А. А. ПЕРВОЗВАНСКИЙ КУРС ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов емсших учебных заведений МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РВДАКДИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1986 ББК 32.81 П26 УДК 62-50 Первозванский Л. А. Куре теории автоматического управления: Учеб. пособ.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.— 616 с. Рассматриваются основные разделы классической и современной теории автоматического управления: операторно-частотный подход, метод пространства состояний, оптимизация программ и законов управления с обратной связью, идентификация и адаптация. Теоретические постановки представлены в тесной связи с практическими проблемами. Изложение ведется концентрически, с по- стоянным возрастанием уровня сложности, что обеспечивает его доступность для читателей с различным уровнем подготовки. Включение ряда оригиналь- ных результатов делает книгу интересной и для специалистов. Для студентов втузов и специалистов в области теории автоматического управления. Табл. 12. Ил. 150. Библиогр. 121 назв. Рецензенты: академик А. А. Воронов, мафедра автоматики и процессов управления Ленинградского электротех- нического института 053 (02)-«6 -154-86 ) Издательство «Наука». Главная редакция фиэино-математической литературы, 1986 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие................... 5 Список обозначений ............... 8 Глава 1. Основные понятия ............. 9 § 1. Цели и принципы управления ........... 9 § 2. Сведения о технических средствах . . . . . . . . . 11 § 3. Примеры систем автоматического управления ..... 15 § 4. Проектирование и теория ........... 17 Глава 2. Операторный метод анализа линейных систем ..... 19 § 1. Описание элементов ............. 19 § 2. Описание систем .............. 'Л § 3. Устойчивость ............... 49 § 4. Установившаяся реакция и частотная характеристика ... 47 § 5. Анализ типовых структур ........... 52 Глава 3. Построение законов управления ......... 79 § 1. Программа, обратная связь, стабилизация ....... 70 § 2. Основные законы управления. Инвариантность ..... 82 § 3. Метод динамической компенсации ......... 90 § 4. Выбор желаемой передаточной функции по типовым воздейст- виям .................. 96 § 5. Логарифмические частотные характеристики ...... 108 § 6. Реализация закона управления .......... 121 § 7. Синтез обратных связей в электромеханической следящей систе- ме .................. 126 Глава 4. Управление при случайных воздействиях ...... 140 § 1. Случайные воздействия и реакция па них ...... 140 § 2. Оптимальный выбор передаточных функций ...... 152 § 3. Грубость и коэффициенты чувствительности показателей каче- ства ................... 160 § 4. Управление неустойчивыми и неминимально-фазовыми объекта- ми .................. 176 § 5. Регулирование угловой скорости вала гидравлической турбины 181 Глава 5. Введение в нелинейную теорию ........ 196 § 1. Необходимость нелинейной теории и ее возможности . . . 196 § 2. Равновесные состояния и устойчивость ....... 205 § 3. Автоколебания. Гармонический баланс и гармоническая линеа- ризация . ............... 217 § 4. Реакция нелинейной системы на внешние воздействия . . . 230 § 5. О выборе законов управления с учетом нелинейных факторов 244 Глава 6. Метод пространства состояний в линейной теории . . , . 250 § 1. Описание в нормальной форме .......... 250 § 2. Анализ системы .............. 256 § 3. Управляемость и наблюдаемость ......... 268 § 4. Размещение собственных чисел и стабилизация ..... 274 § 5. Оптимизация стабилизирующей обратной связи ..... 284 § 6. Управление при наличии случайных возмущений . . . . . 29Я § 7. Управление при неполных и неточных измерениях .... 29!) § 8. Системы с переменными параметрами . . . . . . . . 304 Глава 7. Линейные дискретные системы и импульсное управление 316 § 1. Свойства дискретных систем . . . . . . . . . . 316 § 2. Управление с обратной связью .......... 320 § 3. Импульсное управление непрерывными объектами .... 328 § 4. Операторный метод ............. 342 Глава 8. Анализ нелинейных систем . . ....... 359 § 1. Описание системы. Равновесные состояния ...... 359 § 2. Построение функций Ляпунова и критерии устойчивости . . 366 § 3. Элементы теории возмущений и зависимость от малого парамет- ра .................. 376 § 4 Периодические решения. Автоколебания и вынужденные' коле- бания . . . .............. 386 Глава 9. Оптимизация программ управления ........ 407 § 1. Формулировка задачи ............ 407 § 2. Условия оптимальности. Принцип максимума ..... 411 § 3. Задачи оптимизации со свободным правым концом траектории 424 § 4. Линейно-квадратичные задачи .......... 435 § 5. Оптимизация по. быстродействию ... . . . . . . 445 § 6. Дискретные системы ............. 457 § 7. Понятие о численных методах оптимизации ...... 461 § 8. Численная оптимизация непрерывных систем ...... 471 Глава 10. Синтез оптимальных обратных связей . . . . . . ." 481 § 1. Динамическое программирование ......... 481 § 2. Субоптимальные обратные связи ......... 490 § 3. Управление при недетерминированных внешних возмущениях 509 § 4. Управление с обратной связью по неточным измерениям . . 517 Глава 11. Методы идентификации и адаптивное управление . . . 532 § 1. Идентификация объектов управления ........ 532 § 2. Адаптивное управление статическим объектом . , . . . 54& § 3. Адаптивное управление динамическими объектами. Самона- стройка ................. 569 § 4. Заключение ............... 581 Приложение 1. Сведения о преобразованиях Лапласа .... 583 Приложение 2. Сведения из теории матриц . . . . . . . 587 Список литературы ................ 604 Предметный указатель .............. 610 ПРЕДИСЛОВИЕ Книга является учебным пособием по курсу теории автоматиче- ского управления. Этот курс включен в учебные планы различных инженерных специальностей и в настоящее время является одним из важнейших элементов общетехнического образования. С другой стороны, для некоторых специальностей он является профилирую- щим, определяющим квалификаций инженера. Курс входит и в си- стему университетского образования на механико-математических и иногда — на экономических факультетах. Разнообразие интересов слушателей и их подготовки делает особо сложной проблему создания приемлемого учебного пособия. Поэтому в книге принята концентрическая система изложения. Первый концентр (главы 1—5) посвящен описанию основных задач автоматического управления и использованию для их реше- ния классических операторно-частотных методов. Изложение ве- дется детально и сопровождается большим количеством примеров. Особое внимание уделяется постановке технических задач и про- блеме реализации законов управления. Математической базой глав 2 и 3 является алгебра многочленов и теория • линейных дифферен- циальных урав5ений"с"й6стоянны1?и коэффициентами, ~во все неоо'- ходимые сведения приводятся по ходу изложения, а кроме того, в Приложении 1 дана краткая сводка формул операционного ис- числения. Для понимания главы 4 дополнительно требуется нали- чие минимальных сведений из теории вероятностей. Глава 5 по- священа анализу основных явлений, связанных с наличием нели- нейных элементов. В целом первый концентр ориентирован на программы курсов общетехнического назначения, хотя порядок представления мате- риала несколько отличается от традиционного. При необходимости он может быть сокращен за счет изъятия гл. 4 (и частично гл. 5), где используются вероятностные представления. Однако включе- ние в любой курс начальной части гл. 5 представляется обязатель- ным. Текст, данный петитом, приведен лишь в качестве справоч- ной информации. Второй концентр (главы 6 и 7) содержит методику анализа и синтеза линейных систем, основанную на первичном описании в пространстве состояний. Стиль изложения становится более сжа- тым. Предполагается умение пользоваться аппаратом теории мат- риц. Хотя сводка всех используемых результатов этой теории дана -6 ПРЕДИСЛОВИЕ в Приложении 2, опыт преподавания показывает, что активное вла- дение матричным аппаратом требует получения предварительных навыков. В настоящее время принято, что материал первого и второго концентров должен включаться в общие курсы, читаемые студен- там технических вузов, для которых теория автоматического управ- ления является профилирующим предметом. Наконец, третий концентр (главы 8—11) включает ряд спе- циальных курсов (анализ нелинейных систем в пространстве со- стояний, оптимизация программы управления па основе принципа максимума и вычислительных методов, синтез оптимальных и при- ближенно оптимальных законов управления (обратной связи), вве- дение в методы идентификации и адаптивного управления). В рам- ках третьего концентра предполагается наличие более высокой об- щей математической культуры, хотя прикладные аспекты остаются в центре внимания. В основном третий концентр ориентирован на подготовку инженеров-математиков и инженеров-физиков, но мо- жет быть в сокращенном виде использован и для чисто техниче- ских специальностей. Материал спецкурсов может быть также по- лезен для подготовки к экзаменам кандидатского минимума по специальностям «теория автоматического управления» и «техниче- ские системы управления». В нем, в частности, содержатся доказа- тельства ряда математических утверждений, приведенных в общем курсе. Однако взаимосвязь между всеми частями курса проявляется не только и не столько в этом. Без освоения технического аспекта изучение теории автомати- ческого управления недопустимо и может привести лишь к полной беспомощности в постановке и решении практических проблем да- же при хороших формально-математических знаниях. Поэтому со- держательная постановочная сторона дела подчеркивается в тече- ние всего курса. Хотя изложение ведется по возможности строго в математическом смысле этого слова, акцент делается на соот- ветствии формальных моделей практической реальности. Формули- ровки и доказательства необходимых математических фактов дают- ся экономно, без претензий на наибольшую общность. Предлагаемый курс, конечно, не является курсом лекций. Ис- пользуя его для формирования лекционного материала, каждый преподаватель должен сделать выборку, соответствующую конкрет- ной задаче и возможностям общего плана обучения. Цель автора состояла лишь в том, чтобы предоставить достаточный материал для такой выборки. При этом учитывалось, что значительная часть преподавателей (а они также рассматриваются в качестве предпо- лагаемых читателей!) получила подготовку в тот период, когда современная теория управления еще не сформировалась. Поэтому в книге осуществляется «плавный переход» от классического ча- стотного подхода к более новым подходам. ———————————~ ПРЕДИСЛОВИЕ Определенная часть содержания книги оригинальна пе только в методическом отношении. Поэтому можно надеяться, что знаком- ство с ней представит интерес и для специалистов. Вместе с тем книга отнюдь не претендует на всесторонний охват проблематики теории автоматического управления, да это и невозможно при сов- ременном масштабе исследований. Книга базируется на собственном педагогическом и исследова- тельском опыте автора, но прежде всего отражает традиции, сло- жившиеся на физико-механическом факультете Ленинградского по- литехнического института. Они были заложены такими замечатель- ными учеными, как А. И. Лурье и А. М. Кац, светлой памяти ко- торых автор посвящает эту книгу. Традиции А. И. Лурье и А. М. Каца продолжались в лекциях Ю. В. Долголенко, Р. А. По- луэктова, И. Б. Челпанова, В. Я. Катковника. Содержание лекций менялось вместе с развитием теории, однако неизменной остава- лась общая тенденция — сочетание инженерной направленности с обновляющимся математическим аппаратом. Написание этой книги было выполнением долга автора перед учителями и перед ныне работающими товарищами и учениками, которым автор неизменно признателен за поддержку и советы. Особо следует упомянуть А. А. Воронова, который многие годы оказывал влияние на автора и как руководитель первых научных исследований, и как создатель прекрасных книг по теории управ- ления, и, наконец, как благожелательный и требовательный рецен- зент этого курса. Замечания А. А. Воронова вместе с замечаниями коллектива кафедры «Автоматика и процессы управления» Ленин- градского электротехнического института, возглавляемой В. Б. Яков- левым, были исключительно полезными и способствовали суще- ственному улучшению окончательного варианта рукописи. Автор глубоко благодарен всем непосредственно помогавшим в работе над рукописью: Т. В. Варядченко, Е. Ю. Коломиец, Н. В. Солониной, И. Л. Дороту, М. Г. Захарову, О. Ю. Кульчицко- му, В. К. Подгайскому, Б. Л. Розету и, прежде всего, Т. Н. Пер- возванской и Ал. А. Первозванскому. Весьма полезным было и вни- мательное прочтение рукописи А. С. Позняком. Следует все же заранее признаться, что несмотря на длитель- ную и напряженную работу данный курс отнюдь не совершенен. В тексте наверняка имеются незамеченные неточности и даже ошибки. Автор заранее признателен всем читателям, которые не сочтут за труд прислать свои поправки в издательство или непо- средственно в Ленинградский политехнический институт. СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ Обозначения величин и функций сохраняются только в преде- лах каждой главы. При ссылках приняты сокращенные обозначе- ния: П.— пример, Т.— теорема. Нумерация формул, теорем и при- меров двойная (сначала номер параграфа в данной главе, затем номер внутри параграфа), самостоятельная в каждой главе. При ссылках на другую главу указывается ее номер. Я — конец доказательства теоремы или ее формулировки (если доказательство не приводится) О—конец примера А=> В — из Л следует В А <=> В — А эквивалентно В (тогда и только тогда, когда) А/В — А при условии, что верно В /^— равно по определению D — оператор дифференцирования ( Од- (<) ^ — х (?) j S — оператор сдвига на такт (t,x [k\ ^ х \k +11). 3{ •} — оператор преобразования Лапласа (см. приложение 3^{-}—оператор ^-преобразования (см. приложение I) h(t) —весовая функция Я(0)—передаточная функция 1 (t} — функция Хевисайда . 6{t) — 6-функция Дирака р — индекс разомкнутого контура з — индекс замкнутого контура / — индекс обратной связи Р{А}—вероятность события А М{.г} — символ математического ожидания случайной ве личины х 0{х} — символ дисперсии случайной величины х о (ц) lim <tl-*0 о(|л) —величина меньшего порядка, чей и, =01 О (и.) —величина порядка u,f0< lim | О (?,)/«, |^ limj О (u)/u,|<oo\ \ Ц->0 М.->0 / V — градиент degtt(p)—степень полинома а(р) Обозначения, относящиеся к матрицам, описаны в Приложе- нии II. ГЛАВА 2 ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ § 1.1 Описание элементов 1.1. Уравнения элементов. Объекты и системы управления со- стоят из элементов, имеющих различную природу. Описание каж- дого элемента обычно дается на языке соответствующей научной дисциплины (механики, электротехники, химической кинетики и т. д.). Для анализа их взаимодействия удобно перейти к единооб- разному, стандартному описанию. В инженерной практике наиболь- шее распространение получил следующий способ: а) каждый реальный элемент рассматривается как устройство, звено системы, в котором осуществляется преобразование одного процесса, называемого входным воздействием, в другой, называемый выходной реакцией, или просто преобразование «вход-выход»; б) взаимодействие между звеньями задается путем описания связей между их входами и выходами, определяющих структуру системы. Приступим к изучению свойств отдельных звеньев. Универсальным языком теоретического естествознания, служа- щим для математического моделирования взаимосвязей процессов в природе и технике, является язык уравнений — алгебраических и, в особенности, дифференциальных. Введем основное предположе- ние: для описания преобразования «вход-выход», осуществляемого любым звеном, может быть использовано линейное дифференциаль- иое уравнение с постоянными коэффициентами: dmu J-R dm~lv . i ft +P"1-1 -T^T+--+Po^ ^у + . . . + CC„1/ = р, + ttn-l dl dt" а (1.1) где Ко, ..., ttn; po, • •., pm — постоянные величины, параметры звена, п и m — целые числа, п S? О, m Э* 0, а для обозначения входа и вы- хода (независимо от их природы) применены символы u==u(t} и y^Ui1)- Число п называется порядком уравнения (1.1) (порядком звена) *). *) Запись (1.1) предполагает существование соответствующих производ- ных функций v[t), y(t) в_обычном или обобщенном (см. ниже) смысле. 