966. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической фи- зики.— М.: Наука, 1966. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчис- ления, т. 3.— М.: Физматгиз, 1963. Фридрихе (Friedrichs К.) Non-linear hyperbolic differential equations for functions of two independent variables//Amer. J. Math.—1948.— V. 70. 3. Численные методы (монографии и учебные пособия) БабенкоК. И. Основы численного анализа.— М.; Наука, 1986. Бабушка И., В и т а с е к Э., П р а г е р М. Численные процессы ре- шения дифференциальных уравнений.— М.: Мир, 1969. Балакришнан, Нойштадт (Balakrishnan А. V., Newstadt L. W.) Computing Methods in Optimisation Problems.— Academic Press, 1964. Б а х в а л о в Н. С. Численные методы. Т. 1.— М.: Наука, 1973. Б а х в а л о в Н. С., Ж и д к о в Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы.— М.: Наука, 1987. Беллман: Калаба, Локет (Bellman R., Kalaba R., Lockett J.) Numerical Inversion of the Laplace Transform.— N. Y.: Am. Elsevier Publ. Co. Inc., 1966. Б е р е з и н И. С., Ж и д к о в Н. П. Методы вычислений. Т. 1, 2.— М.: Физматгиз, 1966. Б л ю м (Blum E. К.). Numerical Analysis and Computation: Theory and Practice.— L.: Addison-Wesley Publ. Сотр. Inc., 1972. Брэмбл (Bramble J. H.), ed Numerical Solution of Partial Differential Equations // Proc. of a Symp. Held at the Univ. of Maryland.— L., N. Y.: Acad. Press, 1966. ВазовВ., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциаль- ных уравнений в частных производных.— М.: ИЛ, 1963. В а л и у л л и н А. Н. Схемы повышенной точности для задач математичес- кой физики. Лекции для студентов НГУ.— Новосибирск: Изд-во НГУ, 1973. Варга (Varga R. S.). Matrix Iterative Analysis.— N. \., 1963. ВоеводинВ.В. Математические модели и методы в параллельных про- цессах.— М.: Наука, 1986. В о л к о в Е. А. Численные методы.— М.: Наука, 1982. Воробьев Ю. В. Метод моментов в прикладной математике.— М.: Физ- матгиз, 1958. ГельфондА.О. Исчисление конечных разностей.— М.: Наука, 1967. Г о д у н о в С. К., Разностные методы решения уравнений газовой динами- ки.— Новосибирск: Изд-во НГУ, 1962. Годунове. К., Забродин А. В., И в а н о в М. Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики.— М.: Наука, 1976. Годунове. К., Р я б е н ь к и и В. С. Введение в теорию разностных схем.— М.: Физматгиз, 1962. Годунове. It., Р я б е н ь к и и В. С. Разностные схемы.— М.: Наука, 1973. Дальквист, Бьйорк (Dahlquist G.. Bjorck A.). Numerical Methods.— Englewood Cliffs: Prentice Hall Inc., 1974. Д о р о д н и ц ы н А. А. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэродинамики//Труды III Всесоюзного математи- ческого съезда. Т. II.—М.: Изд-во АН СССР, 1956. Дородницын А. А. Лекции по численным методам решения уравнений вязкой жидкости.—М.: ВЦ АН СССР, 1969. 19 Г. И. Марчук 578 liUHCOK ЛИТЕРАТУРЫ ДробышевичВ.И., ДымниковВ.П., РивинГ.С. Задачи по вычислительной математике.— М.: Наука, 1980. ДьяконовЕ.Г. Итерационные методы решения разностных аналогов краевых задач для уравнений эллиптического типа.— Киев: ИК АН УССР, 1970. Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач.— М.: МГУ, 1971. Вып. 1 (стационарные задачи); 1972. Вып. 2 (нестационарные задачи). Изаксон, Келлер (Isaacson E., Keller H. В.); Analysis of Numerical Methods.— N. Y.: Wiley, 1966. И л ь и н В. П. Разностные методы решения эллиптических уравнений.— Новосибирск: Изд-во НГУ, 1970. И л ь и н В. П. Численные методы решения задач электрооптики.— Ново- сибирск: Наука, 1974. КанторовичЛ. В., Крылов В. И. Приближенные методы анализа.— М.— Л.: Физматгиз, 1962. Келлер (Keller Н. В.). Numerical Methods for Two-Point Boundary Value Problems.— N. Y.: Blaisdell Publ. Сотр., 1968. КоллатцЛ. (Kollatz L.) Численные методы решения дифференциаль- ных уравнений.— М.: ИЛ, 1953. Коновалов А. Н. Численное решение задач теории упругости.— Ново- сибирск: Изд-во НГУ, 1968. Л а н ц о ш К. Практические методы прикладного анализа.— М.: Физмат- гиз, 1961. Лебедев В. И., Б а х в а л о в Н. С., АгошковВ.И., Бабу- рин О. В., Князев А. В., Ш у т я е в В. П. Параллельные алго- ритмы решения некоторых стационарных задач математической физики.— М.: ОВМ АН СССР, 1984. Лионc, Марчук (Lions J. L., Marchook G. I.). Sur les methodes nu- meriques en sciences physiques et economiques.— P.: Dunod, 1974. М а р ч у к Г. И. Методы расчета ядерных реакторов.— М.: Атомиздат, 1961. М а р ч у к Г. И. Численные методы в прогнозе погоды.—Л.: Гидромет- издат, 1967. Марчук Г.И. (Marchuk G. I.). Methods and problems of computational mathematics // Article from the Proceedings of the International congress of mathematicians, Nice, September 1970. Марчук Г. И. Методы и проблемы вычислительной математики // Между- народный конгресс математиков в Ницце. 1970. Доклады советских ма- тематиков.— М.: Наука, 1972. М а р ч у к Г. И. Методы вычислительной математики.— Новосибирск: Нау- ка, 1973. М а р ч у к Г. И. Методы вычислительной математики.— М.: Наука, 1980. Миллер, Стрэнг (Miller J., Strong G.). Matrix theorems for partial differential and difference equations//Math. Scandinavica.—1966.— V. 18, № 2. Митчелл (Mitchell А. В.). Computational Methods in Partial Differential Equations.— L.: Wiley, 1970. Мы с о в с к и х И. П. Лекции по методам вычислений.— М.: Физматгпз, 1962. Некоторые проблемы вычислительной и прикладной математи- ки. / Под ред. М. М. Лаврентьева.— Новосибирск: Наука, 1975. Н и к о л ь с к и и С. М. Квадратурные формулы.— М.: Наука, 1974. О б э н Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач.— М.: Мир, 1977. П о л о ж и и Г. Н. Чпслепное решение двумерных и трехмерных краевых задач математической физики и функций дискретного аргумента.— Ки- ев: Изд-во К ГУ, 1962. ПонтрягинЛ. С., Б о л т я н с к и и В. Г., Г а м к р е л и д з е Р. В., МищенкоЕ. Ф. Математическая теория оптимальных процессов.— М.: Физматгпз, 1961. 579 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ РихтмайерР.Д. (Richtmyer R.). Разностные методы решения краевых задач.— М.: ИЛ, 1960. Рихтмайер, Мортон (Richtmyer R. D., Morton К. W.). Difference Methods for Initial-Value Problems.— N. Y.: Wiley, 1967. РябенькийВ.С. Метод разностных потенциалов для некоторых задач механики сплошных сред.— М.: Наука, 1987 J С а м а р с к и и А. А. Введение в численные методы.— М.: Наука, 1982. Самарский А. А. Теория разностных схем.— М.: Наука, 1982. Самарский А. А., АндреевВ.Б. Разностные методы для эллипти- ческих уравнений.— М.: Наука, 1976. Самарский А. А., Г у л и н А. В. Устойчивость разностных схем.— М.: Наука, 1973. Самарски и А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамп- ки.— М.: Наука, 1975. СаульевВ.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток.— М.: Физматгиз, 1960. С е а (Сеа J.). Optimisation theorie et algorithmes.— P.: Dunod, 1971. СтрэнгГ., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов.— М.: Мир, 1977. Т р а у б (Traub J. P.). Iterative Methods for the Solution of Equations.— Englewood Cliffs: Prentice-Hall Inc., 1964. Фоке Л., М а и е р с Д. Ф. (Fox L., Mayers D. F.). Computing Methods for Scientists and Engineers.— Oxford, 1968. ХаусхолдерА.С. Основы численного анализа.— М.: ИЛ, 1956. Х е н р и ч и (Henrici P.). Error Propagation for Difference Methods.— N. Y.: John Willey and Sons, 1963. Ш а и д v р о в В. В. Многосеточные методы конечных элементов.—М.: Наука, 1989. ЯненкоН.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач мате- матической физики.— Новосибирск.: Наука, 1967. 4. Метод сеток БелоцерковскийО. М., Ч у ш к и н П. И. Численный метод ин- тегральных соотношений//ЖВМ и МФ.— 1962.— Т. 2, № 5. Б р а и е н (Вгауп К.). A scheme for numerical integration of the equations of motion on an irregular grid free of non-linear instability // Monthly Weather Review.-1966.-T. 94, № 1. [Русск. перев.: Численные методы решения задач динамики атмос- феры и океана.— Л.: Гидрометиздат, 1968.] Вакспресс (Wachsprcss Е. L.). The numerical solution of boundary value problems//Mathematical Methods for Digital Computers.— N. Y.: 1960. ВалиуллинА.Н., ЯненкоН.Н. Экономичные разностные схемы повышенной точности для полигармонического уравнения // Изв. Сиб. отд. АН СССР. Сер. тех. наук.— 1967.— Т. 13, № 3. В а л и ц к и и Ю. Н. О сходимости разностных аппроксимаций собственных значений и собственных функций двумерного эллиптического операто- ра // ДАН СССР.— 1971.— Т. 198, № 2. В о л к о в Е. А. Исследование одного способа повышения точности метода сеток при решении уравнения Пуассона // Вычислительная математика. Вып. 1.— М.: ВЦ АН СССР, 1957. В о л к о в Е. А. Решение задачи Дирихле методом уточнений разностями высших порядков. Ч. I, II // Дифференциальные уравнения.— 1965.— Т. 1, ;N» 7. ВОЛКОВЕ.А. Метод неравномерных сеток для конечных и бесконечных областей с коническими точками // Дифференциальные уравнения.— 1966.— Т. 10, № 2. 1?* 580 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ В о л к о в Е. А. Развитие метода сеток для уравнений Лапласа на конечных и бесконечных областях с кусочно-гладкой границей: Автореф. докт дисс.— М., 1967. Годунове. К., Забродин А. В. О разностных схемах второго по- рядка точности для многомерных задач// ЖВМ и МФ.— 1962 — Т 2 № 4. Годунов С. К., Прокопов Г. П. О расчетах комформных отображе- ний и построении разностных сеток// ЖВМ и МФ.— 1967.— Т. 7, № 5. Годунове.К., СемендяевК.А. Разностные методы численного решения задач газовой динамики// ЖВМ и МФ.— 1962.— Т. 2, № 7. ДемьяновичЮ.К. Метод сеток для некоторых задач математической физики// ДАН СССР.— 1964.— Т. 159, № 2. Джойс (Joice D. С.). Survey of extrapolation processes in numerical analy- sis//SI AM Review.—1971. V. 13, №4. Келлер (Keller H.). A new difference scheme for parabolic problems.— In: Numerical solution of partial differential equations.— II. SYNSPADE- 1970. N. Y.; L.: Academic Press, 1971. К е л л о г (Kellog R.). Singularities in interface problems.— In: Numerical solution of partial differential equations.— II. SYNSPADE-1970. N. Y.; L.: Academic Press, 1971. Коновалов A. H. Метод фиктивных областей в задачах кручения // Численные методы механики среды.— 1973.— Т. 4, № 2. КопченовВ.Д. Приближение решения задачи Дирихле методом фиктив- ных областей//Дифференциальные уравнения.—1968.—Т. 4, №1. Кроули (Crowley W.). Second order numerical advection//J. Сотр. Phys.— 1967-— V. 1, № 4. Кузнецов Ю. А., М а ц о к и н А. М. Решение уравнения Гельмгольца методом фиктивных областей // Вычислительные методы линейной алгеб- ры.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1972. Кузнецов Ю. А., М а ц о к и н А. М. Матричный аналог метода фик- тивных областей и его применения.— Новосибирск, 1977. КузнецовЮ.А., ШайдуровВ. В. О равномерной сходимости разностных схем // Вычислительные методы линейной алгебры — Ново- сибирск: ВЦ СО АН СССР, 1972. Курихара, Холловэй (Kurihara Y., Holloway I.). Numerical in- tegration of a nine-level global primitive equations model formulated by the box method // Monthly Weather Review.— 1967.— V. 95, № 8. КуропатенкоВ.Ф. Метод построения разностных схем для численно- го интегрирования уравнений газодинамики//Изв. вузов. Математи- ка.— 1962.— Т. 3, № 28. ЛандауЛ.Д., МейманН.Н., ХалатниковИ.М. Численные методы интегрирования уравнений в частных производных методом се- ток// Труды III Всесоюзного математического съезда, т. II.— М.: Изд- во АН СССР,1956. Лебедев В. И. Метод сеток для уравнений типа С. Л. Соболева // ДАН СССР.— 1957.— Т. 114, № 6. ЛебедевВ.И. О методе сеток для одной системы уравнений в частных производных//Изв. АН СССР. Сер. матем.—1958.—Т. 22, Хч 5. ЛебедевВ.И. О задаче Дирихле и Неймана на треугольных и шести- угольных сетках//ДАН СССР.—1961.—Т. 138, № 1. Л ю с т е р н и к Л. А. О разностных аппроксимациях операторов Лапла- са// — УМН, 1954.— Т. IX, № 2. М а р ч у к Г. И., Д ы м н п к о в В. П., Г а л и н В. Я. и др. Гидродина- мическая модель общей циркуляции атмосферы и океана.— Новоси- бирск, 1975. М а р ч у к Г. И., Р и в и н Г. С., Ю д и н М. И. Численные эксперименты с балансными схемами // Изв. АН СССР. Сер. ФАО.— 1973. Т. II. МарчукГ.И., ШайдуровВ.В. О численном решении эволюцион- ной задачи с ограниченным оператором// ДАН СССР.— 1974.— Т. 216. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 581 М а р ч у к Г. И., Ш а и д у р о в В. В. (Marchuk G. I., Shaydourov V. V.). Increasing of the accuracy of the projective-difference schemes.— Lecture Notes in Computer Science, vol. II. Springer-Veriag, 1974. МацокинА.М. Автоматизация триангуляции областей с гладкой грани- цей при решении уравнений эллиптического типа.— Препринт № 15 се- минара «Вычислительные методы прикладной математики», ВЦ СО АН СССР, 1975. МацокинА.