2* , "~~——' 20 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Уравнение (1.1) удобно записывать в сокращенной, оператор- ной форме [2.5]. '""~^~ Введем оператор дифференцирования D, обладающий тем свой- ством, что умножение на D эквивалентно дифференцированию по дремени, т. е. для любой функции f[t): D^!- Повторное умножение эквивалентно повторному дифференци- рованию D(D/)^D^^ at si вообще для любого целого А: ^ О 0^4- • =° d^ С использованием операторных обозначений уравнение (1.1) запи- сывается в виде a„D"y+«n-lD»-ly+ ...+^y=^1Dmv+^-iOm-lv+ ... +^v (1.2) или, еще короче, cx(D)y=p(D)y, (1.3) где введены многочлены от оператора дифференцирования а (D) ^ «„О" + o^_iD"-1 + ... + ст„ (1.4) Р (D) A P.mD" + P»-i D"1-1 + ... + Р,. Рассмотрим, ряд простых примеров приведения описания раз- личных физических элементов к стандартному. Пример 1.1. Напряжение на входе усилителя (рис. 2.1) обыч- но обозначают Um{t), напряжение на выходе—Мвых(^)) а связь между ними задают в виде u^(t) = ku,a(t). (1.5) В стандартных обозначениях полагаем У(0^"вх(<)< У(0^вых(0, Рис. 2.1 так что у(0-МО. (1.6) Это частный случай уравнения (1.1) при т = п = 0, tto=l, ^='k. a g 1. ОПИСАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ 21 Пример 1.2. Уравнение вращающегося вала обычно записывают в виде J^=m(t), (1.7) где (й(<) —угловая скорость, m(t} —момент действующих сил, J— момент инерции. Это уравнение определяет связь входного воздей- ствия m(t} с выходом (й(<). Полагая v{t)^m(t), y(t)^w(t}f J =• o;i, можем переписать (1.7) в виде afly(t)=v(t), . (1.8) что соответствует (1.1) при п = 1, т == 0, «о = 0, Ро = 1. .Если считать входным воздействием движущий момент гпц(1}, а момент сопротивления считать пропорциональным (о(0, то уравнение J^+b^(t}=m^(t) (1.9) опишет связь «вход-выход» в форме (1.1) при v(t}= m^t), n =• 1, т == 0, Ki == /, По '= Ь, ро = 1. a Пример 1.3. Рассмотрим традиционную модель теории колеба- ний: груз массы т связан с основанием с помощью пружины жест- кости с и демпфера, создающего вязкое трение и характеризуемого коэффициентом b (рис. 2.2). Пусть входным воздействием является сила F(t), приложенная к грузу, а выходом будем считать его перемещение y(t) относительно положения, в котором пружина не деформирована. Тогда уравнение движения, записываемое в традиционной форме, имеет вид (10.1) а стандартная запись вида (1.2) (Q^+CTiD+CXo)^)^^) получится, если положить v(t)==F{t), ст„=с, OTi=b, cxz- (1.11) т, Рис. 2.2 причем п = 2, т == 0, Ро = 1. В рамках той же модели можно описать и другую ситуацию: пусть сила отсутствует, а входным воздействием является кинема- тическое перемещение основания, которое сразу обозначим v(t). Тогда уравнение движения (1.12) 22 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ переписывается в операторном виде (1.1) (a^+ttJD+ao^O^.D+poMO, (1.13) где кроме ранее введенных обозначений параметров-'введены также р„ = с, р, - 6. П 1.2. Передаточные функции. Наряду с операторной записью диф- ференциального уравнения (1.1) в виде (1.3) будем широко ис- пользовать еще более компактную: (1.14) где H(D) называется операторной передаточной функцией (п. ф.) или оператором звена. Формально Н (D) можно рассматривать как дробно-рациональную функцию от оператора D, отношение двух многочленов от D: (1.15) которые условимся выписывать, не производя возможных сокраще- ний. Запись (1.14) является лишь символической и не дает реше- ния дифференциального уравнения (1.3) относительно выходной переменной y(t}, поскольку не определено, какой смысл имеет де- ление на операторный многочлен cc(D). Выяснить этот смысл помогают правила операционного исчис- ления, основанного на использовании преобразования Лапласа*). Напомним, что преобразованием по Лапласу функции f(t) (ее .^-образом) называется функция F(p} комплексной переменной р, вычисляемая как интеграл (1.16) По заданной F(p} может быть однозначно восстановлена функция f{t), называемая в этом случае оригиналом F(p} (прообразом), если /(<) =0 при t < 0. Использование преобразования Лапласа для изучения диффе- ренциальных уравнений основывается на простом утверждении: 2'{D{(t)}=pЗУ{f(t)}=pF(p}, (1.17) если f(0)=0. Из него сразу следует, что 2'{Dhf(t}}=p^^У{f(t}}=phF(p), k^O, (1.18) 2?{A(T))f(t)}=A(p)2'{f(t}}•^A(p}F(p) (1.19) для любого операторного многочлена степени А-, если равны нулю значения f{t) иее_производных вплоть до (k — 1)-й **}'.—-—-——— *) Далее предполагается, что читатель знаком с операционным исчисле- нием. В противном случае можно получить необходимый минимум сведений из Приложения 1. **) Соответствующие формулы для ненулевых значений более громоздки и даны в Приложении 1. — —— § 1. ОПИСАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ 23 Применяя правило (1.19) к уравнению (1.3), получим a(P}Y(p}-?>(p)V(p), • (1.20) тде Y(p)=^{y(t}}, V(p)^S{v(t)}; лри этом предполагается, что равны нулю у(0), У(О) и начальные значения производных y(t}, u(t) вплоть до (тг—1)-й и (ст—1)-й •соответственно. Подчеркнем, что а.(р), р(р)—обычные, а не опе- раторные многочлены, функции комплексной переменной р. Поэто- му операция деления па oi,(p) имеет обычный смысл, так что Y(P) Р(Р) а.(р) V(P). (1.21) Учитывая определение (1.15), приходим к основной формуле Y(p)=H(p)V(p}. (1.22) Вывод: 3-образы входа и выхода при нулевых ^начальных условиях связаны между собой коэффициентом, зависящим от пе- ременной р. Этот коэффициент называется комплексной переда- точной функцией (п. ф.} преобразования «вход-выход» и нахо- дится заменой оператора дифференцирования D в операторной п. ф. /7(D) на комплексную переменную р. 1.3. Весовые функции. Вторым замечательным свойством преоб- разования Лапласа является следующее утверждение (теорема о свертке): H{p)V(p)=Z {\h{t)v(t-r)dx , (1.23) где функция h(t}, t > 0, является оригиналом п. ф. Н (р}. Если h(t) вычислена, то из (1.22), (1.23) и однозначности восстановления оригинала y(t) по ее .^-образу Y(p} следует t г/(0=|/1(т)у((-т)йт. (1.24) о "Функция h (t) называется весовой функцией преобразования «вход- выход», поскольку с ее помощью взвешиваются значения входной переменной в «прошлом», в моменты t—-c, для того чтобы, сумми- руясь, сформировать значение выхода в текущий момент t. Фор- мула (1.24) дает явное выражение связи входного воздействия с выходной реакцией, которая формально записывалась в виде y(t)=hWv(t}. Иначе говоря, (1.24) расшифровывает смысл умножения функции v(t) на дробно-рациональную функцию Я(0) от оператора диф- ференцирования " D (при принятом выше соглашении о нулевых начальных значениях!). С помощью (1.24) несложно рассчитать реакцию на любое заданное входное воздёйствиёТ 24 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Особо выделим случай, когда вход изменяется от нулевого на- чального значения скачком на 1: ( 0,, f<0, ^4l: 00. ^ Такую разрывную функцию" принято называть функцией единич- ного скачка (функцией Хевисайда) и обозначать 1{t). Таблпца 1.1. Реакция звена на воздействие (1.25) называется его переходной функцией n(f). В силу (1.24) она является интегралом от весовой функции (1.26) § 1. ОПИСАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ 25 так что л (1.27) (1.28) Подведем итоги: звено, описываемое дифференциальным урав- нением oc(D)y(0=p(DM<), может быть также описано путем задания одной из четырех ха- рактеристик: И (В) == '— операторная передаточная функция (п.ф.), Н (р} =•"'- — комплексная п. ф. *), ОЦР) h(t) —весовая функция, л,(<) —переходная функция, любая из которых полностью характеризует функционирование звена как преобразования «вход-выход» при нулевых начальных условиях. о д Рис. 2.3 1.4. Типовые звенья. В табл. 1.1 приведены характеристики для ряда звеньев, которые принято считать типовыми и для которых имеются специальные традиционные наименования. Происхождение наиме- нований ясно из вида весовой функции д явного выражения связи «вход-вы- ход», записанного согласно (1.24) (сло- во «апериодическое» эквивалентно сло- ву «неколебательное»). Нуждается в "комментарии лишь описание простей- дпего звена — идеального усилителя. Во-первых, этот термин используется при любых k, а не" обязательно при А>1, как следовало бы по прямому •смыслу слова «усилитель». Во-вторых, соответствующая весовая функция не является обычной, она именуется дельта-функцией Ди- рака, или короче, б-функцией и относится к классу так называемых обобщенных функций. Строгая теория таких функций сложна, но упрощенно можно представлять б-функцию как предел при Д -*- О прямоугольного импульса (рис. 2.3) шириной Л и высотой 1/А. По- этому ее часто называют еще и идеальным импульсом. Согласно общей формуле (1.24) для идеального усилителя при k= 1 имеем t у(<)=|б(т)у(<-т)</т, f>0. (1.29) *) Зачастую эпитеты «операторная» или «комплексная» в дальнейшем бу- дут опускаться, если из вида формулы ясно, о какой п. ф. идет речь. 26 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С другой стороны, такой «усилитель» просто осуществляет тожде- ственное преобразование входа в выход y(t)=v(t). Следовательно, верна формула t v(t)?=^6(t)v(t-T;}dT:„ (1.Щ о которую можно рассматривать как строгое определение б-функция. Можно запомнить, что ^-функция есть весовая функция тожде- ственного преобразования *). Рис. 2.4 Вычисление остальных весовых и передаточных функций с по- мощью таблицы, данной в Приложении 1, является полезным уп- ражнением. Типичные графики -даны на рис. 2.4, а, б, в. *) Математически нестрогим является рассмотрение исходного уравнения (1.1) без дополнительных оговорок, если v(l) не является m раз дифференци- руемой функцией. Формальных неприятностей можно избежать, если считать, что фигурирующие в (1.1) производные должны пониматься как обобщенны» в смысле теории обобщенных функций (детальное обсуждение этих проблем применительно к рассматриваемым задачам дано в [2.4]), § 2. ОПИСАНИЕ СИСТЕМ 27 § 2. Описание систем 2.1. Структура и структурная схема. Перейдем к описанию си- стем, состоящих из взаимосвязанных зв'епьев. Для единообразия вход каждого г-го звена будем обозначать Vi(t}, выход yi(t} и счи- тать, что для него задано описание в виде дифференциального уравнения a,(D)y,(t)=^(D)v,(t} (2.1) или в виде формального операторного соотношения ~1/.(г)=Я,(В)у,(<), (2.2) где ff iW pi (D) ^W^-cTw Взаимодействие между звеньями будем характеризовать соответ- ствием между их входами и выходами. Вход одного звена может совпадать с выходом другого, например U2(t)=y,{t}, или являться суммой (разностью) выходов нескольких других звеньев, а также внешних для системы в целом входных воздей- ствий, например Vi(t)=y,(t}-y2(t}+y,(t)+vAt), где Vi(t) обозначает внешнее воздействие, приложенное к 4-му звену. В общем случае для г-го звена (2.3) где •y„ — числа, равные 0, если связь входа г-го звена с выходом J-ГО отсутствует, равные 1, если связь положительна, и —1, если она отрицательна. Уравнения звеньев (2.1) и уравнения связей (2.3) дают полное описание системы. Если «плотность» связей не слишком велика (мало число нену- левых fy), то удобно использовать наглядное описание с помощью структурных схем *). На схеме каждое звено изображается прямо- угольником, входное воздействие — стрелкой, направленной в него, выходное—стрелкой, направленной от него (рис. 2.5, я). Внутри прямоугольника ставят либо номер звена (если хотят отобразить только структуру связей), либо соответствующую ему п. ф. (если желательно дать полное описание). Операция суммирования изобра- жается кружком, причем при отрицательной связи около стрелки, изображающей вычитаемое, ставится знак минус (рис. 2.5,6). *) Читатели, знакомые с теорией графов, легко узнают в структурных схе- -мах вариант стандартного языка этой теории. 28 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Если одно и то же воздействие прилагается к разным звеньям, то изображающая его стрелка может разветвляться (рис. 2.5, в). Следует отчётливо сознавать, что любая структурная схема, как бы запутана она" ни была, отражает простейшие алгебраические связи типа (2.3). Рис. 2.6 Пример 2.1. Структурная схема, представленная на рис. 2.6, эквивалентна следующим уравнениям структурных связей: Vi = Уг + у, + Vi, Уг=у,+г/„ у,=у1-г/2. D (2.4) Пример 2.2. Дадим формализованное структурное описание си- стемы, состоящей из усилителя, двигателя постоянного тока с не- зависимым возбуждением и вала нагрузки, связанного с ротором двигателя через редуктор. В традиционном для электромеханики виде система изображена на рис. 2.7. Ее можно рассматривать как Рис. 2.7 состоящую из пяти физических элементов, один из которых имеет «электрическую» природу (усилитель), два — «механическую» (ре- дуктор и вал нагрузки), а один—смешанную «электромеханиче- скую» (двигатель). Впрочем, в нем также можно выделить элект- рическую часть (цепь питания, включающая обмотку ротора и на- зываемая также цепью якоря) и механическую (ротор как враща- ющееся тело). в 2. ОПИСАНИЕ СИСТЕМ Между элементами имеются взаимосвязи: а) выходное напряжение усилителя является напряжением пи- тания двигателя u^{t}, а выходное сопротивление усилителя вклю- чено последовательно с сопротивлением обмотки ротора; б) ток цепи якоря i»(t) вызывает движущий момент Тод(?) электромагнитных сил, приложенных к ротору; в) при вращении ротора в магнитном поле в его обмотке наво- дится электродвижущая сила бс(<) (противо-ЭДС); г) через редуктор передается момент Тодн на вал нагрузки в обратно — момент противодействия Отпв. Запишем первоначально уравнения отдельных элементов, ис- пользуя традиционные физические обозначения и обычную идеа- лизацию. Уравнение усилителя, связывающее входное и выходное на- пряжение: • - "вых=А,и„. (2.5) Уравнение цепи якоря (с учетом индуктивности цепи и проти- во-ЭДС): . L,DiH+7?„i,=u„-ec, (2.6) при этом в На включено выходное сопротивление усилителя. Уравнение движения ротора (без-учета механического сопро- тивления): /дЮюд = тгед - тйпн, (йд == Офд, где (рд — угол поворота ротора двигателя, та водействия. Уравнение вала нагрузки: (2.8> (<Р — УГОЛ поворота вала, <й — его угловая скорость, Тодв — движущий момент на валу). Уравнение редуктора запишем в двух вариантах: а) для абсолютно жесткого редуктора V = — Фд> '"дн = ''Топи, (2.9). где г—коэффициент редукции; б) для редуктора, обладающего конечной жесткостью с*), /I \ 1 ТОп фд—<Р, №пн (2.10> ' JsDw == Отдн — Тов, Dip == со Кроме того, с учетом указанных физических взаимодействий имеем; "Д=",Ы1, (2.11> Сс-с.