М. К развитию фиктивных областей // Вычислительные ме- тоды линейной алгебры.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1972. МацокинА.М. Вариационно-разностный метод решения эллиптических уравнений в трехмерных областях // Вариационно-разностные методы в математической физике.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1976. МацокинА.М. О построении и методах решения систем вариационно- разностных уравнений: Автореф. канд. дисс.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. ПененкоВ. В. Вычислительные аспекты в задачах математического моде- лирования динамики атмосферных процессов: Автореф. докт. дисс.— Новосибирск, 1976. Р а в ь я р (Raviart Р. A.). Sur 1'approximation de certaines equations d'evo- lution lineaires et non lineaires// J. de Mathem. Pures et Appl.— 1967.— V. 46, № 1. РивкиндВ. Я. Приближенный метод решения задачи Дирихле и об оцен- ках скорости сходимости разностных уравнений к решениям эллипти- ческих уравнений с разрывными коэффициентами//Вестник Ленпнгр. ун-та Сер. матем.— 1964.— Т. 3. РивкиндВ.Я. Об оценке скорости сходимости однородных разностных схем для эллиптических и параболических уравнений с разрывными коэффициентами//Проблемы математического анализа.—Л.: Изд-во ЛГУ, 1966. РичардсонЛ.Ф. (Richardson L. F.). The approximate arithmetical so- lution by finite differences of physical problems involving differential equa- tions, with an application to the stress in a masonry dam // Philos. Trans. Roy. Soc., London, Ser. A. 1910.— V. 210. Руховец Л. А. Замечание к методу фиктивных областей//Дифферен- циальные уравнения.— 1967.— Т. 3, № 4. СамарскийА.А. О монотонных разностных схемах для эллиптических и параболических уравнений в случае несамосопряженного эллиптиче- ского оператора// ЖВМ и МФ.— 1965.— Т. 5, № 3. СамарскийА.А. О точности метода сеток для задачи Дирихле в про- извольной области//Appl., Math.— 1965.— Т. 10, № 3. СамарскийА.А. Некоторые вопросы теории разностных схем // ЖВМ и МФ.— 1966.— Т. 6, № 4. СаульевВ.К. Об одном методе автоматизации решения краевых задач на быстродействующих вычислительных машинах//ДАН СССР.— 1962.- Т. 142, № 3. СаульевВ.К. О решении некоторых краевых задач на быстродействую- щих краевых машинах методом фиктивных областей // Сибирск. матем. журнал.- 1963.- Т. 4, № 4. СиняевВ.Н. Об одном принципе построения конечно-разностных схем, основанных на законах сохранения полной энергии // Численные мето- ды механики сплошной среды.— 1974.— Т. 5, № 2. ТИХОНОВА. Н., Самарский А. А. О разностных схемах для урав- нений с разрывными коэффициентами//ДАН СССР.—1956.—Т. 108, № 3. Тихонов А. Н., Самарски и А. А. Об однородных разностных схе- мах // ЖВМ и МФ. — 1961.— Т. 1, № 1. ТИХОНОВА. Н., С а м а р с к и и А. А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках// ЖВМ и МФ.— 1962.— Т. 2, ^ 5. УрванцевА. Л., Ш а и д у р о в В. В. Уточнение приближенного ре- 582 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ шенпя квазилинейного уравнения Пуассона // Вариационно-разностные методы в математической физике.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР 1976. г . «. Ф и к е р a (Fichera G.). Further development in the approximation theory of eigenvalues // Numerical solution of partial differential equations — II. SYNSPADE 1970. N. Y.— L.: Academic Press, 1971. Фоке, Хенричи, Молер (Fox L., Henrici P., Moler С.). Approxima- tions and bounds for eigenvalues of elliptic operators//SI AM J. Numer. Anal.— 1967.— V. 4, № 1. Ф р о м м (Fromm J. Е.). Numerical method for computing nonlinear, time dependent, buoyant circulation of air in rooms // JBM J. of Research and Development.— 1971.— V. 15, № 3. Ч у д о в Л. А., К у д р я в ц е в В. П. Об ошибках округления при реше- нии разностными методами задач с начальными условиями для эллипти- ческих уравнений и систем// Численные методы в газовой динамике.— М.: Изд-во МГУ, 1963. ШайдуровВ.В. Об одном методе повышения точности разностных ре- шений // Численные методы механики сплошной среды.— 1972.— Т. 3, " № 2. ШутяевВ.П. Нестационарная задача для уравнения диффузии и па- раллельные алгоритмы ее решения // Сопряженные уравнения и алго- ритмы возмущений в задачах математической физики.— М.: ОВМ АН СССР, 1989. Я н е н к о Н. Н., С у ч к о в В. А., Погодин Ю. Я. О разностном решении уравнения теплопроводности в криволинейных координатах // ДАН СССР.- 1959.- Т. 28, № 5. 5. Вариационно-разностные методы Агошков В. И. О вариационной фэрме интегрального тождества Г. И. Марчука.— Препринт ВЦ СО АН СССР.—Новосибирск, 1977. АгошковВ.И. Обобщенная формулировка метода интегральных тож- деств.— Препринт ВЦ СО АН СССР.—Новосибирск, 1979. Бабушка (Babuska I.). The finite element method for elliptic differential equations//Numerical solution of partial differential equations.—II. SYNSPADE-1970, N. Y.; L.: Academic Press. 1971. Бабушка (Babuska I.). The rate of convergence for finite element me- thod // SIAM J. Numer. Anal.— 1971.— V. 8, № 2; Биркгоф, Шульц,Варга (Birkhoff G., Schultz М. Н., Varga R. S.). Hermite interpolation in one and two variable with applications to partial differential equations// Numer. Math.— 1968.— V. 11, № 3. Б р е м б л (Bramble J.). A second order finite difference analog of the first biharmonic boundary value problems// Numer. Math. 1961.— V. 9, № 3. Брембл, Хаббард (Bramble J., Hubbard В.). On the formulation of fini difference analogues of the Dirichlet problem for Posiison's equation // Numer. Math.— 1962.— V. 4, № 4. Брембл, Шатц (Bramble J., Schatz A.). On the numerical solution of elliptic boundary value problems by least squares approximation of the data // Numerical solution of partial differential equations.— II. SYNSPADE-1970., N. Y.— L.: Academic Press, 1971. Гловпнски (GIovinski R.). Introduction to the Approximation of El- liptic Variational Inequalities.— Report 76006, Laboratoire d'AnaIyse Numerique de 1'universite Paris, 1976.— Т. 6. Глоппнски, Лионе, Тремольер (GIovinski R., Lions J. L., Tremolieres R.). Analyse Numerique des Inequations Variationnelles, v. 1. 2.— P.: Dunod, 1976. Гловпнски, Марроко (Glowinski R., Marroco A.), Sur 1'Approxi- mation. par Elements Fin is d'Ordre Un. et al Resolution, par Penalisa- tion— Dualite, d'Une Classe de Problemes de Dirichlet Non Lineares.— СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 583 Revue Francaise d'Automatique, Informatique et Recherche Operatio- nelle, 1975, R-2. Дуглас, Дюпон (Douglas J., Dupont Т.). Alternating-direction Ga- lerkin methods on rectangles // Numerical solution of partial differential equations — II. SYNSPADE-1970. Academic Press, N. Y.; L.: 1971. ДьяконовЕ. Г. Некоторые классы операторов, эквивалентных по спектру, и их применения // Вариационно-разностные методы в матема- тической физике.— Новосибирск: ВЦ СА АН СССР, 1976. Дюво, Лионе (Duvaur G., Lions J. L.). Les Inequations en Mecanique et en Physique.— P.: Dunod, 1972.— (English translation: Grundlehren der Math., Springer-Veriag, 1976.—V. 219.) Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.—М.: Мир, 1975. 3 л а м а л (Zlamal М.). On the finite element method // Numer. Math.— 1968.— V. 12, № 5. 3 л а м а л (Zlamal М.). On some finite element procedures for solving se- cond order boundary value problems//Numer. Math.-1969.-V.14, № 1. КелдышМ.В. О методе Галеркина для решения краевых задач // Изв. АН СССР. Сер. матем.— 1942.— Т. 6. Курант (Courant R.). Variational methods for the solutions of problems of equalibrium and variations // Bull. Amer. Math. Soc.— 1943.— Т. 69. ЛебедевВ.И. Разностные аналоги ортогональных разложений основ- ных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач матема- тической физики// ЖВМ и МФ.— 1964.— Т. 4, № 3. Лионе, Темам (Lions J.L., Temam R.). Une methode d'eclatement des operateurs et des contraintes en calcul des variations//C. R. A cad. Sci. Paris.— 1966.— V. 263. Лионе, Стампакья (Lions J., Stampacchia). Variational inequali- ties// Con. Pure Applied Math.— 1967. V. XX. МарчукГ.И., АгошковВ.И. О выборе координатных функций в обобщенном методе Бубнова — Галеркина // ДАН СССР.— 1977.— Т. 232, № 6. МарчукГ.И., АгошковВ.И. Введение в проекционно-сеточные методы.— М.: Наука, 1981. О б э н (Aubin J. P.). Behavior of the error of the approximate solutions of boundary value problems for linear elliptic equations by Galerkin's and fi- nite difference methods // Ann. Scuola Norm. Super.— 1967, Pisa.— V. 21, № 4. О б э н (Aubin J. P.). Best approximation of linear operators in Hilbert spa- ce//SIAM J. Numer. Anal.—1968.—V. 5, № 3. О б э н (Aubin J. P.). Approximation des espaces des distributions et des ope- rateurs differentiels // Bull. Soc. Math. France, Memoire.— 1967.— Т. 12. Обэн, Буршард (Aubin J. P., Burchard Н. G.). Some aspects of the method of the hypercircle applied to elliptic variational problems.— Pro- ceedings of SYNSPADE. Acad. Press, 1971. Оганесян Л. П. Численный расчет плит // Решение инженерных задач на электронно-вычислительных машинах.— Л., 1963. ОганесянЛ.А. Вариационно-разностная схема на регулярной сетке для задачи Дирихле// ЖВМ и МФ.— 1971.— Т. 11, № 6. ОганесянЛ.А., Р и в к и н д В. Я., Р у х о в е ц Л. А. Вариацион- но-разностные методы решения эллиптических уравнений I, II // Диф- ференциальные уравнения и их применение, вып. 5, 8. Вильнюс. 1974. Оганесян Л. А., Руховец Л. А. О вариационно-разностных схе- мах для линейных эллиптических уравнений второго порядка в лиумер- ной области с кусочно-гладкой границей//ЖВМ и МФ.—1968.—Т. 8, № 1. ОганесянЛ.А., Руховец Л. А. Исследование скорости вариа- ционно-разностных схем для эллиптических уравнений второго порядка в двумерной области с гладкой границей// ЖВМ и МФ.— 1°69.— Т. 9. 584 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Р у х о в е ц Л. А. Исследование скорости сходимости вариационно-разност- ных схем для двумерных эллиптических уравнений второго порядка: Автореф. канд. дисс.— Л., 1970. Се а (Сеа J.). Approximation opirationnelle des problcmes aux limites// Ann. Inst. Fourier, Grenoble.— 1964.— V. 14, № 2. Сеа, Гловински (Сеа J., Glowinski R.). Sur des mithodes d'optimi- sation par relaxation.— Revue Francaise d'Automatique, Informatique et Recherche Operationnelle, 1973, R-3, S-32. Сеа, Гловински (Сеа J., Glowinski R.). Methodes numeriques pour 1'ecoulement laminaire d'un fluide vigide viscoplastique incompressible // Inf. J. of Сотр. Math. Ser. В.— 1974, V. 3. СмеловВ.В. Аппроксимация кусочно-гладких функций тригонометри- ческими многочленами и использование последних в вариационных ме- тодах.— Новосибирск, 1975. С тр э н г (Strang G.). The finite element method and approximation theo- ry.— In: Numerical solution of partial differential equations.— II. SYNSPADE-1970.— N. Y.: L.: Academic Press, 1971. Стран г, Фикс (Strang G., Fix G.). A Fourier analysis of the finite element variational method.— Preprint, 1970. Федорова О. А. Вариационно-разностная схема для однородного урав- нения диффузии// Матем. заметки.— 1975.— Т. 17, № 6. X а б б а р д (Hubbard В.). Remarks on the convergence in the discrete Di- richlet problem // Numerical solution of partial differential equations / Ed. by James H. Bramble.— N. Y.; L.: Academic Press, 1965. ШайдуровВ.В. Экстраполяция Ричардсона для проекционно-разност- ной задачи Штурма-Лиувилля // Вариационно-разностные методы в ма- тематической физике.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974. 6. Теория устойчивости разностных схем И л ь и н А. М. Устойчивость разностных схем задачи Коши для систем дифференциальных уравнений в частных производных//ДАН СССР.— 1965.— Т. 164, № 3. Келлер, Тома (Keller Н. В., Thomes V.). Unconditionally stable dif- ference method for mixed problems for quasilinear hyperbolic systems in two dimensions//Comm. Pure Appl. Math.— 1962.— V. 15, № 1. К рай с (Kreiss Н. О.). Uber die Stabilitatsdefinition fur Differenzenglei- chungen die partielle Differentialgleichungen approzimieren // Nordisk. Tidskr. Informations Behandlung.—1962.—V. 2, № 2. К р а и с (Kreiss Н. О.). On difference approximations of the dissipative type for hyperbolic differential equations // Comm. Pure Appl. Math.— 1964.— V. 17, № 3. К р а и с (Kreiss Н. О.). Initial boundary value problems for partial diffe- rential and difference equations in one space dimensions // Numerical so- lution of partial differential equations.— II. SYNSPADE-1970. N. Y.; L.: Academic Press, 1971. Л а к с П. Об устойчивости конечно-разностных аппроксимаций решений гиперболических уравнений с переменными коэффициентами // Матема- тика (сб. переводов).— 1962.— Т. 6, № 3. Лаке. Вендроф (Lax P. D., Wendroff В.). On the stability of diffe- rence schemes with variable coefficients//Comm. Pure Appl. Math.