Юд, (2.12> __________ тд == с„1я, (2.13> *) Жесткость приведена к выходной ступени, (2.7> момент проти- 30 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ где с. См — константы (при постоянном токе в обмотке возбужде- ния, создающей магнитное поле). • Структурная схема, соответствующая соотношениям (2.5)—(2.8) и (2.10)—(2.13), представлена на рис. 2.8, д. rr^м\ Рис. 2.8 Если же принято описание редуктора как абсолютно жесткого, т. е. используются соотношения (2.9) вместо (2.10), то невозможно непосредственное составление структурной схемы. Предварительно из уравнений (2.7)—(2.9) следует исключить неизвестные те„н, тця, записав уравнение движения ротора, редуктора и вала как одного физического элемента — механической системы с одной степенью свободы JnpDu) = ГТПц — ГЛц, D(p == <й, Ф == -,- Фд, (2.14) где Jnp = r^J^ + JU— приведенный момент инерции. Структурная схема, соответствующая (2.5), (2.6), (2.11)—(2.14), показана на рис. 2.8, б. а Существенно отметить, что представленные на структурной схе- ме звенья не обязательно сопоставляются с каким-либо одним фи- зическим элементом: один элемент может быть представлен многи- ми звеньями, а часть звеньев отражает физические взаимодействия между элементами, отличающиеся от структурных связей между звеньями. Структурная схема — это отражение математического описания системы, лишь частично сохраняющее «следыч) исходного разделе- ния на физические элементы. Описание и структурная схема могут быть различными для од- ной и той же системы. 2.2. Соотношения «вход-выход». При изучении систем зачастую представляет интерес только знание связи между внешними входа- ми и выходами звеньев. Эти связи проще всего устанавливаются, § 2. ОПИСАНИЕ СИСТЕМ 31 если от исходных уравнений (2.1), (2.3) перейти к алгебраически» уравнениям, связывающим .З^-образы переменных. При Нулевых начальных условиях получаем: a,(p)Y,(p}=^(p}V,(p), (2.15) Vi(p)-'^wYj(p)+V,(p). (2.16) Это система линейных алгебраических уравнений, с помощью ко- торой можно любую неизвестную Yi(p) выразить через Й'-образы внешних входов V,(p}. Продемонстрируем сначала процедуру исключения на примере. Пример 2.3. Вернемся к системе, описанной в П.2.2, и попыта- емся найти явную зависимость угла поворота вала <р(<) от внешних входов Uax(<), та„(<). Перепишем уравнения в ^-образах (исполь- зуя для них соответствующие «большие» буквы и для простоты опуская аргумент р}. Получаем из (2.6), (2.12), (2.7) (^+Дя)/я=^вх-с^Фд, (2.17) а из (2.7), (2.8), (2.13) ^д^Фд = сЛ - 4- с(— Фд - Ф), J •М«. (2.18) (2.19) Исключая сначала /я с помощью (2.17), приходим к системе двух уравнений относительно Фд, Ф: ^2Ф"" ь,Л я, ^?7BX - ^д1 - 4-с (J-ф» - ф)' (2-20) J,p2Ф^c(-^Ф^-Ф\\-Mn, откуда находим окончательное выражение в виде Ф=Н^(р)и^+Н^(р)М^, (2.21) где введены п. ф. Huv(p}, Hm,c(p) от внешних входов Um, nig к вы- ходу ф. Пропуская выкладки, приведем для них формулы в виде ^ Huw(p) = Р [^i Р W +1) (^ + 1)+ ^ (^ + 1) + ту +1] ' (2.22) „ , , - ^ К^бР2 + \\т,р +1) + Т^р]_____ m ' P[^PW+l)(T,p+^)+^,p(T,p+l)+^p2+^ (2.23) 32 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ где введены обозначения т __ ^Л^Я гр __ ^Н-^Я т __ "Я у2 __ •/Я •'Ml — —————а! 2 М2 — ————2' * Э — "о~» •'О — „ f е ч ^:ecv^r я с fr - ля fc --^L Ь-7^!1 - Г772"* "* ° ~ Г.,* -'ем е ^'2 Если пренебречь нежесткостью кинематической передачи (с -»- °о, То "*- 0), то придем к упрощенным выражениям: Я (^-————k—————— Н (r,\————w-^—. ""ф\р/ - p[T^p(T,p+l)+l] « "mq)w -р[7\,Р(Г,р+1)+1Г (2.24)- где Г„ = Гм, + 7\a. Если, более того, пренебречь самоиндукцией якорной цепи (1>я-»-0), то получим передаточную функцию совсем простого вида k "и я„<р (р) =-р^-пр I{nw{p)==~~p(^p~П)' (2.25) Отметим также, что формуле (2.21) соответствует простая струк- турная схема, представленная на рис. 2.9. D . . В примере мы не переходим от «естественных» обозначений входов и выходов к единообразным. Для более сложных систем это следует сделать, а для исключения неизвестных исполь- зовать стандартные формулы, вытека- ющие из правила Крамера для реше- Рис. 2.9 ния систем алгебраических уравнений. Запишем их в общем виде. Пусть общее число звеньев равно N. Подставив У[ из (2.16) в (2.15), по- лучим систему N уравнений »i (Р) Yt = МР) S УчУ, + Р, (р)Т„ i =1, ... ,N, (2.26) }=i или N ^.,(р)У,=р,(р)У,„ i=l,.,^N, «i (P} — Pi (P) Yii» — Pi (Р) YU* i=J, i^f. где введены обозначения Lti(p) (2.27) (2.28) § 2. ОПИСАНИЕ СИСТЕМ 33 Применяя к (2.27) правило Крамера, находим: TV 2 мi, w p, (P) v^ (P) (2.29) где А(^) — определитель системы *), f^ii (P},. L^(p),,.., Li^(p)\ A(p)=det ............. L (2.30) ^Wl IP), ^N2 (?), . . .,, Lffff (p)l a M„{p')—алгебраическое дополнение у-го элемента i-го столбца. Пусть ^•(rt^r^^yO^Mp); тоода (2.29) запишется в виде (2.31) N (2.32) Функции Hij(p'j естественно называть п. ф. от 7-го внешнего входа к г-му выходу. От (2.32) с использованием теоремы о свертке мож- но перейти к явному соотношению N t У г (t) - S йу (т) v, (t - т) dx, (2.33) ^lo где й„(т)—весовые функции, соответствующие Я„(р)\ Формула (2.33) выражает принцип суперпозиции (наложения): реакция ли- нейной системы по любому выходу является суммой реакций на каждое из внешних воздействий по отдельности. В П.2.3 мы убеди- лись, в частности, что изменение угла поворота вала является сум- мой изменений (реакций), вызванных двумя внешними воздействия^ ми—входным напряжением и моментом нагрузки**). Все п. ф. Нц(р) являются дробно-рациональными функциями, отношениями двух многочленов, причем многочлен в знаменателе А(р) —один и тот же для всех Нц(р). Его принято называть характеристическим многочленом системы. Подчеркнем, что знаменатели являются оди- наковыми и совпадают с А(р), только если при вычислении всех Нц(р) не производилось сокращение, общих сомножителей в числи- теле и знаменателе. В ряде практических случаев представляет интерес только один из выходов или какая-либо одна комбинация выходов (сумма, раз- ность), рассматриваемая как внешний выход системы y(f), Оче- *) Всюду далее предполагается, что А(р) не равен тождественно нулю. **) В качестве упражнения полезно получить формулу (2.21) общим мето- дом. 3 А, А, Первозвансний - 34 ГЛ- 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ видно, что для Й'-образа общего выхода можно записать соотноше- ние вида Y{p}=^H,{p)V,(p}, (2.34) j=l где Н,(р]—п. ф. преобразование от каждого внешнего входа к внешнему выходу. Также очевидно, что все Н,{р} имеют одина- ковый знаменатель, совпадающий с характеристическим многочле- ном, если не произошло сокращение. Обозначим через pi(p) числители Н,{р). Тогда (2.34) перепи- шется в виде: А(^Г(р)-2Р,(р)У,(Р). (2.35) От этого соотношения, связывающего ^-образы, естественно перей- ти к дифференциальному уравнению в операторной форме *) A(D)y(t)=Sp,(D)u,(t). (2.36) Приведем простой, но поучительный пример, демонстрирующий осо- бенности такого перехода от исходного описания к одно- му дифференциальному урав- нению. Пример 2.4. Пусть име- ется система (рис. 2.10), состоящая из двух звеньев, описываемых уравнениями (D+l);/,(t)=(D-l)^(t), (D-l)^(Q=y,(<), (2.37) а связь между ними задана условием v^W^yAt). (2.38) Булем считать u,(f) внешним входом системы, У, - v, a y^t) у aSn.^выходом. Переходя к ^-образам и последовательно исклю- чая «внутренние» переменные, получим Y{p}^Y,(p)=^-^V.(P)==-^l-iY^= ^-'IH^+I)71^ так что Y{p} p+l V{p). Казалось бы, что можно теперь записать и дифференциальной уравнение (D+l)y«)=p(t), (2.39) *) Обоснование дано в [2.5]. § 2. ОПИСАНИЕ СИСТЕМ 85 однако это неверно! В ходе выкладок было произведено сокраще- ние сомножителя (р—1), и знаменатель п. ф. «внешний вход— внешний выход» не совпадает с характеристическим многочленом, который равен A(p}^(p-i)(p+l}. Правильное уравнение, составленное согласно общему правилу (2.36), имеет вид (y-i}y(t}^(B-l}v(t). (2.40) Оно 2-го, а не 1-го порядка, и, как мы далее убедимся, его реше- ние при ненулевых начальных условиях резко отличается от реше- ния уравнения (2.39). О 2.3. Структурные представления. Для системы с одним внешним входом и одним внешним выходом описанная выше процедура мо- жет быть интерпретирована как способ «свертывания» сложной си- стемы в одно звено с эквивалентными свойствами. Интересна'и обратная процедура — переход от описания одного звена в виде a(D)y(f)=p(DMO, (2.41) где cx(D), p(D)—произвольные многочлены степени ге и т соот- ветственно, к эквивалентной системе, состоящей только из простых типовых звеньев. Теорема 2.1. Если выполнено условие строгой реализуемости п > т, (2.42) то звено, описываемое уравнением (2.41), эквивалентно системе, состоящей только из звеньев типа идеальных усилителей и интегра- торов и имеющей внешний вход v и внешний выход у. Доказательство. Перепишем (2.41) в виде anDny+a„-lD"-l^/.+...+(ХоУ=РпО"у+р„_,П"-«у+...+РоУ, (2.43) где Pk == 0 при k = п — m + 1, ..., п, если m < п. Без ограничения общности можно всегда считать «п == 1 (в противном случае на этот коэффициент мож- но предварительно разделить обе части уравнения). Рассмотрим теперь систему я уравнений D;>-[ = a-2 + Ь|Р, Dxs == хз + bfV, (2.44) Dxn-i = з;п+ Ьп-iv, D^n = —«.oXi — СХ|;Г2 — ... — OEn-z^n-l — Otn-lXn + ЬпО и покажем, что если х^, ..., -Гп являются решениями этой системы, то : у == х, + р„р (2.45) совпадает с решением уравнения (2.43), при соответствующем подборе коэффи- З* 36 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ циентов bi, ,.., Ьп и начальных условий. Из (2.44) имеем последовательно: ^ = ^, 1"^„ == Dy - (Ь,У + P„D.), Жз = D^ - hv = Wy - {Ь-tV + b,Dy + PnD'У), (2.46) sen = Da-n-i — bn-iy = ... == D"-'!/- (b„_,v + ... + biD"-2!» + pJD'-'y). Подставив эти значения в последнее уравнение системы (2.46), получим D"i/ — (bn-iD + ... +biD"-1 + p„D") v = -ctoi/ - «iDy — ...- «n_iD»-'i/ + +«oP^+«i(bi+PnD)y+ .,. +ttn-i(b„-,+ ... 4-6iD"-2+p„D'>-i)y. Очевидно, что оно совпадает с выражением (2.43), если коэффициенты bi, ,,., Ьп v Рис. 2.11 удовлетворяют системе уравнений bi an-ibt + Ьз Рп_1 — «n-lPn, Рп-2 — Oin-aPn, (2.47) aibi + ocsbs + ... + ь" = Ро — °'°Р"' § 2. ОПИСАНИЕ СИСТЕМ 87 из которой все они легко вычисляются последовательно. Если начальные зна- чения у, и и их производных нулевые, то в силу (2.46) и начальные значения переменных х\, ..., Хп также нулевые. В противном случае они могут быть вычислены по явным формулам (2.46). Таким образом, доказана возможность рассматривать вместо исходного описания звена эквивалентное ему описание (2.44), (2.45). Однако последнее может быть представлено в виде Од» k=l, ,,„ re, •• Vh, (2.48) где новые переменные ил подчиняются условиям Vh = Xh+i + bkV, k = 1, ,,., re—1, Vn = —Ko-i-i — ... — «n-13-n + bn", (2.49) У = 3:1 + РпУ. Теперь уравнение (2.43) можно трактовать как уравнения п одинаковых иде- альных интегрирующих звеньев с входами Vh и выходами Xh, а (2.49) — как уравнения связей, частично осуществляемых через идеальные усилители. Та- ким образом, доказательство завершено. Структурная схема системы представ- лена на рис. 2.11,в, где использованы коэффициенты &i, .,,, Ъу, вычисляемые по уравениям (2.47). • Подчеркнем также, что это представление не единственно воз- можное. В частности, на рис. 2.11, б представлена структурная схе- ма, состоящая только из интеграторов и усилителей, которая также эквивалентна исходному описанию (2.41). Проверка этого утверж- дения может быть полез- ным упражнением по ме- /г» тоду исключения. °u-i 2.4. Электронная модель ,_ "(аналоговый интегратор). иг Рассмотрим блок, состоя- щий из электронного уси- лителя, резисторов и кон- денсаторов, электрическая схема которого представ- лена на рис. 2.12. Выяс- рис- 2.12 ним связь между напря- жениями Ui, щ, ..., и,п и напряжением и, на выходе усилителя. Для этого составим уравнения цепей в силу законов Кирхгофа — Ома. В операторной записи они имеют вид: д- (^ — Ыв) = ih, A=l,...,re, ^ + СцТ^ (и - у„) = <o, is==io+ii+ ... +<„ (2.50) где через Дв обозначено входное сопротивление усилителя. Кроме того, примем, что u=-J{yU„ (2.51I где kf — коэффициент усиления усилителя, Ау > 0. 38 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ После исключения «внутренних» переменных to, . •., in, и-, по- лучим ^+^+^(i^-+^+^+^D)]^-2^^ (2.52) Предположим далее, что коэффициент k, очень велик и можно пренебречь*) слагаемыми порядка ky~1. Тогда (2.52) переписывает- ся в простом виде:- п J-+C,.D^u=-'S^-^. (2.53) Таким образом, данный электронный блок может быть рассмотрен как система, преобразующая входы Ui, и^, ..., и„ в выход и согласно уравнению (2.53). Выделим частные случаи этого преобразования. в ? Рис. 2.13 а. Пусть 71=1 (один вход), Со=0, R^ = До (рис. 2.13, а). Тогда и = —Ui (операция инвертирования, изменения знака). б. Пусть С„=0, Д|.=До, &=1, ..., га (рис. 2.13,6). Тогда п и = — 2_ "ft (суммирование с инвертированием). в. Пусть п = 1, Со = 0, fii ^ Д» (рис. 2.13, в). Тогда ы = - k^, kt - ЛоЛГ1 > О (умножение на постоянный коэффициент и инвертирование). •) Обоснование такого пренебрежения дается ниже (§ 5 и гл. 3). § 2. ОПИСАНИЕ СИСТЕМ 39 г. Пусть п = 1, By 1 и == •О (рис. 2.13,г). Тогда ~~ гБ"1' ^ == ^o^i- (операция интегрирования с умножением и инвертированием). Таким образом, если имеются усилители с очень большим коэф- фициентом усиления, называемые операционными, то можно соз- дать блоки, производящие ряд простых типовых операций*). Вспомнив теперь Т.2.1, приходим к важному практическому выво- ду: любому звену со строго реализуемой п. ф. можно сопоставить устройство, состоящее из описанных выше блоков, у которого вход- ное напряжение связано с выходным так же, как связаны между собой вход и выход звена. Это устройство называют электронной моделью или электронным аналоговым интегратором**). Суще- ственно, что структурным схемам, представленным на рис. 2.11, а, б, можно непосредственно сопоставить схему электрических соедине- ний блоков. В частности, блок-схема электронной модели, соответ- ствующая структурной схеме (рис. 2.11, б), представлена на рис. 2.14. При этом принято п = 3 и предполагается, что йо, K), Ста, Рис. 2.14 Pi, pa положительны, Рз '= О, а величины До, Со (в соответствующих единицах измерения) равны единице. В модели используется всего «+2=5 усилителей, причем три входят в блоки, выполняющие одновременно функции сумматоров и интеграторов, а два — в бло- ки-инверторы. *) Операционные усилители с ky = 105 — 10е выпускаются промышленно- стью серийно. • **) Электронная модель является основной частью (процессором) аналого- вых вычислительных машин (АВМ). Более детальные сведения об электрон- ном моделировании даны, например, в [2.2]. 40 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В заключение сделаем два замечания. Замечание 1. Электронные модели могут использоваться для исследовательских целей, в частности, для анализа процессов, про- исходящих в системах автоматического управления. При этом (а) собирается из стандартных блоков схема, соответствующая имею- щемуся математическому описанию САУ *), (б) от внешних источ- ников (генераторов) вводятся электрические сигналы, пропорцио- нальные внешним возденствиям, (в) производится запись (осцилло- графирование) выходных напряжений, пропорциональных изучае- мым процессам. С другой стороны, электронные модели можно применять и в качестве блоков преобразования информации в са- мих САУ. При этом на входы подаются сигналы от датчиков ин- формации, а с выходов снимаются управляющие сигналы. Тем самым имеется способ технической реализации любых законов уп- равления, для которых связь информационных и управляющих сигналов определена с помощью линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Это будет учитываться в следующей главе, где мы изучим возможности законов управле- ния этого типа. Замечание 2. В соответствии с Т.2.1 класс звеньев, которые могут моделироваться с помощью описанных выше устройств, огра- ничен формальным условием строгой реализуемости (степень чис- лителя .п. ф. не превосходит степени знаменателя). Это обстоятель- ство оправдывает введенный термин. § 3. Устойчивость 3.1. Устойчивость звена по входу. Наличие описания свойств звеньев и систем с помощью дифференциальных уравнений позво- ляет сделать ряд качественных выводов об особенностях их по- ведения. Наиболее важной характеристикой является свойство устой- чивости. Определение 1. Звено называется устойчивым по входу (осуществляющим устойчивое преобразование «вход-выход»), если при любом ограниченном входном воздействии v(t} и нулевых на- чальных условиях выходная реакция y{t} является ограниченной при любом конечном t ^ 0 и при t ->- °°, и называется неустойчивым по входу в противном случае. Об устойчивости по входу можно судить по свойствам весовой функции h(t). Теорема 3.1. Для того чтобы звено, описываемое уравнением (3.1)' *) При моделировании сложных систем можно пользоваться исходным описанием (2.1), (2.3), объединяя модели звеньев с помощью блоков, соответ» ствующих уравнениям связей, 8 з. УСТОЙЧИВОСТЬ 41 было устойчивым по входу, необходимо и достаточно выполнение условия (3.2) Доказательство. Согласно основной формуле (1.24) имеем i y(<)-Jh(t)i;(f-T)dT, t>0. о Пусть v(t) —произвольная ограниченная функция, т. е. такая, что |v(t)| а$с„< со, t^O, где Cv — некоторая константа. Тогда t t 1 У {t) 1 < J I h (t) 11 v (t - т) | dr < c„ J | h (т) | dT < (3.3) (3.4), <^JlA(T)|dT, г>0. (3.5) Отсюда следует достаточность условия (3.2) для ограниченности выхода ;/(<). Для доказательства необходимости покажем, что найдется такая ограничен- ная функция v(t), что при нарушении (3.2) \y(t)\ может стать сколь угодно большим числом. Примем v(t) такой, что ^-^{S: sign k (т), УТ, <3-6) где Т — большое положительйое число, а символ sign, читаемый «знак», вве- ден для обозначения функции, удовлетворяющей тождеству х sign x == \х\. При воздействии (3.6) имеем т т | у (Т) | = с„ J' h (т) sign h (т) йт = с„ J | h (т) ] dx. (3.7) о о Если условие (3.2) нарушено, то правая часть (3.7), а следовательно и \у (Г)|, при достаточно большом Т может оказаться больше любого наперед заданно- го числа. • Если пользоваться Т.3.1 непосредственно, то для проверки ус- тойчивости придется вычислять весовую функцию, а затем прове- рять выполнение условия (3.2). Оказывается, что имеется прекрасная возможность обойти обе эти операции. Теорема 3.2. 'Для выполнения условия (3.2)' необходимо и до- статочно, чтобы передаточная функция n/^^MpL Н{р) а{р) была ограничена по модулю при любых значениях комплексной пе- ременной р о неотрицательной вещественной частью. 42 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Доказательство. Необходимость вытекает из определения весовой функции как оригинала для Н(р), т. е. II (р) - J h (t} e-^dt, (3.8) и оценки 00 \dt=^e- о I H (р) 1 < J | e-P' 11 ft (t) ] dt = J e-^P' | ft (<) | rff < J ) h (t) 1 dt. (3.9) При этом использовано свойство экспоненциальной функции |е-р'( „ |е-№р+<1"р>'| =e-Rept^i, Rep^O, t ^ 0, (3.10) при стандартных обозначениях вещественной (Rep) и мнимой (Imp) части комплексного числа. Доказательство достаточности требует более детального анализа свойств я(р) как дробно-рациональной функции и выяснения общего вида функции h(t). Обозначим ^v, v = 1, ..., п, корпи многочлена а(р). Для простоты пред- положим, что все они различны. Тогда хорошо известно (см., например [2 71) что функция Н(р} представима в виде • L • J/» п Х^ ^ с^ = coast, (3,11) v=l где р(р) ЕЗ 0, если п > т, в противном случае ^(р) — многочлен степени т—п (частное от деления р(р) на «(/»)). Ограниченность ff(p) при Rep>0 эквивалентна требованию, чтобы' а) P(p)==const, т. е. степень ^(р) была не выше степени а(р): б) Re».v < 0. Но тогда (см. таблицу й'-образов в Приложении 1) h (t) = р-б (<) + ^ с^ (3.12) l'|ft(T)|dT<|p| Гб(т)йт+ V jclf^^^ " " v=l • •J так что ^l-M+ilsKRe^-^^^-l). n s v=l v=l C|fc(T)|dT<|p|+ ^ (Кед^-Чс^оо. '' Vs-1 (3.13) В случае, когда имеются кратные полюсы, результат сохраняет силу, хотя выкладки и более, громоздки. • § з. УСТОЙЧИВОСТЬ 43 Как следствие Т.3.2 можно сформулировать простой окончатель- ный результат. Критерий устойчивости по входу. Устойчивость по входу имеет место, если выполнены два условия: а) степень многочлена а(р} в знаменателе п. ф. Н(р} не меньше степени многочлена р(р) в ее числителе (условие строгой реализуемости передаточной функции); б) многочлен а,(р} (характеристический многочлен звена) не имеет других корней, кроме корней с отрицательными веществен- ными частями (условие устойчивости характеристического многочлена). В качестве приложения посмотрим, являются ли устойчивыми типовые звенья, описанные в табл. 1.1. Условие строгой реализуе- мости выполнено во всех случаях. Остается проверить корни к(р). 1. Идеальный усилитель: а(р)= 1, и корней нет. 2. Интегратор: (х(р)=р, и один вещественный корень Ki == 0. 3. Апериодическое звено: <л(р)=ТрЛ~ 1, и один вещественный корень л, = -Т-1 < 0 при Т > 0. 4. Колебательное звено: а(р)== T2p'i+2t,Tp+1, и имеются два комплексно-сопряженных корня ^ч.з = T~l(—t,± гУ1 — S2), причем вещественная часть отрицательна (1 > t, > О, Т > 0). Таким образом, все эти звенья являются устойчивыми по вхо- ду за исключением интегратора. Последнее ясно и из вида его переходной функции, которая неограниченно растет, хотя является реакцией на ограниченное воздействие i(t). 3.2. Алгебраические критерии устойчивости. Акцентируем теперь то обстоятельство, что проверка условия устойчивости характери- стического многочлена не требует вычисления всех его корней, а лишь выяснения того, расположены ли они только в левой полу- плоскости комплексной переменной р. Нельзя ли установить этот факт, не находя корни? Ответ на этот вопрос положительный: еще с прошлого века из- вестно много эффективных методов проверки устойчивости много- членов*). Прежде всего установим простое необходимое условие: Теорема 3.3 (критерий Стодолы). Если многочлен к(/?) с Кп>0 устойчив, то все его коэффициенты положительны. Доказательство. Используем разложение многочлена «(р) на про- стейшие вещественные двучлены и трехчлены. Каждому вещественному кор- ню Ам соответствует двучлен р — Av, каждой паре комплексносопряженных корней 6v ±''(v—трехчлен (р—б^)2^-?^- Если все Ху < 0, 6у < 0, то ко- *) Алгебраическая проблема проверки условий устойчивости многочленов была впервые поставлена Максвеллом и привлекла внимание многих крупных математиков. Детальное и простое изложение этой проблемы содержится в книге [2.6]. 44 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ эффициенты во всех двучленах и трехчленах положительны, а следовательно, положительны и коэффициенты в многочлене к(р), являющемся их произве- дением. • Пример ЗЛ. Многочлен o!,(p')=p'^+2pз+p+i заведомо неустойчив, поскольку коэффициент кц при р2 равен нулю. D . Выполнение условия Стодолы, к сожалению, не гарантирует устойчивости многочлена при любом п, хотя нетрудно проверить, что оно достаточно при п == 1 и п == 2. При больших ге приходится использовать более сложные процедуры. По-видимому, наиболее удобен для применения вычислительной техники рекуррентный ал- горитм Рауса. Приведем его описание в готовой форме (доказатель- ство см., например, в [2.1, 2.6]) *). Процесс сводится к последова- тельному пересчету коэффициентов многочлена, и для его описа- ния удобно пользоваться символом алгола «:=», означающим «по- ложить равным». Алгоритм Рауса. Пусть заданы положительные коэффициенты ttoi Я1) • • ., ttn-l, Яп. : 1 ДО ] = П— 1 **), ,-1 Тогда, начиная с / 1) р,: = (X,-iCTJ" 2) Если pj^O, то многочлен неустойчив. 3) Если p^ > 0, то перейти к следующему шагу и, о k ° 1, OCzk+j-t S'"' Oizt+J-l'~ PjiXth-H, <X;!==0, I > П. Если все pj?* О, 7' == I» »«ч га—1, то многочлен устойчив. Пример 3.2. Пусть исследуемый многочлен имеет вид а(р) = ?•• + 5^ + 9р3 + Юр2 +6р+2. Тогда таблица вычислений по итерациям имеет вид***): 1/3 6/7 7/5 49/15 (3.14) начиная (3.15): Следовательно, многочлен устойчив. D *) В [2.1, 2.6] принята обратная нумерация коэффициентов многочлена (коэффициент при старшей степени обозначается «о) и т. д. **) Здесь / — номер шага алгоритма. ***) В начальном столбце выписаны исходные значения коэффициентов, в дальнейшем—значения, вычисленные согласио (3.15). § з. УСТОЙЧИВОСТЬ 45 Для многочленов 3-й и 4-й степени алгоритм Рауса нетрудно реализовать и в «буквенной форме». Из приводимых таблиц для п •== 3 и для п == 4 вытекает, что кроме положительности коэффициентов для устойчи- вости многочленов требуется выполнение условий: ге==3: aiCt2>KoOi3, (3.16) П == 4: О^О^ОСз > КцСХз — CXiO^. (3.17) Условия (3.16), (3.17) являются частными случаями ограниче- ний, налагаемых на коэффициенты характеристического многочлена для обеспечения его устойчивости, которые обычно именуют усло- виями Рауса — Гурвица (общий вид условий приведен в Прило- жении 2, п. 6). 3.3. Устойчивость по начальным условиям. Основная формула (3.3) была выведена в § 1 в результате решения дифференциаль- ного уравнения при нулевых начальных условиях. При произвольных начальных условиях вид решения изменяется. Из теории дифференциальных уравнений известно, что его можно 46 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ записать как сумму решения г/о(<) однородного уравнения a(D)y=0 (3.18) и любого частного решения неоднородного уравнения K(D)y=P(D)y. (3.19) Решение y»(t} представимо в виде*): . 'VI Ayf VoW = 2j с^е , v=l (3.20) где Kv—корни характеристического многочлена а.(р), a Cv—либо константы (если все корни различны), либо многочлены от t, име- ющие степень ниже кратности корня. Если в качестве частного ре- шения взять решение, соответствующее нулевым начальным усло- виям, т. е. решение (3.3), то общее решение (3.19) приобретает вид t У (t) = г/о (0 + f h (т) v (t - т) dr. (3.21) о Таким образом, наличие ненулевых начальных условий приво- дит к появлению фактора, искажающего характер связи (3.3) меж- ду входом и выходом. Определение 2. Звено называется устойчивом по началь- ным условиям**}, если вызываемый ими эффект y„{t} исчезает при t-^ °°. Из формулы (3.20) сразу вытекает следующий результат. Критерий устойчивости но начальным условиям -.устойчивость по-начальным условиям имеет место, если характеристический многочлен не имеет других корней, кроме корней с отрицатель- ной вещественной частью, т. е. а(р} является устойчивым. Действительно, в этом случае любое слагаемое в (3.20) убывает со временем, поскольку убывающий экспоненциальный множитель «подавляет» возможный рост любого многочлена от t. Приведенный критерий устойчивости по начальным условиям совпадает с условием (б) устойчивости но входу, так что при выпол- нении обоих условий (а) и (б) можно употреблять более краткий термин—устойчивое звено. Соответствующую п. ф. Я(р) также на- зывают устойчивой п. ф. 3.4. Устойчивость системы. В соответствии с принципом супер- позиции (§ 2) реакция по любому выходу системы равна сумме реакций на каждое из -внешних воздействий. В соответствии с этим естественно считать, что система осуществляет устойчивое преобра- *) С выводом можно познакомиться и по Приложению 1. **) О связи этого определения с более общим понятием асимптотической устойчивости равновесного состояния по Ляпунову см. в гл. 8. § 4. УСТАНОВИВШАЯСЯ РЕАКЦИЯ И ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА 47 зование «вход-выход», если устойчивы преобразования от каждого внешнего входа к каждому внешнему выходу. Из Т.2.2 и принципа суперпозиции сразу следует, что это свойство имеет место, если а) строго реализуемы все соответствующие п. ф., б) характеристический многочлен системы А(р) устойчив. Перейдем к анализу влияния начальных условий. По аналогии со случаем одного звена следует считать систему устойчивой по начальным условиям, если при любых начальных условиях и от- сутствии внешних воздействий процессы Vk(t} на всех выходах стремятся к нулю при t->-o°. Однако при отсутствии воздействий для всех выходов справедливы одинаковые однородные уравнения Д (0)^(^=0. Отсюда сразу следует, что система устойчива по начальным усло- виям, если устойчив ее характеристический многочлен. В силу ска- ванного при выполнении указанных выше условий (а), (б) система .устойчива в смысле обоих определений. § 4. Установившаяся реакция и частотная характеристика 4.1. Вычисление выходной реакции. Если входное воздействие v{t} является известной функцией времени, то выходная реакция звена, определяемая уравнением (4.1) при нулевых начальных условиях может быть вычислена любым из следующих способов: а) путем численного интегрирования уравнения по известным алгоритмам вычислительной математики с использованием циф- ровой ЭВМ; б) с использованием АВМ (интегратора); в) с помощью операционного исчисления, когда первоначально находится S^-образ входа V(p), а затем вычисляется оригинал ^-образа выхода У(р), равного Y(p)=H(p}V(p}, (4.2) W Н{Р) (4.3) Р(р) . а(р)' г) с использованием того же операционного исчисления, но по формуле y(t) ^^h(f)v[t—T;)d-c, (4.4) причем предварительно находится весовая функция h(t} как ори- 48 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ гинал п. ф. Н(р), поскольку 00 Н (р) = J h (t) e-^dt. (4.5) о Все эти способы достаточно трудоемки, причем численное инте- грирование малоэффективно при больших t из-за накопления ошибок *). Однако для некоторых видов воздействий, т. е. некоторых функ- ций v(t), удается указать очень простые способы вычислений вы- ходной реакции именно при больших t. Определение. Назовем установившейся реакцией на задан- ное воздействие v(t), t ^ 0, такую функцию y^(t), что limlyoo (f)-^)|=0, (4.6) i—>oo где y{fj—решение (4.1) при нулевых начальных условиях для любого t > 0. 4.2. Установившаяся реакция на гармоническое воздействие. Пусть воздействие является гармонической функцией времени, т. е. v (f) = а„ cos cof, t>0, (4.7): где я„ — амплитуда, ю — частота воздействия. Теорема 4.1. Если звено является устойчивым, то установив- шаяся реакция на гармоническое воздействие является гармониче- ской функцией той же частоты с амплитудой йу== |Я(г'со) 1а„ и относительным сдвигом фазы •>i)=argZf(t(o). (4.8)] • (4.9)' Доказательство. Найдем спачала реакцию на комплекснозначную функцию v(t) == a^e"-", t>0, (4.10) называемую комплексной гармоникой. Согласно (4.3) имеем t t у (t) = a„ f h (т) ('"•X'-^dT = а^"0' С h (т) е-""1^. о о Если выполнено условие устойчивости 00 J 1 h (т) 1 dx < oo, *) Аналоговым интеграторам также свойственно накопление ошибок из-за так называемого дрейфа нуля усилителей (подробнее см., например в [2.2]). 4. УСТАНОВИВШАЯСЯ РЕАКЦИЯ И ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА 4i> то существует предел t со lim f h (т) e-^df = f А (т) e-^dx = Н (Ш), (4.«) t-»oo •J -I О О причем последнее следует из (4.4). Теперь очевидно, что функция y„(t) ^= H^a^t == E(iw)v(t) (4.12) удовлетворяет условию (4.5) и является установившейся реакцией на комп- лексную гармонику (4.10). Выделим в v(t) и у оо (О вещественную и мнимую частщ v(t) == вц cos (ot + ia„ sin wt, y»(t) ==|ff(ico)|a„cos (d)t+^) + i\H(i(u)\a^sm (mt + ij)). В силу линейности преобразования (4.3) реакция иа вещественную часть воздействия, avcoswt, и мнимую. e„sin(ot, является суммой реакций на каж- дую иа них в отдельности. Отсюда вытекает результат, даваемый формулами (4.7) — (4.9), а также его «дубль»; установившаяся реакция на воздействие v(t) = a„sin(ot (4.13) равна у„(0 == |.&(iu))]e„sin((ot+il3), (4.14) и вообще, если v(t) ==a,,cos ((ot+ ф), (4.15) где ф — произвольная фаза гармонического воздействия, то !