— 1962.— V. 15, № 4. Лак с П. НиренбергГ. Об устойчивости разностных схем; точная йорма неравенства Гординга//Математика (сб. переводов).—1967.— Т. 11. .V' 6. Р и х т м а и е р Р. Д. О нелинейной неустойчивости разностных схем // Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики.— Ново- сибирск: Наука, 1966. 585 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Рябенький В. С., Филиппов А. Ф. Об устойчивости разностных уравнений.— М.: Гостехиздат, 1956. Самарский А. А. Необходимые и достаточные условия устойчивости двухслойных разностных схем ДАН // СССР.— 1968.— Т. 181, № 4. СердюковаС.И. Исследование устойчивости в С явных разностных схем с постоянными действительными коэффициентами, устойчивых в <д // ЖВМ и МФ.— 1963.— Т. 3, № 2. С т р э н г (Strang G.) Difference methods for mixed boundary value prob- lem// Duke Math. J.- I960.- V. 27, № 2. Т о м э (Thomee V.). Generally unconditionally stable difference operators // SIAM J. Numer. Anal.— 1962.—V. 4. № 1. ФедорюкМ.В. Об устойчивости в С задачи Коши для разностных урав- нений и уравнений с частными производными// ЖВМ и МФ.— 1967.— Т. 7, № 3. Филиппов А. Ф. Об устойчивости разностных уравнений // ДАН СССР.— 1955.— Т. 100, Xs 6. 7. Устойчивость и сходимость АндреевВ.Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вто- рую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений II ЖВМ и МФ.- 1968.- Т. 8, № 6. 0'Б райен, Хайман, Каплан (O'Brien G. G., Н у m a n M. А., KaplanS.). A study of the numerical solution of partial differential equa- tions// J. of Math. and Phys,— 1951.— V. 29, № 4. Вендроф (Wendroff В.). Well-posed and stable difference operators// SIAM J. Numer. Anal.— 1968.— V. 5, № 1. Видлунд (Widlund 0. В.). Stability of parabolic difference schemes in the maximum norm // Numer. Math.— 1968.— V. 8, № 2. Годунове. К., Рябенький В. С. Канонические виды систем ли- нейных обыкновенных разностных уравнений с постоянными коэффи- циентами// ЖВМ и МФ.— 1963.— Т. 3, № 2. Годунове. К., Рябенький В. С. Спектральные признаки устой- чивости краевых задач для несамосопряженных разностных уравнений // УМН.- 1963.- Т. XVIII, № 3. Джон (John F.). On the integration of parabolic equations by difference methods. I. Linear and quasilinear equations for the infinite interval// Comm. Pure Appl. Math.— 1952.— V. 5, № 2. Дюфорт,Франкел (Du Fort E. С., Frankel S. P.). Stability condi- tions in the numerical treatment of parabolic differential equations // Math. Tables and Other Aids Comput.— 1953.— V. 7, № 3. Курант, Фридрикс, Леви (Courant R., Friedrichs К., Lewy H.). Uber die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik // Math. Ann.— 1928.— V. 100, № 32. (Русский перевод: О разностных уравнениях математической физики//УМН.—1940.—Т. VIII). ЛадыженскаяО.А. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными//УМН.— 1957.— Т. XII, № 5. Лаке, Вендроф (Lax P. D., Wendroff В.). System of conservations laws // Comm. Pure Appl. Math.— I960.— V. 13, № 2. Лаке, Рихтмайер (Lax P. D., Richtmyer R. D.). Survey of the sta- bility of linear finite difference equations // Comm. Pure Appl. Math.— 1956.—V. 9, № 2. Лиз (Lees M.). A priori estimate for the solution of difference approximations to parabolic partial differential equations//Duke Math. J.—I960.— V. 27, № 3. Лиз (Lees M.). Energy inequalities for the solution of differential equations : з (Lees M.). Energy inequalities tor the solution о // Trans. Amer. Math. Soc.— I960.— V. 94, № 1. 586 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Лионе (Lions J.). Equations differentielles operationnelles dans les espaces de Hilberth.— Centro Int. Mat. Estivo, Varenna (1963).— (Equazioni differenziali astratte. Gremonese, Roma 1963). Нейман, Рихтмайер (Neuman J., Richtmyer R. D.). A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks //J. Appl. Phys.— 1950.— V. 21, № 3. РябенькийВ.С. Структура спектров свойств несамосопряженных разностных операторов // Материалы к совместному советско-американ- скому симпозиуму по уравнениям с частными производными.— Ново- сибирск, 1963. Рябенький B.C. Спектр семейств разностных операторов над функци- ями на сеточном графе // ЖВМ и МФ.— 1967.— Т. 7, № 6. С а м а р с к и и А. А. Некоторые вопросы общей теории разностных схем// Дифференциальные уравнения с частными производными (труды сим- позиума, посвященного 60-летию академика С. Л. Соболева).— М.: На- ука, 1970. Соболеве.Л. Некоторые замечания о численном решении интеграль- ных уравнений// Изв. АН СССР. Сер. матем.— 1956.— Т. 20, № 4. С т р э н г (Strang G.). Implicite difference methods for initialboundary value problems //J. Math. Anal. Appl.-1966.-V. 16, № 1. С т р э н г (Strang G.). Accurate partial difference methods. I. Linear Cauchy problems // Arch. Rational Mech. Anal.— 1963.— V. 12, № 5. Т о м э (Thomee V.). On the rate of convergence of difference schemes for hy- perbolic equations // Numerical solution of partial differential equations.— II. SYNSPADE-1970.— N. Y.: L.: Academic Press, 1971. Ф и л л и п с (Phillips N. A.). The atmosphere and the sea in motion.— Scien- tific Contributions to the Rossby Memorial Volume. The Rossby Memorial Volume.— The Rockfeller Institute, 1959. (Русский перевод: Пример нелинейной вычислительной неустойчивости // Атмосфера и океан в дви- жении.— М.: ИЛ, 1963). ЯненкоН.Н., Бояринцев Ю. Е. О сходимости разностных схем для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами // ДАН СССР, 1961.- Т. 139, № 6. Я н е н к о Н. Н., Ш о к и н Ю. И. О связи корректности первых диффе- ренциальных приближений и устойчивости разностных схем для гипер- болических систем уравнений // Матем. заметки.— 1968.— Т. 4, № 5. Я н е н к о Н. Н., Ш о к и н Ю. И. О корректности первых дифферен- циальных приближений разностных схем // ДАН СССР.— 1968.— Т. 182, № 4. 8. Вычислительные методы линейной алгебры Абрамов А. А. Идеи теории возмущений в некоторых алгоритмах ли- нейной алгебры // Вычислительные методы линейной алгебры, вып. 1.— М.: ВЦ АН СССР, 1968. Бауэр, Фике (Bauer F. L., Pike С. Т.). Norms and exclusion theorems // Numer. Math.— 1960. V. 2, № 3. Бахвалов Н. С. К вопросу о гипотезе независимости ошибок опреде- ления при численном интегрировании // ЖВМ и МФ.— 1964.— Т. 4, № 3. с. 339-404. Бахвалов Н.С. Основы вычислительной математики: Курс лекций.— М.: Изд-во МГУ, 1970. Б е л л м а н Р. Введение в теорию матриц.—М.: Наука, 1969. Воеводин В. В. Ошибки округления и устойчивость в прямых методах линейной алгебры.— М.: Изд-во МГУ, 1969. Воеводин В. В. Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы.— М.: Наука, 1966. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления.— М.: На- ука, 1984. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 587 Воеводин В.В., Ты рты шпиков Е.Е. Вычислительные про- цессы с тёплицевыми матрицами.— М.: Наука, 1987. Г а н т м а х е р Ф. Р. Теория матриц.— М.: Наука, 1967. Д о р о д н и ц ы н А. А. К задаче вычисления собственных чисел и соб- ственных векторов матриц // ДАН СССР.— 1959.— Т. 126, № 6. Дьяконов Е. Г. (D'yakonov Е. G.). On the solution of some elliptic difference equations//!. Inst. Math. Appl.-1971.-V. 7. Икрамов Х.Д. Матричные нормы и методы типа Якоби.— М.: Изд-по МГУ, 1969. Ильин В.П. О некоторых оценках для методов сопряженных градиен- тов // ЖВМ и МФ.— 1976.— Т. 16, № 4. Келлог, Нодерер (Kellog R., Noderer L.). Sealed iterations and linear equations//SIAM J.—I960.—V. 8, № 4. К и м Г. О распределении ошибок округления итерационных методов ре- шения систем алгебраических уравнений.— М.: Изд-во МГУ, 1969. Кублановская В.Н. Применение ортогональных преобразований для решения задач алгебры: Автореф. докт. дисс.— Л., 1972. Кузнецов Ю.А. Итерационные методы решения несовместимых систем линейных уравнений. Некоторые проблемы вычислительной и приклад- ной математики.— Новосибирск: Наука, 1975. Кузнецов Ю. A. Iterative Methods for Solution of Noncompatible Systems of Linear Equations // Lecture Notes in Economics and Mathema- tical Systems, Springer-Verlag.— 1976.— V. 134. Кузнецов Ю.A., Map ч ук Г.И. Итерационные методы решения систем линейных уравнении с собственными матрицами.— Acta Univer- sitatis Carobinse — Mathematica et Physica, Praha, 1974. Кузнецов Ю.А., МарчукГ.И. Stationary Iterative Methods fcr the Solution of Systems of Linear Equations with Singular Matrices.— Gatlinburg VI, Symposium on Numerical Algebra, Conference Manuscripts, Munich, Germany, 1974. Марек (Магес I.). Итерация линейных органических операторов и процесс Келлога: Диссертация.— Прага, 1962. Марек (Магес I.). On iteration of linear bounded operators and the conver- gence of Kellog's iteration process//Cech. Mat. J.—1962.—V. 12. Марчук Г. И., Кузнецов Ю.А. Итерационные методы и квадра- тичные функционалы // Методы вычислительной математики.— Новоси- бирск: Наука, 1975. Немчинов С. В., Л и б о в С. Л. Прямой метод повышенной точ- ности решения краевых задач для уравнения Гельмгольца на сетке точек в прямоугольнике //ЖВМ и МФ.— 1964.— Т. 4, № 4. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений.— М.: Мир, 1983. Самарски и А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений.— М.: Наука, 1978. Стран т (Strang Ct.). Linear Algebra and its Applications.—N. Y.; L.: Acad. Press., 1976. Т pay б (Traub J.). Iterative Methods for the Solution of Equations.— Englewood Cliffs.: Prentice—Hall, 1964. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений.— М.: Наука, 1970. Уилкинсон, Рейнш (Wilkinson J. Н., Reinsch С.). Linear Algebra.— Berlin — Heidelberg, Springer-Verlag, 1971. Фаддеев Д. К. О некоторых последовательностях полиномов, полез- ных для построения итерационных методов системы линейных алгебраи- ческих уравнений // Вестник ЛГУ. Сер. матем.— 1958.—Т. 7, № 2. Фаддеев Д. К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линей- ной алгебры.— М.: Фнзматгиз, 1963. Фаддеев Д. К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линей- ной алгебры // Зап. науч. сем. ЛОМИ, 54.— Л.: Наука, 1975. 588 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Фаддеев Д. К., ФаддееваВ.Н., КублановскаяВ.Н. Линейные алгебраические системы с прямоугольными матрицами // Вычислительные методы линейной алгебры.— М.: Наука, 1968. Фландерс, Шортли (Flanders D. A., Shortley Ct.). Numerical de- termination of fundamental modes //J. Appl. Phys.-1950.-V. 21. Форсайт Дж., М о л е р К. Численное решение систем линейных ал- гебраических уравнений.— М.: Мир, 1969. Френсис (Frencis J.). The QR-transformation Part I, II // Computer J., 1961. - V. 4. Ш т и ф е л ь (Stiefel Е.). Kernel polynomials in linear algebra and their numerical applications // N. B. S. Appl. Math. Ser. 49.—1958.— V. 1. Эберлейн (Eberlein P.). A Jacobi-like method fot the automatic com- putation of eigenvalues of an arbitrary matrix//J. Soc. Industr. Appl. Math.— 1962.— V. 10. Я н г (Young D. М.). Iterative Solution of Large Linear Systems.— L.: Acad. Press, 1971. 9. Спектральные методы оптимизации итерационных процессов Абрамов А.А. Об одном способе ускорения итерационных процессов// ДАН СССР.- 1950.- Т. 74, № 6. Бахвалов Н. С. О сходимости одного релаксационного метода при есте- ственных ограничениях на эллиптический оператор // ЖВМ и МФ.— 1966.— Т. 6, № 5. Воробьев Ю.В. Случайный итерационный процесс // ЖВМ и МФ.— 1964.— Т. 4, № 6; 1965.— Т. 5, № 5. ГавуринМ.К. Применение полиномов наилучшего приближения для улучшения сходимости итерационных процессов // УМН.— 1950.— Т. V, № 3. Г а в у р и н М. К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерыв- ные аналоги итерационных методов // Изв. вузов. Математика.— 1958.— Т. 5, № 6. Голуб, Варга (Golub G. Н., Varga R. S.). Chebysheve semi-iterative methods, successive over-relaxation iterative methods and second order Richardson iterative methods. Parts I, II // Numer. Math.— 1961.— V. 3, № 2. Дьяконов Е. Г. О построении итерационных методов на основе исполь- зования операторов, эквивалентных по спектру//ЖВМ и МФ.— 1966.— Т. 6, № 1, 4. ЗолотаревЕ.И. Приложение эллиптических функций к вопросам о функциях, наименее и наиболее отклоняющихся от нуля.— Записки Российской Академии наук, 1877. Иванов В.К. О сходимости итерационных процессов при решении си- стем линейных алгебраических уравнений // Изв. АН СССР. Сер. ма- тем.— 1939.— Т. 4. К о л л а т ц (Collatz L.). Fehlerabschatzung fur das Iterationsverfahren zur Auflosung linear Gleichungssysteme//Z. Angew. Math. Mech.—1942.— V. 22. Л а н ц о ш (Lanczos С.). An iteration methods for the solution for the eigen- value problem of linear, differential and integral operators // J. Res. Nat. Bus. Stand.— 1950.— V. 45, № 1. Л а н ц о ш (Lanczos С.). Chebyshev polionomials in the solution of largescale linear systems.— Proc. Assoc. Comput. Math. Toronto Meeting, September, 19o^. Л е б е д е в В. И. Об итерационных методах решения операторных урав- нений со спектром, лежащим на нескольких отрезках // ЖВМ и МФ.— 1969.— Т. 9, № 6. Лебедев В.И. О построении операторов Р в КР-метоае II ЖВМ и МФ.— 1969.- Т. 9, № 4. 589 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Лебедев В. И. Итерационный метод с чебышевскимп параметрами для определения наибольшего собственного значения и соответствующей соб- ственной функции//ЖВМ и МФ.—1977.—Т. 17, № 1. Лебедев В. И., ФиногеновС.А. О порядке выбора итерацион- ных параметров в чебышевском циклическом итерационном методе // ЖВМ и МФ.— 1971.— Т. 11, № 2. Лебедев В.И., ФиногеновС.А. Решение проблемы упорядоче- ния параметров в чебышевских итерационных методах // ЖВМ и МФ.— 1973.— Т. 13, № 1. Лебедев В. И., ФиногеновС.А. Об использовании упорядочен- ных чебышевских параметров в итерационных методах // ЖВМ и МФ.— 1976.- Т. 16, № 4. М а р ч у к Г. И., С а р б а с о в К. Е. Об одном методе решения стацио- нарной задачи//ДАН СССР.—1968.—Т. 182, № 1. Островский А. М. (Ostrowski A. M.). On the linear iteration proce- dures for symmetric matrices.— Univ. Roma, Inst. Naz. Alta Mat. Rend. Mat. e Appl.— 1954.— V. 14, № 1—2. П е т р и га и н (Petryshyn W.). On a general iterative method for the appro- ximate solution of linear operator equations // Math. Comput.— 1963.— V. 17, № 1. Р е и к (Reich E.). On the convergence of the classical iterative method of solving linear simultaneous equations // Ann. Math. Statist.— 1949.— V. 20, № 3. Федоренко Р. П. Релаксационный метод решения разностных эллип- тических уравнений//ЖВМ и МФ.—1961.—Т. 1, № 5. Федоренко Р. П. О скорости сходимости одного итерационного про- цесса // ЖВМ и МФ.— 1964.— Т. 4, № 3. Ю и к о з а, М и л л и к е н (Juncosa М. L., Milliken Т. М.). On the increase of convergence rates of relaxation procedures for elliptic partial of diffe- rence equations // J. Assoc. Comput. Math.— I960.— V. 7, № 1. 10. Метод верхней релаксации Б р о и д е н (Broyden С. G.). Some generalizations of the theory of succesive over-relaxation // Numer. Math.— 1964.— V. 6, № 4. Б р о и д е н (Broyden С. G.). On convergence criteria for the method of suc- cessive over-relaxation // Math. Comut.— 1964.— V. 18, № 85. Варга (Varga R. S.). .P-cyclic matrices: a generalization of the Young— Francel successive over-relaxation scheme//Pacific J. Math.—1959.— V. 9. Варга (Varga R. S.). Orderings of the successive over-relaxation scheme // Pacific. J. Math.-1959.-V. 9. Гарабедян (Garabedian P.). Estimation of the relaxation factor for small mesh size // Math. Tables and Other Aids Comput.— 1956.— V. 10, Л» 56. Г а с т и н о л (Gastinel N.). Sur le meilleur choix des parameters do sur- relaxation (Procede de Peaceman — Rachford) // Chilfres.— 1962.— V. 5, № 2. Голуб (Golub G. H.). The use of Chebyshev matrix polinomials in the iterative solution of linear equations comared with the method of succes- sive over-relaxation Doct. Thesis.— L'niv. of Illinois. 1959, 133. Ивенс (Evans D. J.). Note on the line over-rolaxation factor for small mesh size//Comput. J.—1962.—V. 5, № 1. Ивенс, Форпнгтон (Evans D. J., Forington С. В.). An iterative process for optimizing summetric successive over-relaxation // Comput. .1.— 1963.— V. 6, № 3. It л и м о в а Е. Г., Р и в и н Г. С. О методах решения уравнения Буле- ва — Марчука // Изв. АН СССР. Сер. ФАО.— 1979.— Т. 15, № 4. 590 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Лини (Linn M. S.). On the round — off error in the method of successive over-relaxation//Math. Comput.— 1964.— V. 18, № 85. Островский (Ostrowski А. М.). On over- and under-relaxation in the theory of the cyclic single step iteration // Math. Tables and Other Aids Comput.— 1953.— V. 7, № 43. П е т р и ш и н (Petryshyn W.). The generalized over — relaxation method for the approximate solution of operator equations in Hilbert-space /; SIAM J.— 1962.— V. 10, № 4. П е т р и ш и н (Petryshyn W.). On the extrapolated Jacobi or simultaneous displacements method in the solution of matrix and operator equations // Math. Comput.— 1965.— V. 19, № 89. Фаддеев Д.К. К вопросу о верхней релаксации при решении систем линейных уравнений // Изв. вузов. Математика.— 1958.— Т. 5. Хагеман, Келлог (Hageman L. A., Kellogg R. В.). Estimating optimum over-relaxation parameters // Math. Comput.— 1968 — V 22, № 101. Шелдон (Sheldon J.). On the numerical solution of elliptic difference equations // Math. Tables Aids Comput.— 1955.— V. 9. Я н г (Young D. M.). Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type // Trans. Amer. Math. Soc.— 1954.— V. 76. Я нг (Young D. M.). A bound for the optimum relaxation factor for the successive over-relaxation method//Numer. Math.-1971.-V. 16, № 5. Я н г (Young D. M.). Convergence properties of the symmetric and unsymmetric successive over-relaxation methods and related methods // Math Com- put.- 1971.- V. 24, № 112. 11. Градиентные методы Бирман М. Ш. Некоторые оценки для метода наискорейшего спуска // УМН.— 1950.— Т. V, № 3. У . Годунов С. К., Прокопов Г. П. Вариационный подход к решению больших систем линейных уравнений, возникающих в сильно эллипти- ческих задачах.— М.: ИПМ АН СССР, 1968. Годунов С. К., Прокопов Г. П. О решении разностного уравне- ния Лапласа//ЖВМ и МФ.—1969.—Т. 9, № 2. ГорбенкоН.И., Ильин В. П. О градиентных методах переменных направлений // Некоторые проблемы вычислительной и прикладной ма- тематики.— Новосибирск: Наука, 1975. Д аниел ь (Daniel J. W.). The conjugate gradient method for linear and nonlinear operator equations // SIAM J. Numer. Anal — 1957 — V 4 № 1. • . , Д а н и е л ь (Daniel J. W.). Convergence of the conjugate gradient method with computationally conveneient modifications // Numer. Math — 1967 -V. 10, № 2. Канторович Л. В. О методе наискорейшего спуска // ДАН СССР — 1947.- Т. 56, № 3. К р а с н о с е л ь с к и и М. А., К р е и н С. Г. Итеративный процесс с минимальными невязками//Матем. сб.— 1952.— Т. 31. Кузнецов Ю. А. К теории итерационных процессов // ДАН СССР — 1969.- Т. 184, № 2. Кузнецов Ю. А. О симметризации итерационных процессов /'/' Вычис- лительные методы линейной алгебры.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 19Ь9. Кузнецов Ю.А. Некоторые вопросы теории и приложений итерацион- ных методов: Автореф. канд. дисс.— Новосибирск, 1969. Л а н ц о ш (Lancoos С.). Solution of the system of linear equations by mini- mized iterations//J. Res. Nat. Stand.-1952.-V. 49, Я» 1. 591 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ М а р ч у к Г. П., Кузнецов Ю. А. К вопро"у о^ оптимальных итера- ционных процессах//ДАН СССР.—1968.—Т. 181, № 6. М а р ч у к Г. И., Кузнецов Ю.А. Некоторые вопросы теории много- шаговых итерационных процессов // Вычислительные методы линейной алгебры.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1969. М а р ч у к Г. И., К у з п е ц о в Ю. А. К решению систем линейных урав- нений итерационными методами // Вопросы точности и эффективности вычислительных алгоритмов, вып. 1.— Киев: Изд-во Ин-та кибернетики АН УССР, 1969. С а м о к и ш Б. А. Исследование быстроты сходимости метода наискорей- шего спуска//УМН.—1957.—Т: XII, № 1. Форсайт (Forsythe G. Е.). On the asymptotic directions of the s-dimen- sional optimum gradient method//Numer. Math.— 1968.—V. 11, № 1, Форсайт, М о т ц к и н (Forsythe G. Е., Motzkin Т. S.). Asymptotic pro- perties о[ the optimum gradient method // Bull. Amor. Math. Soc.— 1951.— V. 57, № 2. Форсайт, М о т ц к и н (Forsythe G. Е., Motzkin Т. S.). Acceleration of the optimum gradient method // Bull. Amer. Math. Soc.— 1951.— V. 57, № 4. Форсайт, Форсайт (Forsythe A. I., Forsythe G. E.). Punchedcard experiments with accelerated gradient methods for linear equations. Cont- ributions to the solution of linear aquations and the determination of eigenvalues //N. B. S. Appl. Math., Ser. 39, 1954. Фридман В. М. Некоторые методы решения линейного операторного уравнения // ДАН СССР.— 1959.— Т. 128, № 3. Хестонс, Штифель (Hestenes M. R., Stielel E.). Method of conjuga- te gradients for solving linear systems // J. Res. Nat. Bur. Stand.— 1952.— V. 49. 12. Методы факторизации (прогонки) А б р а м о в А. А., А н д р е е в В. Б. О применении метода прогонки к нахождению периодических решений дифференциальных и разностных уравнений // ЖВМ и МФ.— 1963.— Т. 3, № 2. А и н с Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М.: ОНТИ, 1939. Б а х в а л о в Н. С. О накоплении вычислительной погрешности при чис- ленном решении дифференциальных уравнений.— Сб. ВЦ МГУ, 1962, 1. Бужбп, Голуб, Нильсон (Buzbee В., Golub G., Nilson E.). On direct methods for solving Poinsson's equations // SIAM J. Numer. Anal.— 1970.— V. 7, № 4. Б у л е е в Н. И. Численный метод решения двумерных и трехмерных урав- нений диффузии // Матем. сб.— I960.— Т. 5, № 2. Б у л е е в Н. И. Метод неполной факторизации для решения двумерных и трехмерных уравнений типа диффузии // ЖВМ и МФ.— 1970.— Т. 10, № 4. Владимиров B.C. Приближенное решение одной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка // Прпкл. матем. и мех.— 1955.— Т. 19, № 3. Гельфанд И.М., Локуциевский О.В. Метод прогонки для ре- шения равностных уравнений // Годунов С. К., Рябенький В. С. Вве- дение в теорию разностных схем.— М.: Физматгпз, 1962. Годунове К. Метод ортогональной прогонки для решения систем раз- ностных уравнений // ЖВМ и МФ.— 1962.— Т. 2, № 6. Д'е г т я р е в Л. М., Ф а в о р с к и и А. П. Потоковый вариант метода прогонки//ЖМВ и МФ.—1968.—Т. 8. № 3. Дегтярев Л.М., Фаворский А.П. Потоковый вариант метода прогонки для разностных задач с сильно меняющимися коэффициентами // ЖВМ и МФ.— 1969.— Т. 9, № 1. 592 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Огнева В. В. Метод прогонки для решения разностных уравнений // ЖВМ и МФ.— 1967.— Т. 7, № 4. О л и ф а н т (Oliphant Т. A.). An implicit, numerical method for solving two-dimentional time dependent diffusion problems // Quart. Appl. Math. —1961.— V. XIX, № 3. Русанов В.В. Об устойчивости метода матричной прогонки // Вычис- лительная математика, 6. М., 1960. СафроновИ.Д. О методе для решения краевых задач для разностных уравнений // ЖВМ и МФ.— 1964.— Т. 4, № 2. СафроновИ.Д. Разностная схема с диагональными направлениями прогонок для решения уравнения теплопроводности // ЖВМ и МФ.— лоск _ т1 f Nb 2 Ф а ге М. К. О методе прогонки // ДАН СССР.— 1970.— Т. 191, № 2. 13. Быстрое преобразование Фурье Б и н г е м, Годфри, Так и (Bingham С., Godfrye М. D., Tukey J.). Modern techniques of power spectrum estimation//IEEE Trans., Audio and Electroacoustics, 1967, AU — 15. Голд, Радер (Gold В., Rader С. М.). Digital processing of signal. N. Y.: McGraw-Hill, 1969. К а н е к о Т., Л ю Б. (Kaneko Т., Liu В.). Accumulation of roundoff error in fast Fourier transforms// J. Assoc. Comput. Mach.— 1970.— V. 17. Клаудер,Прайс,Дарлингтон,Элберзгайм (Klauder J. R., Price A. C., Darlington S. and Albersheim W. J.). The theory and design of chirp radars//Bell System Tech. J.—I960.—V. 39.—(CM. также: Клаудер, Прайс, Дарлингтон, Элберзгайм. Теория и расчет импульсных радиолокационных станций с частотной модуляцией.— Зарубежная радиоэлектроника, 1961, вып. 1.) Кузнецов Ю. А., М а ц о к и н А. М. Решение уравнения Гельмгольца методом фиктивных областей // Вычислительные методы линейной ал- гебры.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1972. Кули, Льюис, Уэлч (CooleyJ.W., Lewis P. A., Welch P. D.). The fast Fourier transform algorithm and its applications.— IBM Research Paper RC — 1743, Feb. 1967. Кули, Т а к и (Cooley J. W., Tukey J. W.). An algorithm for the machi- ne calculation of complexes Fourier series//Math. Comput.—1965.— V. 19, № 90. Немчинов С. В. О применении метода сеток к решению краевых задач для уравнений в частных производных с периодическими краевыми ус- ловиями // Динамическая метеорология.— Ташкент: Наука, 1965. С е г е т К. (Segeth К.). Roundoff errors in the fast computation of discrete convolutions.— Math. Ustav CSAV, Praha, 1979. Т а к и (Tukey J. W.). An introduction to the calculations of numerical spect- rum analysis // Spectral Analysis in Time Series, Bern Harris, L. D. Wi- ley — N. Y., 1967. X е л м с (Helms R. D.). Fast Fourier transform method for computing dif- ference equation and simulating filters.— IEEE Trans., Audio and Electro- acoustics, 1967, AU — 15. Xo к н и (Hockney R. W.). A fast direct solution of Poissons equation using Fourier analysis//!. Assoc. Сотр. Mech.-1965.-V.12, Л° 1. 14. Интерполяция с помощью сплайнов Алберг, Нильсон, Уолш (Alberg J. Н., Nilson Е. N., AValsh J. L.) Extremal orthogonalines//J. Math. Appl.