/oo(Q = |.ff(i(o)]a„cos (ю<+ф+ф). • (4.16) Для демонстрации эффективности приема, содержащегося в Т.4.1, приведем иллюстративный пример. Пример 4.1. Пусть 2р+1 р3 + 2р2 + р + 1 ' a z;(Q==acos2f. Условия устойчивости выполнены (проверьте с помощью нера- венства Гурвица!), поэтому можно применять формулы (4.7)—(4.9). Имеем а, == 3, ю = 2, а следовательно, ^ w = i-^'y+U+n 3 cos ^ +^=wcos (2t + ^ где •ф = arg „^'t4^ = я + arctg JJ. a Из теоремы 4.1 ясна особая роль комплекснозначной функции Я(го)), называемой комплексной частотной характеристикой. Значе- ния этой функции находятся при любом вещественном со как зна- чения п. ф. Н{р) при чисто мнимом p^isi: H(w}=H(p)\p^. (4.17) Эта функция вводится не только для устойчивых п. ф., но и для любых, причем, если знаменатель Н(р) имеет корни на мнимой оси ^v==!p,, то Я(гсо) может обращаться в бесконечность при значе- ниях (О == PV. 4 А, А, ПервозванскиИ 50 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ При фиксированном со функция Я (ко) является комплексным числом, изображаемым точкой на комплексной плоскости. Кривую, являющуюся геометрическим местом этих точек, соответствующих значениям со .от 0 до °°, называют годографом частотной характери- стики (или амплитудно-фазовой характеристикой}. Поскольку вся- кое комплексное число можно задать двумя вещественными (моду- лем и аргументом или вещественной и мнимой частью), то комп- лексной частотной характеристике можно сопоставить либо пару функций Л(ю)°1Я(1ю)1, 1)}((й)=аг§Я(ка), 0 а5 и < оо, (4.18)' называемых амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) и фазо- частотной характеристикой (ФЧХ), либо пару функций Л(со)=КеЯ(ко), /(о))"1тЯ(г(о), (4.19)' называемых вещественной и мнимой частотными характеристиками (ВЧХиМЧХ). Если известны АЧХ и ФЧХ, то согласно Т.4.1 для определения амплитуды и фазы установившейся реакции на гармоническое воз- действие можно воспользоваться следующим приемом. Правило 1. Амплитуда реакции равна амплитуде воздействия, умноженной на значения АЧХ на частоте воздействия. Сдвиг по фазе реакции относительно воздействия равен значению ФЧХ на частоте воздействия. Другие возможности использования частотных характеристик раскроются в дальнейшем. Здесь же будет рассмотрена еще одна задача об оценке установившейся реакции. 4.3. Установившаяся реакция на полиномиальное воздействие. Назовем полиномиальным воздействие, -представимое при t > О в виде многочлена (полинома) от t: y(f)=u„+a^+...+a^, t>0. (4.20)' Теорема 4.2. Установившаяся реакция устойчивого звена на по- линомиальное воздействие (4.20) также является полиномиальной функцией (многочленом}, представимой в виде у» (0 = c,v(t}+ cftv(t) +...+ с^и(1), (4.21) еде Ch I ^Н(р) » dp" /С=0, 1, р=о (4.22) у (О До казательство аналогично доказательству Т.4.1. Согласно (4.3) получаем ( t •^ Г h (т) v (t - т) dx = Jft (т) ^ Ь^! D^ (t) d-c = ^ ^ (^—^"D'^O, о о h=0 h=s (4.23) g 4. УСТАНОВИВШАЯСЯ РЕАКЦИЯ И Ч'АСТ@ТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА 5t где (4.24) причем использовано разложение функции v(t—т) в ряд Тейлора по степе- ням т и учтено, что этот ряд имеет конечное число слагаемых, поскольку и(1}— многочлен. С помощью (3.12) можно убедиться в существовании для устойчивой ве- совой функции пределов |Хд = lim ^ (t) = f ^h (т) йт, <-»оо ^ О (4.25) обычно называемых моментами весовой функции. Отсюда сразу следует, что л' . ^ У оо (<) = ]S ^ {——^- Dhv (t}- ^-щ ft=0 Это выражение совпадает с (4.21), (4.22), поскольку , . 00 00 ^ ^ = Jh (T) -7-(e-yT) i.=o ^ = (- ^ J ^ w ^ ^ = (- ^ ^ в о а Выделим особо два простых частных случая Т.4.2. Правило 2. Если воздействие является постоянным при t>0*}, y(<)=a„, t>Q, (4.27) то установившаяся реакция устойчивого звена также постоянна и равна у„(0=Я(0)яо. (4.28) Она совпадает с воздействием, если Я(0)=1. (4.29) Правило 3. Если воздействие изменяется с постоянной скоростью v(t}^aa+a,t, t>0, (4.30) то установившаяся реакция устойчивого звена также меняется с постоянной скоростью у^ (t} = Н (р) |^о ("о + ^t) + ^ |^ а,. (4.31) Если выполнено условие (4.29), то г/оо(<)— v(t}= const. Приведем иллюстративный пример. *) Поскольку все предшествующие результаты получены в предположении пулевых начальных значений, то (4.27) означает, что u(t)—скачок на вели- чину ао. 4* 52 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Пример 4.2. Пусть Н(р) такая же, как в п. 4.1, a y(f)=4+2f. Тоща, учитывая, что ^(o)-i, ^L°i> получаем dp |p=o ' y«(f)=6+2^u(f)+2. a Простота правил вычисления установившейся реакции на типо- вые (гармонические и полиномиальные) воздействия определяет их широкое использование при исследовании систем управления, в чем мы также убедимся в дальнейшем. 4.4. Реакция системы на внешние воздействия. Все сказанное относилось к изучению реакции одиночного звена на его входное воздействие. Однако, в силу принципа суперпозиции, реакция лю- бого выхода Vh(t] на совокупность любых внешних входных воз- действий Vi(t} является суммой реакций на каждое из них. По- этому все приведенные выше правила применимы и к анализу си- стемы. Следует лишь сначала использовать в них п. ф. Я,»(р) от каждого входа к изучаемому выходу для изучения реакции на каж- дый вход по отдельности, а затем просуммировать результаты. Если же система имеет только один внешний вход и только один внеш- ний выход, то все правила применимы непосредственно. § 5. Анализ типовых структур Среди возможных структур связи между звеньями особо часто возникают некоторые простые структуры, которые будем называть типовыми. Все системы с типовой структурой имеют один внешний вход v и один внешних выход у, так что преобразование «вход-вы- ход» может быть охарактеризовано одной п. ф. Н(р]. Для каждой структуры 'дадим ответ на следующие три вопроса: (а) как найти п. ф. системы Н(р), (б) как найти частотную характеристику си- стемы Я(кй), (в) как построить характеристический многочлен системы а(р} и как можно судить об устойчивости системы по свойствам п. ф. или частотных характеристик звеньев. Для простоты записи ограничимся системами, состоящими из двух звеньев, описываемых уравнениями (5.1,) хотя результаты легко обобщаются на случай большего числа звень- ев. После преобразования по Лапласу (при нулевых начальных ус- ловиях) уравнения (5.1) дают (5.2); g 5. АНАЛИЗ ТИПОВЫХ СТРУКТУР 53 или ,(р) 1,2, УЬ (р) = Я„ (р) Fft (р). Я„ (р) = ^, где Hk(p) —п. ф. звеньев. По определению (см. § 4), формулы •I, 2, Л.(со)- 1Я,,(ио)1, ^((й^а^Я^й), Я»(<в)= КеЯ»(ко), /),((а)= 1тЯ,,(1со), k дают выражения для АЧХ, ФЧХ, ВЧХ, МЧХ каждого из звеньев. 5.1. Последовательное и параллельное соединения звеньев. Структурная схема системы, называемой последовательным соеди- нением звеньев, приведена на рис. v-v, 1——| у_ц |——| 2.15. В силу связи имеем ~"——*" 1 .^—1" ^».j 2 t w,^^. ^(^"^(Р)'! Рис. 2.15 так что уравнения (5.2) переписываются в виде ^(P}YAP)-^(P)Y,(P), —^(p)Y,(p}+a,(p]Y,(p)^0. Характеристический многочлен системы равен f «i(^) 0 ) A(p)=det[_p^ ^}=o^)a,(p). (5.3) Для нахождения п. ф. системы выразим У(р) через V (/?)'. Имеем 'У(р)-^(р)-Н.(р)У,(р)=Н,(р}7,(р}=Н,(р}Н,(р)У^р)= -=Н,(р)Н,(р)У(р), так что ДО,)-Я,(,)Я,(Й-^^. (5.4) Свойства частотной характеристики следуют из формул Я (гсо) ^ А (со) ('i4r(u)) - Н^ (ш) Н^ (;-со) = А, (со) е^^Л, (со) е14^-» ^ = А, (со) А, (со) e4^(">+^(")], откуда Л((й)-Л,(со)Л2(со), V (со) =4^ (со)-^ (со)'. <5.5) Приведенные формулы позволяют сделать следующий общий вывод. Вывод 1. Для последовательного соединения (а) п. ф. систе- мы равна произведению п. ф. звеньев, (б) А ЧХ системы равна произведению АЧХ звеньев, (в) ФЧХ системы равна сумме ФЧХ звеньев. Соединение устойчиво, если устойчивы звенья. Допустимо также, чтобы п. ф. одного из звеньев не была строго реализуемой, лишь бы строго реализумой была п. ф. соеди- нения. В противном случае система неустойчива, 54 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Последнее утверждение прямо следует из условий устойчивости (§3) и того простого факта, что корни <х,(р) являются корнями либо cti(p), либо а,2(р)- Рассмотрим далее систему, называемую параллельным соедине- нием звеньев, структурная схема которой дана на рис. 2.16. Со- гласно схеме имеем: v = У, = у;, у = г/i + иг. Уравнения звеньев переписываются в виде ^(р}У,(р)=?>,(р}Пр), аг(р)Уг{р}-МР}У{р), откуда Рис. 2.16 &(p)==oc.t(p)o!.i(p). Поскольку У (р) = У. {р) + Уг (р) == [Я, (р} + Ih (р) ] V (р), то a^(p)^{p}+<x^(p}f,^(p) «, {р)«, (р} Н{р)=Н,{р)+Н,(р)= Кроме того, ff(tu))=7/i(t(o)+//2(i(o)=7?i(u))+i/,((u)+^((o)+^((o)=3 =[Д,(й))+Д,((о)]+;[/.(й))+/,((о)], так что Д(м)=Д,((о)4-Д,(й1), /((й)=Л(ю)+^(й). (5.7) Можно зафиксировать итоги анализа. Вывод 2. Для параллельного соединения (а) га. ф. равна сум- ме п. ф. звеньев, (б) ВЧХ {и МЧХ) равны суммам ВЧХ {и МЧХ) звеньев. Соединение устойчиво, если и только если устойчивы звенья. , Приведенные результаты элементарны, но полезны при изуче- нии сложных систем, поскольку позволяют «свернуть» группу по- следовательно или параллельно связанных звеньев в одно с легко определяемыми характеристиками. При использовании этих резуль- татов возможны, однако, грубые ошибки. Предупреждение 1. Термины «последовательное» и «па- раллельное» соединения, а также операторное описание характе- ристик элементов широко используются в теории электрических и механических цепей. Однако там они имеют другой смысл*). Контрпример. Рассмотрим электрическую цепь из трех после- довательно (в смысле теории цепей) соединенных элементов — активного, индуктивного и емкостного. Связь входного воздействия *) С точки арения общей теории графов различие заключается в том, что геория цепей использует неориентированные графы, а теория управления — ориентированные. (5.6) § 5. АНАЛИЗ ТИПОВЫХ СТРУКТУР 55 (напряжения) с выходом (током) дается уравнением u(t)^Ri(t}+L^- +-^.\idt или, в операторной записи, u(t)=(n+LD+^)t П. ф. соединения, называемая операторным сопротивлением цепи, равна H(D)=R+LD+^ и является не произведением, а суммой операторных сопротив- лений Я, LD, ^ последовательно соединенных элементов. D Здесь нет противоречия с Правилом 1, поскольку в нем термин «последовательное соединение» использован в другом смысле. Рассмотрим также систему, блок-схема которой дана на рис. 2.7. С физической точки зрения она представляет собой последователь- ное соединение усилителя, двигателя, редуктора и вала. Однако составленные согласно правилам теории управления структурные схемы (рис. 2.8) отнюдь не являются схемами последовательного соединения. Рассматривая физическую «последовательную» схему, всегда следует помнить о возможном обратном воздействии одного элемента на воздействие от другого, что не предусмотрено фор- мальным определением последовательной связи между звеньями, характеризуемыми однонаправленным преобразованием «вход- выход». Предупреждение 2. При вычислении п. ф. системы по формулам (5.4), (5.6) возможно сокращение общих множителей в числителе и знаменателе. После такого сокращения знаменатель п. ф. уже не будет совпадать с характеристическим многочленом. Это, в частности, было видно из П.2.4, где фактически рассматри- валось последовательное соединение двух звеньев. Знаменатель п. ф. соединения был равен р + 1 и устойчив, а характеристический мно- гочлен равен (p+i)(p—i), а следовательно, неустойчив. Таким образом, при суждении об устойчивости по знаменателю п. ф. следует проверить, не произошло ли сокращения сомножи- телей. В дополнение укажем, что в некоторых случаях полезной явля- ется процедура, обратная «свертыванию» последовательных и па- раллельных соединений. Пусть звено задано п. ф. Н(р). Тогда лю- бое представление этой п. ф. в виде суммы Hi(p)+ Нг{р) или про- изведения Hi(p}Ht(p) может быть интерпретировано как разбиение звена на два, параллельно или последовательно соединенных. В ча- 56 ГЛ, 2, ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ стности, представление (3.11) свидетельствует о возможности пред- ставления авена в виде параллельного соединения звеньев. Если ff(P) ~ строго реализуема, а знаменатель не имеет кратных кор- ней, то разложение на простейшие дроби дает л н (Р) ° ро + 2 т^* р0 °COIlst' (5.8) Такую же п.ф. имеет система с п звеньями, описываемыми уравне- ниями 1-го порядка (D - ^,„)у„ = с,Уу, v ° 1, ,.., re, (5.9) и одним усилительным звеном Уо^РоУо, (5.9') если эти звенья соединены параллельно, т. е. у, = v, v == О, 1, ..., п, У ° S УУ + Уо« V==1 (5.10) где V — внешний вход, а. у — внешний выход. Величины Kv, Су, вообще говоря, комплексные числа, так что переменные Uv(t) —комплекснозначные функции времени. Поэтому разбиение на звенья 1-го порядка удобно лишь в случае, когда все ^v. Су вещественны. Более того, если все ^v < 0, то v=l Отсюда сразу следует возможность представления такого звена структурной схемой, показанной на рис. 2.17, которая включает — только идеальные усилители и апериодические звенья. Нетрудно убедиться (и это будет полезным упражневием!), что такой схеме Рис. 2.17 Рис. 2.18 можно сопоставить электронную модель, включающую не более, чем п 4- 2 операционных усилителя. 5.2. Соединение с отрицательной обратной связью. Структурная схема представлена на рис. 2.18, Звено 1 именуется стоящим в f 5. АНАЛИЗ ТИПОВЫХ СТРУКТУР 57 прямой цепи, звено' 2—стоящим в обратной-связи. Согласно схеме имеем: Vi ° v - у„ i^ =Vi, у == уг Тогда 7(р)-УЛр)=Н,(ртр}-Н,{р}[7(р}-Г^р)}=- -H,(p)V(p)-H,(p)H,(p)V,{p}=H,(p)V(p)-H,(p)H,(p)7(p}, откуда следует формула для п. ф. соединения ж^ Я1(р) (5.12) н ^' - i+H,(p)H,(p)' Введем обозначение .П. ф. Яр(р) обычно называют ге. ф. разомкнутого контура, и соот" ветственно Яр(ко) —частотной характеристикой разомкнутого кон- тура. Из формулы Я^ (но) Н^ (i(a} н ^ " 1 + Я^ (;(о) Н^ (Ш) = 1 + Яр («о) сразу следует простой качественный результат. Вывод 3. Частотная характеристика соединения с отрицатель" ной обратной связью принимает значения, близкие (я) к частотной характеристике Я^Кй) звена в прямой цепи, если ю таково, что |Яр(гсо) 1 < 1. (б) к обратной частотной характеристике Н^1 (1сй)»: если |Яр(го))1>1. Точный расчет Я(кй), Яр(ко) по Я^гю), Нг(ш^ требует не- сложных операций с комплексными числами, однако приведенный результат полезен тем, что при расчете Я(г(й) на сетке значений <о он позволяет правильно выбрать шаг сетки и диапазон частот, где этот расчет необходим*). Напомним, что вычисление Я(кй) важно при нахождении уста- новившейся реакции системы на гармонический вход (см. § 4). Перейдем к изучению проблемы устойчивости системы. Из урав- нений звеньев элементов и связей получаем: ", (р) У, (р} + Р, (р) Y, {р) == ^ (р) 7 (р), -^(p)Y,(p}+^(p)Y,(p)=0. Характеристический многочлен («i(Р) Pi (Р)1 A(p)=det<_^(p) ^(p) "iO?)«2(P)+Pi03)fW. (5.13) *) См. также гл. 3, § 5. 58 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Из вида этого многочлена непосредственно неясно, следует ли из устойчивости соединенных звеньев устойчивость системы и, на- против, из неустойчивости хотя бы одного звена — неустойчивость системы в целом. Требуется более тонкий анализ, которому в ос- новном и посвящен данный параграф. Прежде всего установим сле- дующий важный факт. Теорема 5.1. Пусть соединенные звенья устойчивы. Пусть п.ф. их последовательного соединения Н,(р)=Н,(р}Н,(р), (5.14) называемая также п.-ф. разомкнутого контура, является правиль- ной дробью, а соответствующая частотная характеристика Hy(im) ни при каких со, 0 < о < °°, не является вещественным числом, меньшим либо равным —1. Тогда характеристический многочлен Д (р) устойчив. Доказательство. Обозначим Qp(p)^^(p)^(p), Рр (р) ^ f>i W Рз W'' (5.15) тогда, согласно (5.13), характеристический многочлен системы Д(р) =Qv(p)+Pf(p), причем по условию Qp(p) —устойчив и*) deg<?p(p) >degPp(p). Введем вспомогательный многочлен AGo,A)^(?p(p)+fcPp(p), зависящий от параметра k. Очевидно, что &(р, 1) =Д(р), Д(р,0) =(?