-1965.-V.12, Л» 1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее при- ложения.— М.: Мир, 1972. Ананьин А. 3., Смелев В. В., Василенко В. А. Эффективный СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 593 способ преобразования вариационной задачи сглаживания к линейной алгебраической системе.—Препринт / ВЦ СО АН СССР, вып. 28.—Ново- сибирск, 1976. Анселон, Лоран (Anselon Р. М., Laurent P. J.). A general method for construction of interpolating or smoothing spline — functions // Numer. Math.— 1968.— V. 12, № 1. А т ь я (Atteia М.). Generalisation de la definition et des proprietes des «spline fonctions» // C. R. Acad. Sci., P.— 1965, V. 260. Бежаев А.Ю. Ошибки сплайн-интерполяции в многомерных ограничен- ных областях.— Новосибирск: Препринт ВЦ СО АН СССР, 1984. Б е ж а е в А. Ю., Василенко В. A. (Bezhaev A. Yu., Vasilenko V. A.). Splines in Hilbert spaces and their finite element approximations // SNAMM.- 1987.- V. 2, № 3.- Р. 191-202. Белоносов А. С., Ц е ц о х о В. А. Вычислительный алгоритм и про- цедуры сглаживания функций, заданных приближенно в узлах нерегуляр- ной сетки на плоскости // Некорректные задачи математической физики и проблемы интерпретации геофизических наблюдений (Математические проблемы геофизики).— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1976. Биркгоф, Гарабедян (Birkhoff G., Garabedian P.). Smooth surface interpolation// J. Math. Phys.— I960.— V. 39, № 3. Бур (Bde Boor C.). Bicubic spline interpolation//J. Math. Phys. 1962.— V. 41, № 2. Василенко В. А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы.— Новосибирск: Наука, 1983. Василенко В. А. Сходимость операторных интерполирующих сплай- нов // Вариационно-разностные методы в математической физике.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. Василенко В. А. Сглаживающие сплайны на подпространствах и тео- ремы компактности // Численные методы механики сплошной среды.— 1974.— Т. 5, № 5. Василенко В.А. Конечномерная аппроксимация в методе наименьших квадратов // Вариационно-разностные методы в математической физике, вып. 2.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. Василенко В. А. Сходимость сплайнов в гильбертовом пространстве // 'Численные методы механики сплошной среды.— 1972.— Т. 3, № 3. Василенко В. А., 3 ю з и н М. В., К о в а л к о в А. В. Сплайн-функ- ции и цифровые фильтры.— Новосибирск: ВЦ АН СССР, 1984. Василенко В. А., Переломов Е. М. Сплайн-интерполяция в пря- моугольной области с хаотически расположенными узлами // Машинная графика и ее применение.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. Гребенников А. И. Метод сплайнов в численном анализе.— М.: Изд-во МГУ, 1979. Гребенников А. И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений.— М.: МГУ, 1983. Завьялов Ю. С. Интерполирование кубическими многозвенниками // Вычислительные системы, вып. 38.— Новосибирск, 1970. Завьялов Ю. С. Экстремальное свойство кубических многозвенников и задача сглаживания // Вычислительные системы, вып. 42.— Ново- сибирск, 1970. Завьялов Ю.С. Интерполирование мультикубическими сплайнами // Вычислительные системы, вып. 65.— Новосибирск, 1975. 3 а в ь я л о в Ю. С., К в а с о в Б. И., Мирошниченко В. Л. Ме- тоды сплайн-функций.— М.: Наука, 1980. Лебедев В. И. Об одном способе интерполяции в га-мерном пространстве по произвольным узлам и некоторых квадратурных формулах — Пре- принт ВЦ СО АН СССР, вып. 10.— Новосибирск, 1975. М и х а л е в и ч Ю. И. О м е л ь ч е н к о О. К. Процедуры кусочно- полиномиальной интерполяции функций одной и двух переменных.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1970. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 594 Морозов В. А. О выборе параметра при решении функциональных уравнений методом регуляризации // ДАН СССР.— 1967.— Т. 175, № 6. Морозов В.А. Теория сплайнов и задачи устойчивого вычисления зна- чений неограниченного оператора // ЖВМ и МФ.— 1971.— Т. 11, № 3. Пивоварова Н. Б., Пухначева Т. П. Сглаживание эксперимен- тальных данных локальными сплайнами.— Препринт ВЦ СО АН СССР, вып. 9.— Новосибирск, 1975. Р е и н ш (Reinsch С. Н.). Smoothing by spline functions // Numer. Math.— 1967.— V. 10, № 4. Рябенький B.C. Локальные формулы гладкого восполнения и гладкой интерполяции функций по их значениям в узлах неравномерной прямо- угольной сетки.— М.: ИПМ АН СССР, 1974. СтечкянС.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной мате- матике.— М.: Наука, 1976. Уолш,Алберг,Нильсон (Waksh J. L., AhlbergJ. H., Nilson E. N.). Best approximation properties of the spline fit // J. Math. Mech.— 1962.— V. 11, № 2. X о л и д е и (Holladey J. C.t. Smoothest curve approximation // Math. Tables Aids Computation.— 1957.— V. 11, № 60. Цепохо В. А., Белоносов А. С., Белоносова А. В. Об одном методе гладкого приближения функций многих переменных.— Препринт ВЦ СО АН СССР, вып. 8, Новосибирск, 1974. Шенберг (Schoenberg I. J.). Contibutions to the problem of approximation of equidistant data by analitic functions. Parts A and В // Quart. Appl. Math.— 1946.— V. 4. Шумахер (Schumaker L. L.). Approximation by splines: Theory and ap- plications of spline functions.— N. Y.: L.: Academic Press, 1969. Яненко Н.Н., Квасов Б.И. Итерационный метод построения поли- кубическпх сплайн-функций // Численные методы механики сплошной среды, 1970.— Т. 1, № 3. 15. Методы расщепления Андреев В.Б. О разностных схемах с расщепляющимся оператором для общих р-мерных параболических уравнений второго порядка со сме- шанными производными // ЖВМ и МФ.— 1967.— Т. 7, № 2. Багр и невский К. А., Годунов С. К. Разностные методы для многомерных задач// ДАН СССР.— 1957.— Т. 115, № 3. Б е и к е р (Baker G. A.). An implicit numerical method for solving the n- dimensional heat equation // Quart. Appl. Math.— 1960. V. 17, № 4. Б е и к е р, О л и ф а н т (Baker G. A., Oliphant Т. A.). An implicit nume- rical method for solving the two-dimensional heat equation // Quart. Appl. Math.— I960.— V. 17, № 4. Бенсусан (Bensoussan A.). Pure decentralization for interrelated payofss.— In: Symposium on Optimization. Los Angeles, 1971. Бенсусан А., Лионе Ж.-Л., Темам Р. Методы декомпозиции, де- централизации, координации и их приложения // Методы вычислитель- ной математики.— Новосибирск: Наука, 1975. Биркгоф, Варга (Birkhof G., Varga R.). Implicitc alternating direc- tion methods//Trans. Amer. Math. Soc.-1959.-V.92, № 1. Б'и ркгоф, Варга, Янг (Birkhof G., Varga R., Young D.). Alternating direction implicit methods // Advances in Сотр.— N. Y.; L.: Academic Press.— 1962.— V. 3. Б у л е е в Н. И. Численный метод решения двумерных и трехмерных урав- нений диффузии // Матем. сб.— I960.— Т. 51, № 2. В акспресс (Wachspress E. L.). Optimum alternating-direction-implicit iteration parameters for a model problem//SIAM J.—1962.—V. 10, Л» 2. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 595 Вакспресс (Wachspress E. L.). Extended application of alternating- direction-implicit iteration model problem theory // SIAM J — 1963 — V. 11, № 3. Вакспресс (Wachspress E. L.). Iterative Solution of Elliptic Systems and Applications to the Neutron Diffusion Equations of Reactor Physics-— Englewood Cliffs; Prentice-Hall, 1966. Вакспресс, Хабетлер (Wachspress E. L., Habetler G. J.). An al- ternating-direction-implicit iteration technique // SIAM J.— 1960 — V 8 № 2. Варга (Varga В.). Some results in approximation theory with applications to numerical analysis // Numerical solution of partial differential equa- tions. II. SYNSPADE-1970,- N. Y.; L.: Academic Press, 1971. Видлунд (Widlund 0.). On the rate of an alternating-direction-implicit method in a non-commutative case // Math. Comput — 1966 — V 20 № 96. ' ' ' Видлунд (Widlund 0.). On the effects of scalling of the Peaceman— Rachford method // Math. Comput.— 1971.—V. 25, № 113. Воробьев Ю.В. Случайный итерационный процесс в методе перемен- ных направлений // ЖВМ и МФ.— 1968.— Т. 8, № 3. Ганн (GunnJ. E.). The solution of elliptic difference equations by semi- explicit iterative techniques//SIAM J. Numer. Anal.—1965.—V. 2, № 1. Дуглас, Ган (Douglas J., Gunn J. E.). Two high-order correct difference aniogues for the equation of multi-dimensional heat flow // Math. Comput.— 1963.— V. 17, № 81. Дуглас, Ганн (Douglas J., Gunn J. E.). A general formulation of alter- nating direction methods.— Part I. Parabolic and hyperbolic problems // Numer. Math.— 1964.— V. 6, № 5. Дуглас, Джонс (Douglas J., Jones В. F.). On predictor-corrector met- hods for nonlinear parabolic differential equations // J. Soc. Industr Appl. Math.— 1963.—V. 11, № 1. Дуглас, Келлот, Варга (Douglas J., Kellogg R. В., Varga R. S.). Alternating direction methods for тг-space variables. // Math. Comput.— 1963. — V. 17, № 83. Дуглас, Пирси (Douglas J., Pearcy С. М.). On convergence of alterna- ting direction procedures in the presence of singular operators // Numer. Math.— 1963.— V. 5, № 2. Дуглас, Рэчфорд (Douglas J., Bachford H.). On the numerical solu- tion of heat conduction problems in two and three space variables // Trans Amer. Math. Soc.— 1956.— V. 82, № 2. Дьяконов Е.Г. Метод переменных направлений решения систем конеч- но-разностных уравнений//ДАН СССР.—1961.—Т. 138, №2. Дьяконов Е.Г. О некоторых разностных схемах для решения краевых задач // ЖВМ и МФ.— 1962.— Т. 2, № 1. Дьяконов Е. Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для многомерных стационарных задач // ЖВМ и МФ.— 1962.— Т. 2, № 4. Дьяконов Е.Г. Решение некоторых многомерных задач математиче- ской физики при помощи сеток: Автореф. канд. дисс.— М., 1962. Дьяконов Е. Г., Лебедев В. И. Метод расщепления для третьей краевой задачи // Вычислительные методы и программирование, вып. IV.— М.: Изд-во МГУ, 1967. Дюпон (Dupont Т.). A factorization procedure for the solution of elliptic difference equations//SIAM J. Numer. Anal.—1968.—V. 5, № 4. Ильин В.П. О расщеплении разностных уравнений параболического и эллиптического типов//Сиб. матем. ж.— 1965.— Т. VI, № 1. И л ь и н В. П. О явных схемах переменных направлений // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук.— 1967.— Т. 13, № 3. Келлог (Kellog R. В.). Another alternating-direction-implicit method// J. Soc. Industr. Appl. Math.-1963.-V.ll, №4. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 596 К е л л о г (Kellog R. В.). An alternating direction method for operations // J. Soc. Industr. Appl. Math.— 1964.— V. 12, № 4. К е л л о г, С и а н ь е р (Kellogg R. В., Spanier J.). On optimal alternating direction parametei's for. singular matrices // Math. Comput.— 1965.— V. 19, № 91. КоноваловА.Н. Метод дробных шагов решения задачи Копш для многомерного уравнения колебаний // ДАН СССР.— 1962.— Т. 147, № 1. КоноваловА.Н. Применение метода расщепления к численному ре- шению динамических задач теории упругости // ЖВМ и МФ.— 1964.— Т. 4, № 4. КоноваловА. Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемо."! жид- кости.— Новосибирск: Изд-во НГУ, 1972. Кузнецов Б. Г. (Kuznetsov В. G.). Numerical methods for solving some problems of viscous liquid // Fluid Dynamics Transactions, 1969.— Т. 4. Л и з (Lees M.). Alternating direction methods for hyperbolic differential equations// J. Soc. Industr. Appl. Math.— 1962.— V. 10, № 4. Лиз (Lees M.). Alternating direction and semi-explicit difference methods for parabolic partial differential equations // Numer. Math.— 1961.— V. 3, № 5. Л и о н с П. Л., М е р с ь е Б. (Lions P. L., Mercier В.). Splitting algorithms for the sum of two nonlinear operators.— P. Centre de Mathematiques appliquees; Janvier 1978, Rapport interne № 29. M a p ч у к Г. И. Методы расщепления.— М.: Наука, 1988. М а р ч у к Г. И. (Marchuk G. I.). On the theory of the spliting-up method.— In: Numerical solution of partial differential equations. II. SYNSPADE- 1970.— Academic Press, N. Y.; L.; 1971. М а р ч у к Г. И., Султангазин У. М. К обоснованию метода расщеп- ления для уравнения переноса излучения // ЖВМ и МФ.— 1965.— Т. 5, № 5. М а р ч у к Г. И., Я н е н к о Н. Н. Применение метода расщепления (дроб- ных шагов) для решения задач математической физики // Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики.— Новосибирск: Наука, 1966. П и с м а н, Р э ч ф о р д (Peacoman D. W., Rachford Н. Н.). The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations // SIAM J.— 1955.— V. 3, № 1. С а м а р с к и и А. А. Об одном экономическом разностном методе много- мерного параболического уравнения в произвольной области // ЖВМ и МФ.— 1962.— Т. 2, № 5. С а м а р с к и и А. А. О сходимости метода дробных шагов для уравнения теплопроводности// ЖВМ и МФ.—1962.—Т. 2, № 6. С а м а р с к и н А. А. Локально одномерные разностные схемы на неравно- мерных сетках // ЖВМ и МФ.— 1963.— Т. 3, J\» 3. С а м а р с к и и А. А. Об одном экономическом алгоритме численного ре- шения систем дифференциальных и алгебраических уравнений // ЖВМ и МФ.- 1964.- Т. 4, № 3. С а м а р с к и и А. А. Экономические разностные схемы для гиперболиче- ской системы уравнений со смешанными производными и их применение для уравнений теории упругости // ЖВМ и МФ.— 1965.— Т. 5, № 1. С а м а р с к и и А. А. Аддитивные схемы // Тезисы докладов на Междуна- родном съезде математиков в Москве, 1966. Темам (Temam R.). Sur la stabilite et la convergence de la Methode des pas fractionnaires // Annali di Mat. Рига ed Appl.— 1968.— V. IV, № 79. Темам (Temam R.). Quelques methodes de decomposition en analyse nu- merique // Acta du Congrrs Intern, des Math.— 1970.— V. 3. Ф е it р в е з е р, Митчелл (Fairweather G., Mitchell A. R.). Some com- putational results of an improved A. D. I. method for the Dirichlet prob- lem // Comput. J.— 1966.— V. 9, № 3. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 597 ФрязнновИ. В. О разностных схемах для уравнения Пуассона в поляр- ной цилиндрической и сферической системах координат // ЖВМ и МФ — 1971,— Т. 11, № 5. X а б а р д (Hubbard В. Е.). Alternating direction schemes for the heat equ- ation in a general domain J. Numera.//SIA Anal.—1966 — V 2 Л» 3. . . , Я н о н к о Н. Н. Об одном разностном методе счета многомерного уравне- ния теплопроводности//ДАН СССР.—1959.—Т. 125, № 6. Я н е н к о Н. Н. Об экономических неявных схемах (метод дробных шагов) // ДАН СССР.- I960.- Т. 134, № 5. ЯненкоН.Н.О неявных разностных методах счета многомерного урав- нения теплопроводности//Изв. вузов. Математика.—1961.—Т. 4, Л° 23. ЯнснкоН.Н. О сходимости метода расщепления для уравнения теп- лопроводности с переменными коэффициентами // ЖВМ и МФ.— 1962 — Т. 2, № 5. ЯненкоН.Н. О слабой аппроксимации систем дифференциальных урав- нений // Сиб. матем. ж.— 1964.— Т. V, № 6. Я н е н к о Н. Н., Д ем и д о в Г. В. Метод слабой аппроксимации как кон- структивный метод построения решения задачи Коши // Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики.— Новосибирск: Наука, 1966. 16. Условно-корректные задачи и некоторые обратные задачи математической физики АН и конов 10. Е. Некоторые методы исследования многомерных об- ратных задач для дифференциальных уравнений.— Новосибирск: На- ука, 1978. Б е р е з а н с к и и Ю. М. Об однозначности определения уравнения Шре- дингера по его спектральной функции//ДАН СССР.—1953.—Т 93, № 4.— С. 591-594. Б у х г е и м А. Л. Об одном классе операторных уравнений Вольтерра первого рода // Функц. анализ.— 1972.— Т. 6, № 1.— С. 1—9. Б у х г е и м А. Л. Операторные уравнения Вольтерра в шкалах банаховых пространств//ДАН СССР.—1978.—Т. 242, № 2.—С. 272—275. Гончарский А. В., ЧерепашукА. М., Я г о л а А. Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики,— М.: Наука, 1978. Джон (John F.). Differential Equation with Approximate and Improper Data: Lectures.— New York Univ., 1955. Дуглас (Douglas J.). On the relation between stability and convergence in the numerical solution of linear parabolic and hyperbolic differential equations//J. Soc. Indust. Appl. Math.-1956.-V. 4, № 1. И в а н о в В. К. О некорректно поставленных задачах// Матеы. сб.— 1963.— Т. 61, № 2. ИвановВ.К., ВасинВ.В., ТананаВ.П. Теория линейных не- корректных задач и ее приложения.— М.: Наука, 1978. КадомцевБ.Б. О функции влияния в теории переноса лучистой энер- гии//ДАН СССР. — 1957.—Т. 113, № 3. К р е и н С. Г. О классах корректности для некоторых задач // ДАН СССР.— 1957.— Т. 114, № 6. К р е и н С. Г., ПрозоровскаяО.И. О приближенных методах реше- ния некорректных задач // ЖВМ и МФ.— 1963.— Т. 3, Л» 1. Л а в р е н т ь е в М. A. Numerical solution of conditionally properly posed problems // Numerical solution of partial differential equations — II. SYNSPADE-1970.—N. Y.; L.: Academic Press, 1971. Лаврентьев М.М. О задаче Кошп для уравнения Лапласа // ДАН СССР.—1956.—Т. 102, №2. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 598 Лаврентьевы.М. О постановке некоторых некорректных задач мате- матической физики // Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики.— Новосибирск: Наука, 1956. Лаврентьев М. М., Васильев В. Г. О постановке некоторых не- корректных задач математической физики // Сиб. матем. ж.— 1960.— Т. VII, № 3. Лаврентьевы. М., Р о м а н о в В. Г., В а с и л ь е в В. Г. Много- мерные обратные задачи для дифференциальных уравнений.— Новоси- бирск: Наука, 1969. Лаврентьев М. М., Р о м а н о в В. Г., Ш и т а т с к и и С. П. Не- корректные задачи математической физики и анализа.— М.: Наука, 1980. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений.— Новосибирск: Изд-во НГУ, 1973. ЛандисЕ М. О некоторых свойствах решений эллиптических уравне- ний// ДАН СССР.— 1956.— Т. 107, № 4. Лионе, Латтес (Lions J., Lattes R.). Метод квазиобращения и его применения.— М.: Мир, 1970. Магницкий Н.А. Об одном методе регуляризации уравнения Воль- терра 1-го рода//ЖВМ и МФ.— 1975.— Т. 15, № 5.—С. 1317—1323. МарченкоВ.А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения.— Киев: Наукова думка, 1978. М а р ч у к А. Г. Оптимальные но точности методы решения задач восстанов- ления.—Препринт / ВЦ СО АН СССР.—Новосибирск, 1976.—№ 10. МарчукГ.И. Уравнения для ценности информации с метеорологических спутников и постановка обратных задач// Космические исследования.— 1964.— Т. 11, № 3. М а р ч у к Г. И., АтанбаевС.А. Некоторые вопросы глобальной ре- гуляризации // ДАН СССР.- 1970.- Т. 190, № 3. МарчукГ И., ВасильевВ.Г. О приближенном решении оператор- ных уравнений первого рода// ДАН СССР.- 1970.- Т. 199, № 4. МарчукГ. И., ДробышевЮ.П. Некоторые вопросы линейной те- ории измерений// Автометрия.— 1967.— Т. 3. МарчукГ.И., ОрловВ.В. К теории сопряженных функций // Ней- тронная физика.—М.: Атомиздат, 1961. МергелянС.Н. Гармоническая аппроксимация и приближенное реше- ние задачи Коши для уравнения Лапласа // УМН.— 1956.— Т. XI. МорозовВ.А., Методы решения неустойчивых задач (тексты лекций).— М.: Изд-во МГУ, 1967. МухаметовР.Г. К задаче восстановления анизотропной римановской метрики в га-мерной области.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1978, Препринт № 136. ПрилепкоА.И. Обратные задачи теории потенциала // Матем. заметки, 1973, Вып. 14, № 5.—С. 755—765. РомановВ. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболи- ческого типа.— Новосибирск: Наука, 1972. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений (об- ратная кинематическая задача сейсмики).— Новосибирск: Изд-во НГУ, 1978. Сергеев В. О. Регуляризация уравнения Вольтерра I рода // ДАН СССР. —1971.— Т. 197, № 3.— С. 531—534. Т и х о н о в А. Н. Об устойчивости обратных задач// ДАН СССР.— 1943.— Т. 39, № 1. ТИХОНОВА Н О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР.- 1963.- Т. 151, № 3. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач// ДАН СССР.— 1963.— Т. 153, № 1. Тихонов А. Н., АрсенинВ.Я. Методы решения некорректных за- дач.— М.: Наука, 1974. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 599 ФаддееваВ.Н. Сдвиг для систем с плохо обусловленными матрица- ми // ЖВМ и МФ.— 1965.— Т. 5, № 5. ФедотовА.М. О двух подходах к исследованию условно-корректных задач со случайными ошибками в исходных данных.— Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1978. Препринт № 80. Ф р а н к J]. С., Ч у д о в Л. А. Разностные методы решения некорректной задачи Кошп II Численные методы в газовой динамике.— М.: Изд-во МГУ, 1965. Фукс (Fuks К.). Perturbation theory in neutron multiplication problems // Proc. Phys. Soc.— 1949.— V. 62, № 791. Ш и ш а т с к и и С. П. Об одном методе приближенного решения некор- ректной задачи Коши для эволюционного уравнения // Математические проблемы геофизики, вып. 3.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1972.— С. 216—228. 17. Вычислительные методы в теории переноса АгошковВ.И. Вариационные методы в теории переноса: Автореф. канд. дисс.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. Агошков В. И. Выбор базисных функций при решении некоторых эл- липтических уравнений // Вычислительная математика и программиро- вание.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974. АгошковВ.И. Некоторые особенности решения уравнения переноса и учет их при построении базисных функций.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977, Препринт № 58. АгошковВ.И. Обобщенные решения уравнения переноса и свойства их гладкости.— М.: Наука, 1988. АгошковВ.И. О гладкости решений уравнения переноса и приближен- ных методах их построения, I, II // Дифференциальные и интегро-диф- ференциальные уравнения.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977. АгошковВ. И. Решение уравнения переноса в Х—У-геометрии мето- дом интегральных тождеств.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1979, Препринт № 159. Б а р д о с (Bardos P. G.). Equations du premier ordere a coefficients reels // Ann. Sci. EC. Norm. Sup. 4е series, 1970.— Т. З; БоголюбовН.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике.— М.: Гостехиздат, 1946. Владимирова. С. Численное решение кинетического уравнения для сферы // Вычислительная математика, З.—М.: ВЦАН СССР, 1958. Владимирова. С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц.— Труды матем. ин-та АН СССР, 1961.— Т. 61. Владимиров В. С. О некоторых вариационных методах приближенного решения уравнения переноса // Вычислительная математика — Т 7.— М.: ВЦ АН СССР, 1961. ГермогеноваТ.А. Локальные свойства решений уравнений перено- са.—М.: Наука, 1986. ГермогеноваТ.А. О сходимости некоторых приближенных методов решения уравнения переноса//ДАН СССР.—1968.—Т. 181, № 3. ГермогеноваТ.А. Обобщенные решения краевых задач для уравне- ния переноса // ЖВМ и МФ.— 1969.— Т. 9, № 3. Г о д у н о в С. К. Использование интеграла энергии для оценки точности приближенных собственных значений//ЖВМ и МФ.—1971.—Т. 11, № о. Годунове. К., С у л т а н г а з и н У. М. О диссипативностп граничных условий В. С. Владимирова для симметрической системы метода сфери- ческих гармоник//ЖВМ и МФ.—1971.—Т. 11, № 3. ГольдинВ. Я. Квазидиффузионный метод решение кинетического yi.aii- нения//ЖВМ и МФ.—1964.—Т. 4, № 6. 600 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ И о р г е н с (Jorgens К.). An asymptotic expansion in the tneory ol' neutron transport // Comm. Pure Appl. Math.— 1958.— V. 11, № 2. Карлсон Б., Белл Д ж. Решение транспортного уравнения 5„-ме- тодом//Физика ядерных реакторов.—М.: ИЛ, 1963. Кузнецов Е. С., М а р ч у к Г. И. Вычислительные методы в теории переноса излучения // Труды IV Всесоюзного математического съезда.— Ленинград: 3—12 июля 1961 г. Т. II. Секционные доклады.— Л.: На- ука, 1964. ЛебедевВ.И. О нахождении решений кинетических задач теории пере- носа: Автореф. докт. дисс.— Новосибирск, 1967. ЛебедевВ.И.О КР -методе и разностных схемах для кинетического урав- нения // Вычислительные методы в теории переноса.— М.: Атомнздат, 1969. Марек (Магес I.). On a problem of mathematical physics // Appl. Math.— 1966. — V. II, № 89. М а р ч у к Г. И. Численные методы расчета ядерных реакторов.— М.: Атом- издат, 1958. МарчукГ.И., КочергинВ.П. Эффективный метод решения дву- мерного уравнения диффузии для ячеек квадратной и шестиугольной формы // Атомная энергия.— 1965.— Т. 18, № 6. М а р ч у к Г. И., ЛебедевВ.И. Численные методы в теории переноса нейтронов.— М.: Атомиздат, 1971. М а р ч у к Г. И., СултангазинУ.М. О сходимости метода расщепле- ния уравнений переноса излучений // ДАН СССР.— 1965.— Т. 161, № 1. М а р ч у к Г. И., СултангазинУ.М. К вопросу о решении кинети- ческого уравнения переноса методом расщеплений // ДАН СССР.— 1965.— Т. 163, № 4. МарчукГ.И., ЯненкоН.Н. Решение многомерного кинетического уравнения методом расщепления// ДАН СССР.— 1964.— Т. 157, № 6. Николайшвили Ш. С. Приближенное решение уравнения переноса методом моментов//Атомная энергия.—1961.—Т. 9, № 2. НиколайшвилиШ.С. О решении односкоростного уравнения пере- носа с использованием приближения Ивона — Мартенса //Атомная энер- гия.— 1966.— Т. 20, № 4. Смелов В. В. Лекции по теории переноса нейтронов.— М.: Атомиздат, 1972. Султангазин У. М. Дифференциальные свойства решений смешанной задачи Коши для нестационарного кинетического уравнения.— Ново- сибирск: СО АН СССР, 1971, препринт. Султангазин-У. М. К обоснованию метода слабой аппроксимации для уравнения сферических гармоник.— Новосибирск: СО АН СССР, 1971, препринт. Султангазин У. М. Слабая сходимость сферических гармоник.— Новосибирск: СО АН СССР, 1971, препринт. Ш и х о в С. Б. Некоторые вопросы математической теории критического состояния реактора // ЖВМ и МФ.