р(р). /Г°0 ^^ /(=0 Как известно**), корни }.v(k) многочлена Д(р, k) непрерывно зависят от I вещественного параметра k. При А = 0 они ле- тл,у(.к) ,дд^ д левой полуплоскости. При увеличении k корни )^v(k) перемещаются по непрерывным кривым (корневым годографам) и не могут вый- ти из левой полуплоскости иначе, чем через мнимую ось (рис. 2.19). Прохождение через мни- мую ось какого-нибудь корня означает, что Лу = iv>, где а» — вещественно и при этом /с=0 Д(но, k) = 0. (5.16) Таким образом, если ни при каких а» и ни при каких k, 0 sSs. k ^ 1, условие (5.16) не выпол- р„,. о <а няется, то корни остаются слева, так что Д (/»)== = &(р, 1) является устойчивым. Вместе с тем (5.16) эквивалентно или (?р(«о) +kP„(im) =0 1 ~~k~=нp <'") = Re я? (w) +ilm Яр (ко), *) Символ deg означает «степень». **) См. также § 3 гл. 4. § 5. АНАЛИЗ ТИПОВЫХ СТРУКТУР 59 откуда Im Яр (ia) == 0, Не Яр (ica) = — -^ -<-!. что противоречит условию теоремы *). • Аналогичным образом рассматривается и следующий интерес- ный случай. Теорема 5.1'. Если Q^-pQ^p}, где Qp(p)—устойчивый многочлен, выполнены условия Т.5.1 при всех а > 0, а кроме того, рЯр(р)1,^=^^р>0« то характеристический многочлен Д(р) устойчив. Доказательство можно провести аналогично доказательству Т.5.1, заметив лишь предварительно, что при малых k > 0 выполнение условия kp > 0 обеспечивает переход нулевого корня ^i=0 многочлена Д(р, 0) =± Qp(p) в ле.вую полуплоскость (рис. 2.20). Действительно, при малых k многочлен pQv(p)+kPv(p}=0 ямеет корень ^i порядка величины k, а следо- вательно, выполнено условие ^[QAO)+0(k)]+k[P^(0)+0(k}] =0, так что ^(0) \ = - k -——. + о (&) = - Вр + о (k), k-0 Рис. 2.20 т. е. ^i становится отрицательным при малом увеличении k от 0. Далее, при росте k вплоть до k = 1, ^i(/c), равно как и остальные корни, уже не может выйти из левой полуплоскости в силу доказанного в Т.5.1. • Результатам Т.5.1, Т.5.1' обычно дается следующая геометриче- ская интерпретация. Правило 1. Если годограф частотной характеристики Яр(гй) не пересекает вещественной полуоси (—°°; —I], я кроме того, . Яр^о^-^О при со ->- оо, (5.17) то характеристический многочлен системы, образованной соедине- нием устойчивых звеньев с отрицательной обратной связью, устой- чив. То же верно, если знаменатель п.ф. одного из звеньев имеет *) Функция ПеЯр(га)) является четной функцией м, поэтому в условии Т.5.1 указаны только неотрицательные й>, 60 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ нулевой корень, а остальные устойчивы, и, кроме того, при малых й> ЯрМ--^, ftp>0. (5.18) (Условие (5.17) эквивалентно требованию того, что Н,(р]—• правильная дробь.) Примеры требуемого по правилу 1 поведения годографов пока- заны на рис. 2.21 и, б. Рис. 2.21 Приведем также конкретную задачу. Пример 5.1. Рассмотрим вопрос об устойчивости электромеха- нической следящей системы (ЭСС). Качественное описание систе- мы было дано в гл. 1 (рис. 1.5). Напомним, что простейшая ЭСС состоит из следующих физических элементов: (а) задающей оси, угол поворота которой обозначим (p^f); (б) вала нагрузки, угол поворота которого обозначим (р(^); (в) датчика рассогласования, вырабатывающего электрический сигнал Ue(t), который будем опи- сывать уравнением u.(0=^e(f), k.>0, (5.19) где е (<)=(?"(<)— (р(0—рассогласование между углами поворота задающей оси и вала; (г) усилителя, вырабатывающего электриче- ский сигнал управления, который будем описывать соотношением u(t)==ku,{t), k>0, (5.20) и, наконец, (д)' исполнительного устройства, включающего усили- тель мощности, двигатель и редуктор, через который движущий момент передается на вал. Входное напряжение усилителя мощ- ности и является сигналом управления u^(t)=u(t]. (5.21): Кроме того, напомним, что в П.2.2 и П.2.3 было приведено иссле- дование блока, состоящего из элементов «усилитель мощности», «двигатель», «редуктор», «вал». Его математическое описание в целом дается формулой (2.21), которую можно написать в § 5. АНАЛИЗ ТИПОВЫХ СТРУКТУР 61 операторном виде: (p(f)= Я„ф(Д)ц,х(0"+ H^(D]mn{t], (5.22) где тан(<)—момент внешней нагрузки на вал. Совокупность со- отношений (5.19)—(5.22) может быть представлена структурной схемой (рис. 2.22), где не учтено лишь внешнее возмущение Тов(^)» не играющее роли при исследовании устойчивости. Рис. 2.22 Связь между внешним входом (^(t] и общим выходом (р(<) представлена соединением звеньев, которое можно привести к стан- дартной структуре С отрицательной обратной связью, если по- ложить ^(p)=WMp), я^)=1. Примем первоначально упрощенную формулу (2.24) для п. ф> силового блока •"иф (PI — I т т2 | т „ |_ л\ Р^^зР 'T^P'T1) fcc>0, Гм>0. Гэ>0. •я «.с --> и,; ^ м -^ ".« •1 э Тогда Яр(р)=Я1(р)= ^ . , /CpAWcX). P^^sP +7мP+l) В данном случае QrW-pQ^P^ Q^p^T.T^+T^p+i, Pp(p)=A„ и можно использовать Т.5.Г. Условие fep > 0 выполнено, <?р(р)—устойчив. Остается прове- рить поведение частотной характеристики Яр(ко). Имеем Яр(ко)= (1 - Гм^"2 + ^м") 10) откуда следует, что годограф пересекает вещественную ось толь- ко при ___ (й=(УГмГ.)-«, 62 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ причем в точке пересечения (рис. 2.23) ReHp(im)==—kyT,. Тем самым доказано, что характеристический многочлен системы устойчив, если /Ср < Ту . Подчеркнем, что для данной несложной системы тот же результат проще получить, непосредственно за- писав этот многочлен в виде Л(^)-<?р(р)+Рр(р)= ^T^p'+T^-l-p+k, и использовав неравенство Гурвица > (3.16), которое здесь имеет вид Г„>7\,Г^р. Отметим, что если положить Г, = 0, т. е. использовать еще более простое описание (2.25) п. ф. силового блока k Рис. 2.23 Huw (р) = р(т^+1Г полученное в пренебрежении самоиндукцией якорной цепи двига- теля, то был бы сделан неверный вывод: ЭСС устойчива при любом значении коэффициента /Ср. Иначе говоря, пренебрежение малыми постоянными времени опасно при исследовании устойчивости. Од- нако, используя первый вариант описания, т. е. формулу (2.24), мы также упростили задачу по сравнению с более полным описа- нием, даваемым формулой (2.23). Анализ вопроса о том, когда это упрощение допустимо, отложим до следующей главы. D Теоремы 5.1, 5.1' дают достаточные условия устойчивости систе- мы с отрицательной обратной связью, если, согласно исходному определению, выполнено еще и условие строгой реализуемости п. ф. соединения TJI Л_ ^(р) - МР)^ " \р! 1 + Н^ [р) Н^ (р) 04 {р) а, (р) + р, (Р) Pa ^ ' Поскольку в теоремах уже требовалось, чтобы deg{ctiCtJ>deg{p,pJ, то строгая реализуемость имеет место, если degai>degpi, т. е. звено, стоящее в прямой цепи, строго реализуемо, а это зара- нее предполагалось. 5.3. Обобщенный критерий Найквиста. Возникает вопрос, явля- ются ли условия теорем 5.1, 5.1' и необходимыми, т. е. обязательно ли при их нарушении система окажется неустойчивой? § 5. АНАЛИЗ ТИПОВЫХ СТРУКТУР 63. В частности, особо существенно, может ли система быть устой- чивой, если характеристические многочлены звеньев имеют корни в правой полуплоскости и заведомо неустойчивы? Оказывается, что это возможно. Теорема 5.2 (обобщенный критерий Найквиста)*]. Пусть вы- полнены условия: а) Ну(р} —правильная; б) многочлены ^р(р), Qv(p) не имеют совпадающих корней в правой полуплоскости (несовпадающие корни назовем нулями и полюсами Ну (р}}; в) число полюсов Нр(р) в правой полуплоскости задано и рав- но q-^ 0. Тогда для устойчивости системы звеньев, соединенных отрица- тельной обратной связью, необходимо и достаточно, чтобы при из- менении (и от 0 до оо точка Яр(гсй) на комплексной плоскости со- вершала ровно q~ полуоборотов вокруг критической точки с коор- динатами (—1, 0), или, что то же самое, годограф Hp(is>) ровно q~/2 раз охватывал критическую точку. • Не приводя пока достаточно громоздкого доказательства, дадим. пояснения и примеры. Случай 1. Qy(p) —устойчив (оба звена устойчивы). В этом случае критерий Найквиста сводится к требованию: годограф Яр(г<») не должен охватывать критическую точку. При этом возможны две ситуации (рис. 2.24, а, б). Рис. 2.24 la. Годограф не пересекает вещественную ось или пересекает ее правее критической точки. 16. Годограф столько же раз пересекает вещественную полуось (—оо, —1) снизу вверх, сколько и сверху вниз **). Ситуация 1а соответствует условиям Т.5.1, однако устойчивость. имеет место и в ситуации 16. Случай 2. Яр(р) не имеет полюсов на мнимой оси, но есть q~ > 0 полюсов справа. В этом случае годограф должен охватывать критическую точку, делая q~ полуоборотов. Например, при q~ == 1 *) Критерий был сформулирован в 1932 г. Найквистом применительно к задачам радиотехники для частного случая q~ = 0. **) Все диаграммы построены в предположении Яр(0) > 0 или Яр(0) > О' {при наличии пулевого корня). 64 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ диаграммы на рис. 2.24, а, б соответствуют неустойчивой системе, а диаграмма на рис.. 2.25 — устойчивой. Случай 3. Н,(р\ имеет один нулевой полюс, а остальные кор- ни ^- слева. Рис. 2.25 Рис. 2.26 В этом случае годограф рассчитывается с исключением точки Q '" 0, и ситуации За, 36, представленные на рис. 2.26, а, б, соот- ветствуют устойчивой системе. Первая из них рассматривалась в 1.5.1 . Случай 4. Яр(р) имеет д„ нулевых полюсов, 2?у чисто мнимых полюсов ±гю, кратности д, каждый и q~ полюсов справа. ImW» Рис. 2.27 В этом общем случае следует учесть отсутствие непрерывности годографа Яр(гсо) при © = 0, со = со,, и применить следующую фор- мальную процедуру его построения: а) построить годограф вне точек разрыва с ветвями, уходящими в °о при приближении к этим точкам; б) дополнить годограф до непрерывной кривой частями окруж- ности большого радиуса (много больше 1), связывающими ветви. При этом начальная точка обязательно располагается на веще- ственной оси, разрыв при ю=0 заполняют дугой с поворотом на —• зт — ?о -YX разрыв при (йу заполняют дугой с поворотом на —^уЯ. § 5. АНАЛИЗ ТИПОВЫХ СТРУКТУР 65 Правило 2 (геометрическая интерпретация обобщенного крите- рия Пайквиста}. Если годограф Яр(гю) (с учетом указанной про- цедуры дополнения} пересекает вещественную полуось левее кри- тической точки, но так, что разность между числом пересечений сверху вниз и снизу вверх равна q~/2, то система устойчива*). В противном случае устойчивость отсутствует. Пример диаграммы, из которой следует устойчивость системы, дан на рис. 2.27, д. Из диаграммы на рис. 2.27, б следует неустой- чивость. Дадим теперь доказательство Т.5.2. Доказательство основывается па применении теории функций комплексной переменной, утверждающей справед- ливость так называемого принципа аргумента**): 6г Arg Ф(р) = 2п(пг - рг), (5.23) где 6г Arg обозначено изменение аргумента функции Ф(р) при изменении р по замкнутому контуру, Ф(р) предполагается дробно-рациональной, а "г» Рг— число нулей и полюсов Ф(р}, лежащих внутри Г. Примем Ф(р) в виде ^)=н-^)^^^^. (^ QV (р) ~ Построим контур Г, показанный на рис. 2.28. Он состоит из полуокружно- сти большого радиуса и, отрезков на мнимой оси и полуокружностей малого радиуса р, охватывающих справа начало координат и точки ±?с0у, соответствующие полюсам Нр(р) на мнимой оси. Изменение аргумента Ф(р) на Г равно сумме изменений аргумента на указанных частях, причем на полуокружности Д (при достаточно больших Л) Ф(р) ~ 1 в силу условия (а) теоремы, так что ар- гумент равен нулю, как ч его изменение, а на полу- окружностях малого радиуса изменение аргумента равно nqv, где qv — кратность полюса +;с0у (и —i(0v), •если Шу ^ 0, и равно nqa, если нулевой полюс имеет кратность qo. С другой стороны, при условиях (б), (в) прин- цип аргумента устанавливает эквивалентность тре- бования устойчивости характеристического много- члена Л(Р) =<?р(р)+РрО') и равенства Рис. 2.28 6rArg(t>(/i) == —2nq-, (5.25) поскольку пт = 0, рг = q~, если при достаточно малых р, Л"' контур охваты- вает всю правую полуплоскость. С учетом данных оценок (5.25) эквивалентно переписывается в вида 6 Arg Ф (ги) + п?д + 2 2 "Sv = — 2Я?" причем б Агз означает изменение аргумента при изменении м от Л до — вычетом малых участков размера 2р, где Яр(гй)) претерпевает разрывы. (5.26) •Д, за *) Если годограф начинается на [—оо, —1), то это считается за 1/2 пересе- чения. **) См., например, [2.3, с. 298], 5 л А. Псдвизваысний 66 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Изменяя направление прохождения па противоположное (от —Л к Л) и учитывая,что Arg0(;"(o) = —ArgO(-tCfl), co^yv, (5.27) приходим к результату -^ 6' Arg [I + Вр 0-со)] - ^ - ^v (5.28) где символ б' Arg означает изменение аргумента прп пробегании ю «почти» от нуля (р) до «почти» бесконечности (Д), а остальные слагаемые отражают вклад изменений на разрывах. Выражение слева совпадает с числом полуоборотов годографа, функции 1 + Яр(;(о) вокруг начала координат, или, что то же самое, годографа Яр(ко) вокруг критической точки (—1, 0) (с учетом указанных выше дополнений и» разрывах). Тем самым (5.28) доказывает, что условия теоремы гарантируют устойчивость многочлена Д(р). Строгая реализуемость п. ф. соединения следует из условия (а) и предположения о строгой реализуемости п. ф. звеньев. • Замечание. Утверждение Т.5.2 сохраняет силу и в том случае, когда условие (а) заменено более слабым условием строгой реализуемости Нр(р). Для обоснования достаточно рассмотреть ситуацию, где degPp(p) •=» '== degQy(p) '= п. При этом возможны два случая: (а) deg {Рр + <?р} = п, (б) deg{Pp+(?p} <.". В случае (а) на полуокружности достаточно большого радиуса функция Ф(р) ведет себя как константа, а следовательно, изменение ее аргумента рав- но нулю, что позволяет перенести на этот случай ранее приведенное доказа- тельство. Случай (б) является вырожденным (при сложении многочленов взаимно уничтожаются старшие степени). Очевидно, что при этом изменение- аргумента происходит, и формула (5.28) не верна, а следовательно, кажется неверным утверждение критерия Найквиста. Однако это не так: нетрудно убе- диться, что при условии (б) п. ф. системы с обратной связью не является стро- го реализуемой, а следовательно, согласно определению, система неустойчива, о чем и будет свидетельствовать невыполнение равенства (5.28). 5.4. Приближенно дифференцирующие устройства. В качестве полезного примера изучения структур с обратной связью проведем анализ некоторых устройств, построенных на базе операционных усилителен и приближенно осуществляющих операцию дифферен- цирования. Пусть iii(t} —напряжение па входе устройства, ii(t) — на выходе. Идеальное дифференцирование имеет место, если (5.29) Подчеркнем, что п. ф. дифференцирующего преобразователя не яв- ляется строго реализуемой. Поэтому ранее предполагавшиеся схе- мы (см. § 2) не пригодны для создания идеально дифференциру- ющих устройств. Рассмотрим вновь блок, состоящий из операцион- ного усилителя и ДС-цепен (рис. 2.29, а), где ^i(D) —операторная проводимость прямой цепи, Yy(T)) — операторная проводимость цепи в обратной связи (операторная проводимость обратив опера- торному сопротивлению), Y^(D)—входная проводимость усилите- ля. Тогда уравнения цепей запишутся в виде Y, (D) (и, - и^+ Уо (D) (и - и»)= У,и„. (5.30> § 5. АНАЛИЗ ТИПОВЫХ СТРУКТУР 67 Учтем далее, что усилитель не является идеальным, а обладает инерционностью, и примем для него описание в виде /с„ U = (5.31) где cty(D)—многочлен такой, что Ку(0)=1. Свойства реальных у^ операционных усилителей можно хорошо воспроизвести, считая Ку(0)=(т0+1)2. При этом амплитудно-частотная характе- ристика усилителя равна ^-ITfe2 ^ ° и быстро убывает прп со > т"1 (диапазон Рис. 2.30 частот от ю = 0 до со = т"' часто называют полосой пропускания усилителя). Для реальных усилителей &у имеет порядок 10е — 107, т"' — порядок 105 1/с. Исключая промежуточную переменную и„ запишем u=-H{D)Ut, где , У! (D) 1 Я, (D) H(D)= (5.33) 1 + ^ (U) Я, (U) У Уд (D) (Ху (U) У, Г2(0)АГо(В)+Г1(0)+У„, Я^у-^-, Н^- 1 2,—у - 1 Передаточной функции Я(В) можно сопоставить структурную схе- му соединения с обратной связью (рис. 2.30), осуществляющую то же самое преобразование «инвертированный вход —и, — вы- ход и». Еще раз подчеркнем, что структурная схема соединения <; обратной связью не отражает непосредственно свойств элементов электрического соединения с цепью обратной связи: п. ф. Яд звена Б обратной связи структурной схемы зависит и от проводимости 5* 68 ГЛ. 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Уо цепи в обратной связи усилителя и от проводимости прямой цепи. Напомним теперь ранее полученный вывод 3. Из него сразу следует, что частотная характеристика соединения Я(ко) близка к обратной частотной характеристике звена в обратной связи Н (ко) ^ Я, (to) на всех частотах, где |Яр(ко)|=/Су Уд (ко) ' Y, U<o) »1. (5.34) (5.35) В частности, если Yi==l/R,, Уо = 1/До (в прямой п обратной цепа усилителя стоят резисторы с сопротивлениями J?i, По), то ^„ Н (гю): Если же Yi = 1/2?i, Уо = CoD (вместо резистора в обратной цепи стоит конденсатор емкости Со), то Я (но) Иначе говоря, эти устройства имеют частотные характеристики идеального усилителя и интегратора, однако такие свойства имеют место только в диапазоне частот, ограниченном условием (5.35). Даже при очень большом /Су наличие убывающего множителя 1ау(г(й)1~' ограничит диапазон часто! входных сигналов, для ко- торых верны ранее полученные результаты (§ 2) о свойствах схем с операционными усилителями. Рассмотрим далее другой важный частный случай, когда в прямой цепи стоит конденсатор емкости С,, а в обратной — рези- стор сопротивления 7?о (рис. 2.29, б). При этом y,(D)=C\D, Уо=1/До и , Я(г(й)^ Ci/Po^ci), т. е. частотная характеристика близка к характеристике идеального- дифференцирующего звена Я(0)=С\7?оО в диапазоне частот, ограниченном условием 1/Л„ ,»1. У 1/Д, + <^о) + Уд |«у('со)| Казалось, бы, с увеличением fty можно добиться хорошего качества" дифференцирования с помощью такой простой схемы, и эта реко- мендация зачастую фигурирует даже в учебниках. Однако на са- g 5. АНАЛИЗ ТИПОВЫХ СТРУКТУР 69 мом деле она не верна. Дело в том, что при больших fey схема теряет устойчивость! Имеем п /т-А. ^(D) , 1 1 Яр^ Ч Y^D)^(D) -^ 1+^0+У,Д, (tD+l)2' и характеристический многочлен системы имеет вид А {р) = (rp + I)2 (1 + Тр) + k, - ^Тр3 + т(2Г + т)р2 + (Т + 2-с)р + k„ где принято обозначение Т = 7?oCi и для упрощения записи счи- тается, что УвДо < 1 (входная проводимость мала) и /Су>1. Из критерия Гурвица (§ 3) сразу следует, что система устойчива, только если , ^ (Г + 2т) (27-+ т) Ау^————^————, т. е. при неограниченном увеличении ky устойчивость заведомо те- ряется. В силу этого обстоятельства описанная простая схема прак- тически не используется. Вместо нее применяют несколько моди- фицированную схему (рис. 2.29, в). При этом 1, Y»W-^-+C^=-(i+T,D), 1 + T,D H, и в силу (5.34) 11 ^ ^ Tw (i+^i+r^) - пм при Гой < 1, TiV) < 1 и выполнении общего условия (5.35). Таким образом, схема вновь имеет частотную характеристику, близкую к характеристике идеального дифференцирующего звена. Вместе о тем нетрудно убедиться, что постоянные Ту, Т^ всегда можно вы- брать так, чтобы сохранялась устойчивость и при неограниченно больших А-у. Действительно, примем Ti = Тц = т, ДоУв<1; тогда Яр (D) = &у —————l-^ГOD———— ———— = Д.у ———1———. 1+ду +УР+ п) (^Р+1)2 "(l+T^+rD" 1 i-Vo1 "о ' 1+ Т D Характеристический многочлен системы равен A(p)-(^p+i)г[^Y+(2'c+T)p+i+k,] и заведомо устойчив при любых А-у. Докажите то же самое с по- мощью Т.5.1, построив годограф Яр(г(й). Докажите также устой- чивость схем, использованных для реализации операций идеального усиления и интегрирования. I) ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ § 1. Цели и принципы управления Управление состоит в том, чтобы, оказывая на какой-либо объект воздействие, изменять протекающие в нем процессы для достиже- ния определенной цели. Управление является автоматическим, если оно осуществляется без вмешательства человека с помощью спе- циальных технических устройств. Разработка ебщих принципов создания этих устройств и является основной задачей теории авто- матического управления. Теория должна давать единую базу для решения задач управления объектами различной физической, хими- ческой или биологической природы. Перечислим некоторые типич- ные классы технических задач. а. Управление движением механических объектов. Управляемы- ми явЯяТотся процессы изменения некоторых координат и скоростей, а управляющими воздействиями являются внешние силы*). Цель управления обычно формулируется через задание желаемых значе- ний координат и скоростей в определенные моменты времени или на определенных участках траектории. б. Управление электротехническими (или электронными) объек- тами, где управляемыми являются процессы изменения напряже- ний, токов, мощностей, а управляющими воздействиями являются внешние электродвижущие силы (ЭДС) или токи от внешних ис- точников, или сопротивления, емкости, индуктивности элементов с варьируемыми характеристиками. Целью управления может быть, например, обеспечение постоянства напряжения между различными узлами системы или достижение максимальной мощности, выделяе- мой на определенном элементе. в. Управление теплотехническими объектами. Управляемыми яв- ляются процессы изменения температур в различных точках объек- та, а воздействие осуществляется путем подвода тепловой энергии. Цель управления может состоять в желании поддерживать некото- рое распределение температур или не допускать превышения тем- пературой некоторого предельного уровня. *) Координаты, скорости и силы могут пониматься в обобщенном смысле теоретической механики. »-----"-----~~' 10 ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ г. Управление химической или биологической технологией. Здесь управляемым является как изменение температур, так и из- менение концентраций различных веществ. Управляющими воздей- ствиями являются изменения подхода энергии (топлива, освещения) или вещества, а целью - обеспечение желаемого количества выход- ного продукта (желаемой продуктивности) или (и) постояаства его качественных физико-химических характеристик. Эти проблемы зачастую переплетаются, поскольку объекты сов- ременной техники, как, например, системы энергообеспечения, явля- ются сложными системами, в которых взаимодействуют и механи- ческие, и электромагнитные, и термодинамические, и химические процессы. Однако, несмотря на разнообразие технических проблем, существуют общие подходы, общие принципы создания систем управ- ления. Рис. 1.1 В соответствии с ними любая си- стема управления строится на осно- ве трех функциональных блоков (рис. 1.1). Первый блок состоит и;{ устройств, позволяющих получать информацию о текущих значениях управляемых процессов (или других процессов в объекте, связан- ных с управляемыми). Этот блок называют измерительным или блоком датчиков информации (ДИ)*). В ходе функцио- нирования этого блока выдаются информационные сигналы. Эти сигналы поступают во 2-й блок, блок преобразования и храпения информации (ПИ), где на их основе, а также па основе заранее заложенных сведений (априорной информации) вырабатываются сигналы управления. Правило (алгоритм) преобразования инфор- мационных сигналов в сигналы управления называется законом управления. Сигнал управления показывает, каким должно быть управляющее воздействие в текущий момент времени. Чтобы вы- работать это воздействие, превратить сигнал в механическое уси- лие или поток тепла, или поток вещества, требуется еще один блок-исполнительное устройство (ИУ). Как видно из рис. 1.1, совокупность перечисленных блоков об- разует- замкнутый контур, охватывающий объект управления. По- этому систему, где присутствуют все эти блоки, часто называют замкнутой системой, или системой управления с обратной связью от управляемых процессов к управляющим воздействиям. Иногда, однако, используются и более простые разомкнутые системы, где отсутствуют датчики информации, а функции преобразователя ин- формации сводятся лишь к хранению и выдаче выработанной про- *) Иногда употребляются и другие термины: блок чувствительных элемен- тов, блок сенсоров, f 2. СВЕДЕНИЯ О ТЕХНИЧЕСКИХ СРЕДСТВАХ 11 граммы управления с требуемыми в каждый момент, времени зна- чениями сигнала управления. Таким образом, в системе управления можно выделить инфор- мационную часть, осуществляющую получение, хранение, обработку и выдачу информации, и энергетическую (силовую} часть, служа- щую для преобразования информации (сигнала управления) в уп- равляющее воздействие на объект. § 2. Сведения о технических средствах Описанные функциональные блоки реализуются с помощью раз' личных технических средств автоматики. Детальное изучение их конструкций служит предметом специального курса. Однако пони- мание задач общей теории автоматического управления невозможно без четкого представления об основных особенностях этих средств, тем более что в настоящее время намечается тенденция к их уни- фикации. В них в качестве информации выступают электрические сигналы, причем информация содержится либо в текущих значе- ниях напряжения (сигналы аналогового типа), либо в виде коди- рованных последовательностей импульсов (сигналы цифрового или кодированного типа). В соответствии с этим датчики" информации являются преобра- зователями значений различных физических процессов в электри- ческие сигналы, преобразование и хранение информации осуществ- ляется с помощью электронных вычислительных устройств анало- гового или цифрового типа, исполнительные устройства управляют- ся опять-таки с помощью электрических сигналов, поступающих из блока НИ. Рис. 1.2 Приведем некоторые примеры датчиков [1.1]. а. Датчик относительного перемещения (измерительный потен- циометр) (рис. 1.2, я). Напряжение и, снимаемое движком потен- циометра, пропорционально перемещению движка относительно средней точки. Если связать движок с одним из тел, а корпус с другим, то получим датчик их относительного поступательного перемещения. С помощью кругового потенциометра аналогичным образом можно получить электрический сигнал, пропорциональный относительному углу поворота. 12 ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ б. Датчик угловой скорости (тахогенератор) (рис. 1.2,6). Э. д. с., вырабатываемая генератором постоянного тока с независимым воз- буждением или постоянными магнитами, пропорциональна угловой скорости вращения ротора. Если ротор генератора связан с враща- ющимся телом, то генератор является датчиком угловой скоро- сти тела. в. Датчик давления (измерительная мембрана}. Прогиб мембра- ны (рис. 1.2, в) пропорционален давлению газа, действующему на ее поверхность. Таким образом, мембрана является преобразовате- лем «давление-перемещение». Однако перемещение, как уже ука- зывалось, можно преобразовать в напряжение электрического сигнала. г. Датчик температуры (термопара}. Действие этого датчика основано на свойстве разнородных проводников или полупроводни- ков образовывать в паре (спае) электродвижущую силу, зависящую от температуры спая. Перечень датчиков можно было бы продолжать практически не- ограниченно, поскольку разработаны и непрерывно разрабатывают- ся устройства для измерения различного рода процессов, основан- ные в свою очередь на различных физических принципах и имею- щие разную сложность, стоимость, габариты. При этом в зависи- мости от диапазона возможного изменения одной и той же физической величины могут применяться совершенно несходные устройства, например, для измерения перемещений порядка 10~2 м - уже упомянутые потенциометры, а при порядке более 102 м - ра- диолокационные дальномеры, используемые, в частности, в систе- мах управления полетом. В дальнейшем будем называть датчик идеальным, если выраба- тываемый им сигнал пропорционален измеряемой величине. Суще- ственно, что все реальные датчики являются в той или иной степе- ни неидеальными. В частности, всегда возможны малые ошибки, проявляющиеся в виде добавочных, «паразитных», сигналов. Более того, пропорциональность заведомо сохраняется только в опреде- ленном диапазоне изменения, зависящием от конструкции датчика (это очевидно даже из представленной выше схемы измерительного потенциометра). Наконец пропорциональность может нарушаться при быстрых изменениях измеряемого процесса - в силу инерцион- ности датчика. Например, спай термопары обычно защищается по- крытием (чехлом). Это покрытие не м-ожет прогреться (или ох- ладиться) мгновенно при резком изменении измеряемой температу- ры газовой среды, так что тепловая инерция покрытия искажает показания датчика. В дальнейшем будет продемонстрировано, на- сколько неизбежная неидеальность датчиков информации влияет на эффективность систем управления. Кратко остан.овимся на средствах преобразования и хранения информации, т. е. технической реализации блока НИ. Наиболее мощным средством являются управляющие цифровые электронные § 2. СВЕДЕНИЯ О ТЕХНИЧЕСКИХ СРЕДСТВАХ 13 вычислительные машины (ЭВМ). Общие принципы действия ЭВМ хорошо известны (см., например, [1.7]). Подчеркнем лишь, что ис- пользование ЭВМ в качестве блока системы автоматического управ- ления влечет за собой определенные особенности, ввода и вывода информации. В отличие от неавтоматических (человеко-машинных) систем информация не должна представляться в визуальной фор- ме*), например, в виде распечатки на бумажной ленте или гра- фика на графопостроителе. Как правило, ввод текущей информа- ции, поступающей от ДИ, осуществляется следующим образом: аналоговые электрические сигналы масштабируются с помощью усилителей к требуемому диапазону, далее преобразуются с по- мощью устройств «аналог-цифра» (АЦП) в кодированную после- довательность импульсов, вводимую в память ЭВМ. Результат пе- реработки информации по заложенным в ЭВМ программам в виде цифрового кода поступает на преобразователь «цифра - аналог» (ЦАП), на выходе которого возникает аналоговый сигнал соответ- ствующего напряжения. Для дальнейшего существенно, что цифровая ЭВМ фактически оперирует не с непрерывно поступающей информацией, а с перио- дической выборкой, иначе говоря, с последовательностями измеряе- мых величин. Отметим также, что при преобразованиях в АЦП возможны дополнительные ошибки, связанные с округлением, хотя они, как правило, малы по сравнению с ошибками датчиков. В настоящее время использование цифровых ЭВМ ограничено достаточно сложными и дорогостоящими системами управления, в частности, системами управления крупными судами и летатель- ными аппаратами, хотя общая тенденция технического развития свидетельствует о возможности их все большего распространения. Широко применяются аналоговые вычислительные устройства, представляющие собой схемы, включающие электронные усилители и ДС-цепи. Основная идея построения таких схем -проста. С .