— 1967.— Т. 7, № 1. Шутяев В. П. Спектр разностной задачи для уравнения переноса в плоском слое и его асимптотическое поведение.— М.: Препринт ,№ 38 Отдела вычислительной математики АН СССР, 1982. 18. Метод Монте-Карло Бахвалов Н. С. Об оптимальности оценок скорости сходимости квад- ратурных процессов и методов интегрирования типа Монте-Карло на классах функций // Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы.— М.: Наука, 1964.— С. 5—63. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 601 Б у с л е н к о Н. П., Г о ле н к о Д. И. и др. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло).— М.: Физматгиз, 1962. В л а д и м и р о в В. С. О применении метода Монте-Карло для отыска- ния наименьшего характеристического числа и соответствующей соб- ственной функции линейного интегрального оператора // Теория вероят- ностей и ее применения.— 1956.— Т. 11, с. 113—130. Владимиров В. С., Соболь И. М. Расчет наименьшего характе- ристического числа уравнения Пайерлса методом Монте-Карло // Вы- числительная математика.— М.: ВЦ АН СССР, 1958. Гельфанд И. М., Фролов А. С., Чепцов Н. Н. Вычисление континуальных интегралов методом Монте-Карло // Изв. ВУЗов, Мате- матика,— 1958.— Т. 5. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы.— М.: Наука, 1971. Ермаков С. М., Золотухин В. Г. Полиномиальные приближе- ния и метод Монте-Карло // Теория вероятностей и ее применения.— I960.— Т. 5, № 4. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Курс статистического модели- рования.— М.; Наука, 1976. К е р т и с Д. Методы Монте-Карло для итерации линейных операторов // УМН.— 1957.- Т. XII, № 5. М а р ч у к Г. И., Михайлов Г. А., Н а з а р а л и е в М. А. и др. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике.— Новосибирск: Наука, 1976. Метрополи с, Улан (Metropolis N., Ulan S.). The Monte-Carlo Me- thod // J. Amer. Stat. Assoc.— 1949.— V. 44, № 247. Михайлов Г. А. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло.— Новосибирск: Наука, 1974. Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло.— М.: Наука, 1973. Спанье Дж., Гелбард 3. Метод Монте-Карло и задачи переноса нейтронов.— М.: Атомиздат, 1972. Ф а н о У., Спенсер Л., Бергер М. Перенос гамма-излучения.— М.: Госатомиздат, 1963. Ченцов Н. Н. Статистические решающие правила и оптимальные вы- воды.— М.: Наука, 1972. 19. Метод крупных частиц Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Нестационарный метод «крупных частиц» для газодинамических расчетов /'/ ЖВМ п МФ.— 1971.— Т. 11, № 1. Ведешкпна К. А., Левина 3, Ф., Л о м н е в С. П. и др. Реше- ние задач методом «крупных частиц».— М.: ВЦ АН СССР, 1970. Д ь я ч е н к о В. Ф. Об одном новом методе численного решения неста- ционарных задач газовой динамики с двумя пространственными перемен- ными // ЖВМ и МФ.— 1965.— Т. 5, № 4. X а р л о у (Harlow F.). Численный метод частиц в ячейках для задач гид- родинамики // Вычислительные методы в гидродинамике.— М.: Мир, 1967. ЯненкоН.Н., АнучинаН.Н., Петренко В. Е., Ш о- кин Ю. И. О методах расчета задач газовой динамики с большими деформациями.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1970.— Т. 1, № 1. 20. Методы оптимизации алгоритмов Бабушка И., Соболев Л. С. Оптимизация численных методов.— 1965.— Т. 10, № 2. Б а х в а л о в Н. С. Об оптимальных методах решения задач // Appl. Math.— 1968.— V. 13, № 1. 602 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Б а х в а л о в Н. С. Об оценке количества вычислительной работы, необ- ходимой при приближенном решении задач.— Дополнение IV. В кн.: Годунов С. К., Рябенький В. С. Введение в теорию разностных схем.— М.: Физматгиз, 1962. ВиноградовИ.М. К вопросу об оценке тригонометрических сумм // Изв. АН СССР. Сер. матем.— 1965.— Т. 29, № 3. Дальквист (Dajiquist G.). Convergence and stability in the numerical integration of ordinary differential equations // Math. Scand.— 1956.— V. 4, № 1. Колмогоров А. Н. Дискретные автоматы и конечные алгоритмы // Труды IV Всесоюзного математического съезда, т. I.— М.: Иад-во АН СССР, 1963. Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестник МГУ. Сер. матеы.— 1959.— Т. 4. Моисеев Н. Н. Численные методы, использующие варьирование в про- странстве состояний и некоторые вопросы управления большими систе- мами // Тезисы докладов Международного конгресса математиков.— М., 1966. Моисеев Н. Н., Красовский Н. Н. Теория оптимальных управ- ляемых систем//Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.—1967.—1. 5. Мур (Moor R.). Interval analysis.—Prentice-Hall, 1966. Нике л (Nickel К.). Uber die Notwendigkeit einer Fehlerschranken-Arith- metic fur Rechnenautomaten // Numer. Math.-1966.-V. 9, № 1. Н и к е л (Nickel К.). Bericht uber neue Kalsruher Ergehnisse bei der Fhe- lererfassung von numerischen Prozessen // Appl. Math.— 1968.— V. 13, № 2. Ф р о л о в К. К. О связи квадратурных формул и подрешеток решетки целых векторов//ДАН СССР.—1977.—Т. 232, № 1, с. 40—43. Черноусько Ф. Л., Б а н и ч у к Н. В., Петров В. М. Числен- ные решения вариационных и краевых задач методом локальных вариа- ций // ЖВМ и МФ.— 1966.— Т. 6, № 6. 21. Численные методы условий оптимизации А б а д и, К а р н е н т ь е (Abadie J., Carpenter J.). Generalization of the reduced gradient method to the caze of nonlinear constraints // Optimi- zation.— L.: Acad. Press, 1969.— P. 37—48. Булавский В. А., Звягина Р. А., Яковлева М. А. Числен- ные методы линейного программирования.— М.: Наука, 1977. Булавский В. А., Рубинштейн Г. Ш. О решении задач вы- пуклого программирования с линейными ограничениями методом после- довательного улучшения допустимого вектора // ДАН СССР.— 1963.— Т. 150, № 2.—С. 231—235. Бут (Boot J. С. G.). Quadratic programming.— Amsterdam, North-Holland, 1964.— т. 17. В у л ф Ф. Новые методы в нелинейном программировании // Применение математики в экономических исследованиях.— Т. 3.— М.: Мысль, 1968.— С. 312—333. Г а н ж е л а И. Ф. Об одном алгоритме спуска с ограничениями /У ЖВМ и МФ.— 1970.— Т. 10, № 1.— С. 146—157. Г а с с С. Линейное программирование. (Методы п приложения).— М.: Фпзматгоз, 1961.— С. 303. Голдстайн (Goldstein A. A.). Convex programming in Hilbert Space // Bull. Amer. Math. Soc.— 1964.— V. 70, № 5.— Р. 709—710. Г лови не к и (Glovinski R.). Introduction to fue Approximation of El- liptic Variational Inequalities.— Report 76006, Laboratoire d'Analyse Numerique de 1'universite Paris,— 1976.— Т. 6. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 603 Гловцнски, Лионе, Тремольер (Glovinski R., Lions L , Tre- molieres R.). Analyse Numerique des Inequations Variationneles. V. 1, 2.— P.: Uunod, 1976. [Рус. пер.: Численное исследование вариационных веществ.— М.: Мир, 1979.] Данилин Ю. М. Минимизация нелинейных функционалов в задачах с ограничениями// Кибернетика.— 1970.— № 3.— С. 110—117. Д а н ц и г Дж. Линейное программирование, его применение и обобще- ния.—М.: Прогресс, 1966.—С. 600. Демьянов В. Ф. К минимизации функций на выпуклых ограниченных множествах // Кибернетика.— 1965.— № 6.— С. 65—74. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Приближенные методы решения экстремальных задач.— Л.: ЛГУ, 1968.— С. 180. Джилберт (Gilbert Е. G.). An iterative procedure for computing of a quadratic form on a convex set//SI AM J. Control.-1966.-V. 4, № 1.— P. 61—81. Д ю в о, Лионе (Duvaur G., Lions J. L.). Les Inequations en Mecanique et on Physique.— P.: Dunod, 1972.— (Euqlistranslation. Grundlehren der Math., Springer-Verlag, 219, 1976). Е р е м и н И. И. О методе штрафов в выпуклом программировании // Кибернетика.— 1967.— № 4.— С. 63—67. Зангвилл У. Нелинейное программирование. Единый подход.— М.: Сов. радио, 1973.— С. 312. Зойтендейк Г. Методы возможных направлений.— М.: ИЛ, 1963, с. 176. Канторов и ч Л. В. Математические методы в организации и плани- ровании производства.— Л.: ЛГУ, 1939. К а и л а н А. А. К вопросу о реализации метода возможных направлений // Труды ин-та мат. СО АН СССР — 1972.— Т. 5, № 22.— С. 99—105. Карманов В. Г. Лекции по математическому программированию.— М.: МГУ, 1971. К а р -м а н о в В. Г. Математическое программирование.— М.: Наука, 1975. Кон (Conn R.). Constained optimization using a differentiable penalty functions//SIAM J. Numer. Anal.-1973.-V. 10, № 4.—P. 760— 784. Кун, Такер (Kuhn Н. W., Tucker A. W.). Nonlinear programming// Proceedings of the Second Berkley Symposium on Methematical Stati- stics an Probability.— Univ. of California Press, 1951.— P. 481—493. Курант (Courant R.). Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations // Bull. Amer. Soc.— 1943.— V. 49, № 1.— Р. 1—23. К ю н ц и Г. П., К р е л л е В. Нелинейное программирование.— М.: Сов. радио, 1965. Кэрролл (Carroll С. W.). The created response surface technique for opti- mizing nonlinear restained systems // Operat. Res.— 1961.— V. 9, № 2.— Р. 169—184. Левитин Е. С., Поляк Б. Т. Методы минимизации при наличии ограничений // ЖВМ и МФ.— 1966.— Т. 6, № 5.— С. 787—823. Лионе, Темам (Lions J. L., Temam R.). Une methods d'eclatement des operateurs et des contraintes en calcul des variations.— C. R. Acad. Sci. P., 1966.— Т. 263. Лион с, Стампакья (Lions J. L., Stampacchia) Variational inequa- lities//Con. Pure Applied Math.—1967.—T. XX. Л у т с м a (Lootsma F. A.). Constrained optimization via penalty functions // Philips Res. Repts.— 1968.— V. 23, № 5.— Р. 408—423. Моисеев Н. Н., И в а Е и л о в Ю. П., С т о л я р о в а Е. М. Мето- ды оптимизации.— М.: Наука, 1978. Морозов В. А. Линейные и нелинейные некорректные задачи II Мат. анализ, М.—1973.—Т. 11.—С. 129—178. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 604 П а у э л л (Pouell M. J. D.). A method for nonlinear constraints in mini- mization problems // Optimization.— L.: Acad. Press, 1969. Поляк Б. Т. Метод сопряженных градиентов в задачах на экстремум // ЖВМ и МФ.— 1969.— Т. 9, № 4.— С. 807—921. Пшеничный Б. Н. Алгоритмы для общей задачи математического про- граммирования // Кибернетика.— 1970.— № 5.— С. 120—125. Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. M. Численные методы в экстре- мальных задачах.— M.: Наука, 1975. Розен (Rosen J. В.). The gradien projection method for nonlinear pro- gramming. I. Linear constraints. II. Nonlinear constraints//SIAM J.— I960.— V. 8, № 1.— P. 180—217; 1961.— V. 9, № 4.— Р. 514—532. Розенблюм (Rosenbloom P.). The method of steepset descent // Proc. sympos. Appl. Math.— 1956.— Т. 6.— Р. 127—177. Рубинштейн Г. Ш. Конечномерные модели оптимизации: Курс лек- ций.— Новосибирск: Изд-во НГУ, 1970. Саджент, Муртаг (Sargent R. W., Murtagh В. А. Н.). Progestion methods tor nonlinear programming//Math. Prog.—1973.—V. 4.— P. 245—268. С е а Ж. Оптимизация, теория и алгоритмы.— M.: Мир, 1973. Тихонов А. Н. О некорректных задачах оптимального планирования // ЖВМ и МФ.— 1966.— Т. 6, № 1. — С. 81-89. Флетчер (Fletcher R.). A general quadratic programming algorithm// J. Inst. Maths Applies.—1971.—T. 7.—P. 76—91. Франк, Вульф (Frank M., Wolte R.). An algorithm for quadratic pro- gramming//Naval. Res. Legist. Quart.—1956.—V. 3, JVa 1.—2.— Р. 95—110. Хедли Д. Нелинейное и динамическое программирование.—M.: Мир, 1967. Э р р о у К. Дж., Г у р в и ц Л., У д з а в а X. Исследования по линей- ному и нелинейному программированию.— M.: ИЛ, 1962. Юдин Д. Б., Гольдштейн Е.Г. Линейное программирование. Теория и конечные методы.— M.: Физматгиз, 1963. 22. Теория оптимального управления (динамическое программирование и принцип максимума) Балакришнан А. Введение в теорию оптимизация в гильбертовом пространстве.— M., 1974. Беллман Р. Динамическое программирование.—M.: ИЛ, 1963. БеллманР., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического про- граммирования.— M.: Наука, 1965. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управле- ния.— M.: Наука, 1969. Болтянский В. Г. Оптимальное управление дискретными системами.— M.: Наука, 1973. Б у т к о в с к п и А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами.— M.: Наука, 1975. Г а б а с о в Р., К и р и л л о в а Ф. M. К вопросу о распространении принципа максимума Л. С. Понтрягпна на дискретные системы /,' Авто- матика и телемеханика.— 1966.— Т. 27, Л'» 11. К р а с о в с к и и Н. Н. Теория управления движением.— M.: Нал-ка, 1968. Л е т о в А. M. Динамика полета и управление.— M.: Наука, 1969. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления.— M.: Наука, 1972. Лионе Ж.— Л. Оптимальное управление системами, описываемыми урав- нениями с частными производными.— M.: Мир, 1972. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физи- ки.— M.: Наука, 1977. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 605 Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем.— M.: Наука, 1975- Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Г а м к р е л и д- з е Р. В., М и щ е н к о Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов.— М.: Наука, 1976. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управ- ления.— М.: Наука, 1978. Фельдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматических си- стем.— М.: Наука, 1966. Черноусько Ф. Л., Баннчук В. П. Вариационные задачи ме- ханики и управления.— М.: Наука, 1973. ЭнеевТ.М. О применении градиентного метода в задачах оптимального управления // Космические исследования.— 1966.— Т. 4, JVs 5. Я н г Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления.— М.: Мир, 1974. 23. Методы Шварца и разделения области А г о ш к о в В. И. Метод разделения области в задачах гидродинамики. I. Задача о плоской циркуляции в океане.—Препринт / ОВМ АН СССР.— М., 1985.— № 96. Агошков В. И. Метод разделения области в задачах математической физики // Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений в задачах математической физики.— М.: ОВМ АН СССР, 1989. Агошков В. И. (Agoshkov V. I.). Poincare — Stekiow's Operators and Domain Decomposition Methods in Finite Dimentional Spaces // First International Symposium on Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations.— SIAM, Philadelphia, USA, 1988. Агошков (Agoshkov V. I.). Reflection operators and domain decompo- sition methods in transport theory problems/7 Sov. J. Kumer. Anal. Math. Modelling.—1987.—V. 2, № 5.—Р. 325—347. Агошков В. И., Лебедев В. И. Операторы Пуанкаре — Стеклова и методы разделения области в вариационных задачах /У Вычислитель- ные процессы и системы.— Т. 2.— М.: Наука, 1985. БремблДж., Пасьяк Дж., Шатц A. (Bramble J. Н., Pasci- ak J. Е., Schatz А. Н.). The construction of preconditioners for elliptic problems by substructuring//J. Math. of Сотр.—1986.—V. 47.— Р. 103-134. Б у л е е в С. Н. Агошков В. П. Исследование некоторых алгоритмов разделения области // Сопряженные уравнения и алгоритмы возмуще- ний в задачах математической физики.— М.: ОВМ АН СССР, 1989. Видлунд (Widlund О. В.). Iterative substructuring methods: algorithms and theory for elliptic problems in the plane // Domainn Decomposition Methods for Partial Differential Equations.— SIAM, Philadelphia, USA, 1988.— P. 113—128. ВОЛКОВЕ. А. Асимптотически быстрый приближенный метод нахождения на сеточных отрезках решения разностного уравнения Лапласа. — Тру- ды МИАН СССР, 1986.—Т. 173.—С. 69—89. Гловински (Glowinski R.). Domain decomposition methods for nonli- near problems in fluid dynamics// Rapports de Recherche, INRIA.— Paris, 1982. ДмитриенкоМ.Е., Оганесян Л. А. Вариант метода Шварца для прилегающих сеточных областей // Вычисления с разреженными матри- цами.— Новосибирск, 1981.— С. 36—44. Д р ы я (Dryja M.). A finite element — capacitance matrix method for Ihe elliptic problem// SIAM. J. on Num. Anal.— 1983.— V. 20.— 671—680. Дьяконов Е.Г. Асимптотическая япнп^изация вычислительной рабо- ты при решении сильно эллиптических краевых задач//Теория куба- турных формул и вычислительная математика.— Новосибирск: Наука, 1980. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 606 Кацнельсон В.Э., Меньшиков В. В. Об одном аналоге альтер- нирующего метода Шварца // Теория функций, функциональный анализ ш их приложения.— Харьков: ХГУ, 1973.— Вып. 17.— С. 206—215. Кузнецов Ю.А. Вычислительные методы в подпространствах // Вычис- лительные процессы и системы. 2.— М.: Наука, 1985.— С. 265—350. Кузнецов Ю.А. Новые алгоритмы приближенной реализации неявных разностных схем.—Препринт/ОВМ АН СССР.—М., 1986.—№ 142. Лебедев В. И. Метод композиции.— М.: ОВМ АН СССР, 1986. Лебедев В.И., Агошков В.И. Обобщенный алгоритм Щварца с пере- менными параметрами.—Препринт/ОВМ АН СССР.—М., 1981. Лебедев В.И., Агошков В.И. Операторы Пуанкаре—Стеклова и их приложения в анализе.— М.: ОВМ АН СССР, 1983. Лионе (Lions P. L.). On the Schwarz Alternating Method//Proceedings of the First International Symposium on Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations.—SIAM, Philadelphia, 1988.—P. 1—42. М а р ч у к Г. И., К у з н е ц о в Ю. A. (Marchuk G. I., Kuznetsov Yu. A.). Approximate algorithms for implicit difference schemes // Analyse mat- hematique et applications.— Gauthier—Villars, Paris, 1988.— P. 357— 371. М а р ч у к Г. И., К у з н е ц о в Ю. А., М а ц о к и н А. М. (Marchuk G. I., Kuznetsov Yu. A., Matsokin A. M.). Fictitious domain and domain decom- position methods//Soviet J. of Num. Anal. and Math. Modelling.— 1986.—V.I, №1.—Р.5—41. МатееваЭ.И., Пальцев Б.В. О разделении областей при решении краевых задач для уравнения Пуассона в областях сложной формы // ЖВМ и МФ.— 1973.— Т. 13, № б,— С. 1441—1452. Мацокин А.М. Критерий сходимости метода Шварца в гильбертовом пространстве // Вычислительные процессы и системы. Вып. 6.— М.: Наука, 1988. МацокинА.М. Метод фиктивных компонент и модифицированный раз- ностный аналог метода Шварца // Вычислительные методы линейной алгебры.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1980. Мацокин А.М. Методы фиктивных компонент и альтернирования по подпространствам // Вычислительные алгоритмы в задачах математиче- ской физики.—Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985. Мацокин А.М. Связь метода окаймления с методом фиктивных ком- понент и методом альтернирования по подпространствам // Дифферен- циальные уравнения с частными производными.— Новосибирск: Наука, 1986. Мацокин А. М., Непомнящих С. В. Метод альтернирования Швар- ца в подпространстве // Известия вузов. Математика.— 1985.— № 10. М и х л и н С. Г. Об алгоритме Шварца // Докл. АН СССР.— 1951.— Т. 77, Л» 4.—С. 569—571. ОсмоловскийВ.Г., РивкиндВ.Я.О методе разделения областей для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами // ЖВМ и МФ.—1981.—Т. 21, №1.—С. 35—39. РомановаС.Е. Приближенные методы решения разностного уравнения Лашиса асимптотически за одно и два сложения на точку//ДАН СССР.-1983.-Т.273, № 1.-С. 49-54. Самарский А. А., К а п о р и н И. Е., Кучеров А. В., Нико- лаев Е. С. Некоторые современные методы решения сеточных уравне- ний ,'' Известия вузов. Математика.— 1983.— № 7.— С. 3—12. Смелов В.В. Обоснование итерационного процесса по подобластям для задач теории переноса в нечетном Pg+i приближении. — Препринт/ ВЦ СО АН СССР.—Новосибирск, 1980.—№ 71.—27 с. С м е л о в В. В. Принцип итерирования по подобластям в задачах с уравне- нием перекоса // Методы решения систем вариационно-разностных урав- нений.— Новосибирск, 1979.— С.139—158. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 607 Соболев С. Л. Алгоритм Шварца в теории упругости// ДАН СССР.— 1936.— Т. 4 (XIII), № 6.— С. 235—238. Ф у н а р о Д., Квартерони А., 3 а н о л л и П. (Funaro D., Quarte- roni A., Zanolli P.). An iterative procedure with interface relaxation for domain decomposition methods//SIAM. J. Numer. Anal. —1988.— V. 25.— P. 69. Ц в и к Л. Б. Обобщение алгоритма Шварца на случай областей, сопряжен- ных без налегания// ДАН СССР.— 1975.— Т. 224, № 2.— С. 309—312. 24. Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений Агошков В. И. Оценка скорости сходимости некоторых алгоритмов теории возмущений.— Препринт / ОВМ АН СССР.— М., 198?.— №30. Агошков В.И. Проекционно-сеточный метод в алгоритмах теории воз- мущений.— Препринт / ОВМ АН СССР.— М., 1982.— № 38. Агошков В.И. Сопряженные уравнения в алгоритмах возмущений N-то порядка точности // Сопряженные уравнения и теория возмущений в задачах математической физики.— М.: ОВМ АН СССР, 1985. Агошков В. И., П о п ы к и н А. П., Ш и х о в С. Б. К теории малых возмущений для уравнения переноса // Сопряженные уравнения и теория возмущений в задачах математической физики.— М.: ОВМ АН СССР, 1985. Беллман (Bellman В.). Perturbation Techniques in Mathematics, Phy- sics and Engineering.— Holt, N. Y., 1964. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.— М.: Физматгиз, 1958. Вайнберг М. М., Треногий В. А. Теория ветвления решений не- линейных уравнений.— М.: Наука, 1969. В а н-Д е и к (Van-Dyke М. D). Perturbation methodc in fluid mechanics.— Academic Press, 1964, № 1. В асильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения ре- шений сингулярно возмущенных уравнений.— М.: Наука, 1973. В и ш и к М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о воз- мущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений. I // УМН.— I960.— Т. XV, вып. 3.— С. 3—80. В л а д и м и р о в В. С., В о л о в п ч И. В. Законы сохранения для не- линейных уравнений // ДАН СССР.— 1984.— Т. 279, № 4.— С. 843—847. К а т о Т. Теория возмущений линейных операторов.— М.: Мир, 1972. К а т о (Kato Т.). Perturbation of continuous spectra by trace class operators // Proc. Japan Acad.— 1957.— V. 33. P. 260—264. ЛадыженскаяО.А., Фаддеев Л.Д. О теории возмущения непре- рывного спектра // ДАН СССР.— 1958.— Т. 120, № 6.— С. 1187—1190. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений.— М.: Наука, 1981. Л ь ю и н с Дж. Ценность. Сопряженная функция.— М.: Атомиздат, 1972. Ляпунов А. М. Собр. соч. Т. 2.— М.—Л., 1956. М а р ч у к Г. И. Методы долгосрочного прогноза погоды на основе реше- ния основных и сопряженных задач // Метеорология и гидрология. — 1974.— № з.— С. 17—34. М арчу к Г. И. Применение сопряженных уравнений к решению задач математической физики//Успехи механики.—1981.—Т. 4, вып. 1.— С. 3—27. М а р ч у к Г. И. Основные и сопряженные уравнения динамики атмосферы и океана//Метеорология и гидрология.—1974.—№ 2.—С. 9—37. М а р ч у к Г. И. Окружающая среда и проблема оптимизации размещения предприятий//ДАН СССР.—1976.—Т. 227, JV° 5.—С. 1056—1059. 608 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Марчук (Marchuk G. I.). Formulation of the theory of Perturbations for Complicated Models // Applied Math. and Optimization.— 1975.— V. 2, № 1.— Р. 1—33. МарчукГ.И., АгошковВ.И. Сопряженные операторы и алгоритмы возмущений в нелинейных задачах. Принципы построения сопряженных операторов.—Препринт/ ОВМ АН СССР.—М., 1986. МарчукГ.И., АгошковВ.И. Сопряженные операторы и алгоритмы возмущений в нелинейных задачах. Алгоритмы возмущений. Препринт/ ОВМ АН СССР.— М., 1986. МарчукГ.И., АгошковВ.И. Симметризация нестационарного урав- нения переноса и формулировка вариационного принципа.— Пре- принт/ ВЦ СО АН СССР.— Новосибирск, 1980. МарчукГ. И., АгошковВ. И., Ш у т я е в В. П. Сопряженные урав- нения и алгоритмы возмущений.— М.: ОВМ АН СССР, 1986. МарчукГ. И., К у з и н В. И., С к и б а Ю. Н. Проекционно-разностный метод расчета сопряженных функций для модели переноса тепла в системе атмосфера — океан — почва // Актуальные проблемы вычисли- тельной и прикладной математики.— Новосибирск, 1983.— С. 149—154. М арчу к Г. И., Орлов В.В. К теории сопряженных функций // Ней- тронная физика.— М.: Госатомиздат, 1961.— С. 30—45. М а с л о в В. П. Теория возмущений и асимптотические методы.— М.: Изд-во МГУ, 1965. Михайлов Г. А. Использование приближенных решений сопряженной задачи для улучшения алгоритмов метода Монте-Карло // ЖВМ и МФ.— 1969.— Т. 9, № 5.— С. 1145—1152. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики.— М.: Наука, 1981. Н а и ф э А. Методы возмущений.— М.: Мир, 1976. Пуанкаре А. Собр. соч.— Т. I.— M.: Наука, 1971. П у п к о В. Я., Зродников А. В., Лихачев Ю.И. Метод сопря- женных функций в инженерно-физических исследованиях.— М.: Энерго- атомиздат, 1984. Р е л л и х (Rellich F.). Perturbation theory of eigenvalue problems.— N. Y., L., P.: Gordon and breach Science Publishers, 1969. Р е л л и x (Rellich P.). Storungstheorie der spektralzerlegung. I—V // Math. Ann.— 1936.— V. 113.— P. 600—619, 667—685; 1939.— V. 116,— Р. 555—570; 1940.— V. 117.— Р. 346—382; 1942.— V. 118.— Р. 462—484. СтумбурЭ.А. Применение теории возмущений в физике ядерных реак- торов.— М.: Атомиздат, 1976. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения/ Под ред. Д. Б. Келлера, С. Актмана.— М.: Мир, 1974. УсачевЛ.Н. Уравнение для ценности нейтронов кинетического реактора и теория возмущений // Реакторостроение и теория реакторов.— М., Изд-во АН СССР, 1955.— С. 251. Фаддеев Л. Д. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра.— Труды МИАН, 1964.— Т. 73. Ф р и д р п х с К. Возмущение спектра операторов в гильбертовом простран- стве.— М.: Мир, 1969. Шредипгер (Schrodinger Е.). Quantisierung als Eigenwertproblem // Ann. Phys.— 1926.— V. 80.— Р. 437—490. Шутяев В.П. Вопросы теории возмущений для решения задач переноса нейтронов.— Автореф. дис... канд. физ.-мат. наук.— М., 1983. Шутяев В. П. Спектральные свойства условно-критической задачи пе- реноса в дискретном приближении и алгоритмы теории возмущений // Сопряженные уравнения и теория возмущений в задачах математической физики.— М.: ОВМ АН СССР, 1985.