по- мощью делителей или усилителей возможно осуществить операцию умножения входного напряжения на постоянный коэффициент, с помощью емкостных элементов возможно осуществлять операцию интегрирования данных, поскольку напряжение на емкости пропор- ционально интегралу от протекающего тока. Сочетание таких эле- ментов позволяет создавать устройства, практически мгновенно производящие алгебраические и интегральные преобразования по- ступающих сигналов. Эти устройства иногда полностью разрабаты- ваются специально для реализации требуемого закона управления, а иногда строятся на базе стандартных так называемых операцион- ных усилителей, входящих в состав аналоговых вычислительных машин (АВМ)**). Аналоговые вычислители проще и пока дешевле *) Это, конечно, не исключено и, более того, даже необходимо в ходе на- ладки системы. **) Принципы функционирования АВМ тесно связаны с теорией управле- ния и кратко излагаются ниже (гл. 2), 14 ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ цифровых. Хотя возможности преобразования и в особенности хра- нения информации в них ограничены, их, как правило, достаточно для реализации наиболее часто используемых законов управления. Кратко остановимся на средствах реализации блока исполни- тельных устройств. Из ПИ в него поступает сигнал управления. Это электрический сигнал с низким уровнем мощности. Поэтому ИУ должно реализовать две функции: во-первых, повысить уровень мощности, быть усилителем мощности, а во-вторых, преобразовать электрический ток в управляющее воздействие требуемого типа, например, механическое усилие или расход вещества. Наиболее распространенным ИУ являются электрические дви- гатели (см., например, [1.4]), на которые управляющий сигнал по- дается через усилители мощности (УМ) (электронные, магнитные, электромашинные). Простейший электродвигатель-электромаг- нит, якорь которого перемещается в поле, создаваемом током в об- мотке (рис. 1.3). Во вращающихся электродвигателях момент, дей- ствующий на ротор двигателя, создается за счет взаимодействия токов в обмотках, уложенных на роторе и статоре. В частности, Рис. 1.3 Рис. 1.4 в двигателе постоянного тока с независимым возбуждением, ис- пользуемом во многих системах управления, ток в роторную (якор- ную) обмотку подается от усилителя мощности, а ток в обмотку статора подается от внешнего источника постоянного напряжения (рис. 1.4). Всякий электродвигатель является, по существу, преоб- разователем «электрический ток - механическое усилие» и поэтому может быть непосредственно использован в качестве ИУ в систе- мах управления движением механических объектов. Вместе с тем он может быть применен и в других системах. Если, например, кинематически связать двигатель с заслонкой (вентилем), измене- ние положе,ния которого меняет расход вещества, поступающего к объекту (рис. 1.3), то создается ИУ для управления расходом с помощью электрического сигнала. Таким же способом может уп- равляться подача тепловой энергии, если вентиль дозирует подачу топлива. Наряду с электродвигателями в системах управления использу- ются и иные, в особенности гидравлические и пневматические. Для § 3. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 15 них входным управляющим сигналом является перемещение за- слонки, открывающей или закрывающей доступ рабочего тела (сжа- той жидкости или газа) к движущемуся поршню*). Управляющий сигнал такого рода может поступать либо непосредственно от дат-' чика (см. выше, пример измерительной мембраны), либо быть ре- зультатом преобразования электрического сигнала с помощью дви- гателя, перемещающего заслонку. Для дальнейшего теоретического изложения важно понимать, что несмотря на разнообразие возмож- ных технических реализации любые ИУ обладают следующими принципиальными особенностями: 1) они используют энергию от внешних источников (блоки пи- тания электрических усилителей, напорные установки гидравличе- ских двигателей и т. д.); 2) возможный уровень управляющего воздействия ограничен конструкцией ИУ. Таким образом, мы кратко обрисовали типовую техническую базу реализации основных функциональных блоков систем автома- тического управления (САУ). § 3. Примеры систем автоматического управления Дадим схематическое описание двух типичных САУ. Пример 1. Электромеханическая следящая система (ЭСС} [1.3, 4.6]. Объектом управления является вращающийся вал (рис. 1.5), нагруженный внешним моментом. Целью управления является обес- печение поворота вала на угол, близкий к углу поворота задающей оси, который может меняться за- ранее непредвиденным образом. При этом не допускается, чтобы на возможность поворота задаю- щей оси существенно влияло на- личие момента, противодействую- щего повороту вала (в противном случае можно было бы просто связать задающую ось с валом ки- нематической связью). Рис. 1.5 через управляющее , ., . редуктор воздействие - вращающий момент. Угол поворота вала изме- ряется с помощью датчика, вырабатывающего пропорциональное ему напряжение. Другой датчик **) вырабатывает напряжение, *) Несколько более подробное описание гидравлического двигателя (сер- вомотора) дано в гл. 4 § 5. '-- ---""--- -- "''"') Йачастую используется только один датчик, непосредственно выраба- тывающий напряжение, пропорциональное разности углов поворота вала и задающей оси (относительному углу поворота). Для решения задачи управле- ния строится автоматическая си- стема с обратной связью. Элект- родвигатель передает на вал 16 ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ пропорциональное углу поворота задающей оси. Разность между этими напряжениями характеризует ошибку управления, т. е. несоответствие между углами поворота вала и задающей оси. Она . усиливается по уровню и подается • через усилитель мощности на исполнительный двигатель. Функционирование систе- мы построено на простом принципе управления с обратной связью по ошибке: если ошибка положительна (угол поворота оси больше угла поворота вала), то к валу прикладывается момент, ускоряю- щий его вращение в необходимую сторону, и вал начинает «дого- нять» задающую ось; если ошибка отрицательна, то к валу при- кладывается момент противоположного знака, и вал тормозится. В описанной простейшей схеме функции вычислительного уст- ройства сводятся к вычитанию, сигналов двух датчиков и умноже- нию разности на постоянный коэффициент - коэффициент усиле- ния усилителя напряжения. Как мы убедимся в дальнейшем (гл. 3, § 7), для обеспечения высокого качества управления (малости ошибки) приходится усложнять эти функции, однако, как правило, закон управления остается таким, что он легко реализуется с помощью простых аналоговых ВУ. О Рис. 1.6 Пример 2. Управление движени- ем промышленного робота [1.2, t.5]. Промышленный робот можно рас- сматривать как систему, состоящую из манипуляционного механизма и блоков управления. Манипуляцион- ный механизм представляет собой конструкцию, предназначенную для перемещения и ориентации схвата или инструмента в любую точку 1.6 схематически представлена одна из механизма, обеспечивающая перемещение рабочей зоны. С помощью двигателей рабочей зоны. На рис. возможных компоновок внутри цилиндрической можно поворачивать вертикальную колонну, поднимать или опускать каретку с балкой - «рукой робота», выдвигать или вдвигать «руку», осуществлять поворот схвата. В отличие от предшествующего примера здесь мы сталкиваемся с задачей управления сложным пространственным движением, при- чем это движение должно определиться перемещением (поступатель- ным или вращательным) звеньев механизма относительно друг друга и неподвижного основания. Отсюда вытекает необходимость и целесообразность более сложной (и в принципиальном, и в тех- ническом отношении) системы управления, использующей в каче- стве блока ПИ управляющую цифровую ЭВМ. Общую схему функ- ционирования системы можно описать следующим образом. От оп- тических датчиков (системы «технического зрения робота») посту- пает информация о координатах и ориентации детали, которая g 4. ПРОЕКТИРОВАНИЕ И ТЕОРИЯ 17 должна быть взята схватом робота. В памяти ЭВМ хранится ин- формация об исходной пространственной ориентации звеньев мани- пуляционного механизма, а также его динамических свойствах и расположении возможных препятствий внутри рабочей зоны. С уче- том этой информации по специальной программе в ЭВМ вычисля- ются требуемые перемещения и углы поворота по различным сте- пеням подвижности механизма. Результаты вычислений с помощью ЦАП преобразуются в аналоговые электрические сигналы, переда- ваемые в блоки управления звеньями. Каждый из этих блоков мо- жет работать по той же схеме, что и описанная выше электромеха- ническая следящая система. Различие заключается лишь в том, что сигнал на требуемое изменение положения поступает не от датчика положения задающей оси, а от управляющей ЭВМ*). Описанная общая схема разнообразным образом варьируется при создании реальных промышленных роботов и может служить прототипом любых достаточно сложных САУ, где центральное вы- числительное устройство осуществляет «командные» функции по отношению к более простым, локальным системам. D § 4. Проектирование и теория Наметим основные задачи, возникающие при проектировании систем автоматического управления. а. Формулировка технического задания, в котором должно быть указано, какими процессами требуется управлять, каковы цели уп- равления и в каких условиях должно осуществляться управление. б. Выяснение возможностей воздействия на управляемые про- цессы и прогноз внешних возмущений.. в. Оценка требуемой мощности исполнительных устройств, вы- бор типа ИУ и источников питания. г. Оценка возможностей получения текущей информации и вы- бор датчиков. д. Построение законов управления (правил преобразования ин- формации) . е. Выбор типа преобразователя информации. ж. Программирование или схемная реализация блока ПИ, реа- лизующего законы управления. з. Компоновка системы в целом. Подчеркнем, что в настоящее время проектирование самих тех- нических средств все реже входит в непосредственный круг обя- занностей инженера-проектировщика САУ. Обычно он ориентиру- ется на серийно выпускаемые промышленностью блоки. Главная же его раоота~состоит в обеспечении взаимосвязи технических средств и в подчинении системы общим целям. *) ЭСС, осуществляющие управление поступательно движущимися звень- ями, отличается лишь кинематическими связями. 2 А, А, Первоэваисний 18 ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ При этом совершенно особую роль играет задача построения законов управления, которая и является основной проблемой общей теории автоматического управления, изучаемой в данном курсе. Причина такого особого внимания заключается не только в важ- ности задачи, но и в существовании общего пути ее решения. Этот путь заключается в использовании математического описания, мате- матической модели как самого объекта, так и функциональных бло- ков системы управления, позволяющих прогнозировать поведение объекта, возможность достижения поставленных целей при различ- ных внешних условиях. Более того, поскольку самые разнообразные реальные процессы могут быть описаны в рамках одних и тех же математических структур (алгебраических, дифференциальных, ин- тегральных уравнений), общая теория может оперировать не с конк- ретными техническими описаниями, а с классами математических моделей. Это обстоятельство придает теории внешний облик мате- матической дисциплины. Однако по своему содержанию и направ- ленности теория автоматического управления - техническая наука. Техническое содержание проявляется при выборе типа изучае- мых общих математических моделей, но главным образом - при приложении.!! трактовке математических результатов. Во-первых, при построении системы управления конкретным объектом необходимо исходить именно из его модели, которая хотя и выбирается как частный вариант общей модели, но, как правило, обладает специфическими особенностями. Во-вторых, любая модель лишь приближенно отражает свойства реального объекта, позволяет лишь приближенно прогнозировать его реакцию на воздействия. Следовательно, важно проверять лю- бые законы управления, формально получаемые с помощью модели, на то, не приведут ли такие даже малые неточности к существен- ному изменению управляемых процессов. В-третьих, чисто математическое исследование может привести к результату, что не существует никакого закона управления, при котором удовлетворяются заданные технические условия. Инженер должен, однако, помнить, что этот вывод относителен: ведь расчет проводился при уже выбранном комплексе датчиков и исполнитель- ных устройств. Изменение этого комплекса (использование новых датчиков и ИУ) может привести и к изменению полученных выводов. Короче говоря, при технических приложениях исходными явля- ются не уравнения, а реальный объект и реально используемые тех- нические средства. Это обстоятельство неоднократно будет подчер- киваться в предстоящем курсе. Изучающий его должен обращать внимание не только на математические утверждения, но и на осо- бенности их конкретного приложения. Примеры таких приложений не менее важны, чем теоремы! СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ*) К ГЛАВЕ 1 1.1. Автоматизация производства и промышленная электропика/Под ред. А. И. Берга, В. А. Трапезникова. Т. I.— М.: Советская энциклопедия, 1962 — 424 с. 1.2. Белянин В. Н. Промышленные роботы.—М.: Машиностроение, 1957.— 398 с. / 1.3. Бесекерский В. А., Орлов В. П., Полонская Л. В., Федо- ров С. М. Проектирование следящих систем малой мощности.— Л.: Суд' промгиэ, 1958.— 508 с. 1.4. Брускин Д. Э., Зорохович А. Е., Хвостов В. С. Электрические машины и микромашины.—М.: Высшая школа, 1971.—432 с. 1.5. Бурдаков С.Ф., ПервозванскийА.А. Динамический расчет элект- ромеханических следящих приводов промышленных роботов.—Л.: ЛПИ 1982.- 72 с. 1.6. Основы проектирования следящих систем/Под ред. Н. А. Лакоты.—М.: Машиностроение, 1978.— 391 с. 1.7. Строганов Р. П. Управляющие машины и их применение.—М.: Выс- шая школа, 1978.— 264 с. К ГЛАВЕ 2 2.1. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость.—М.- На- ука, 1979.— 336 с. 2.2. Коган Б. Я. Электронные моделирующие устройства и их применение для исследования систем автоматического управления.— М.: Физматгиз, 1963.- 510 с. 2.8. Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций.— Изд. 4-е.— М.: Наука, 1978.- 415 с. 2.4. Палю де Ла Барьер Р. Курс теории автоматического управления.— М.: Машиностроение, 1973.— 397 с. 2.6. Понтрягип Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— Изд. 5-е.- М.: Наука, 1982.- 331 с. 2.6. Постников М. М. Устойчивые многочлены.—М.: Наука, 1981.—175 с. 2.7. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. I.—Изд. 15-е.—М.: Гостех- издат, 1954.— 472 с. К ГЛАВЕ 3 8.1. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования.—М.: Наука, 1966.—992. 8.2. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем.—М.: Наука, 1970,— 703 с. *) Приведенный список является списком использованных источников, а не рекомендуемой литературы, и тем более не претендует на полное отраже- ние даже основных работ но затронутым темам, СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 605 33- ?eвниaякlpMяaMикp,3^977cи6в5aOнc р- липейпые onTIMaJ™ системы унрав- зл- {"I^^.^.^L^x^a:, l^SsT тeoPeтитеcкoй —————• 3.5. ОкуневЛ. Я. Высшая алгебра.—М.: Учпедгиз, 1958—335 с s-6- ^l^M.fH'ay^a^l&l.^G.0' р- м- ЧУBCIBИTeлю-ь систем управ- К ГЛАВЕ 4 4.1. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления Т 2_М- Л.: Энергия, 1966.— 371 с. ' '' 4.2. Катков пик В. Я., ПолуэктовР.А. Многомерные дискретные сис- темы управления.—М.: Наука, 1966.—416 с. 4.3. КОЛМОГОРОВА. Н„ ФоминС. В. Элементы теории функций и функ- ционального анализа.—М.: Наука, 1968.—496 с. 4.4. Крамер Г. Математические методы статистики.— М.: ИЛ, 1948 — 631 с Ро'^13®" к' введение в стохастическую теорию управления.—М.: Мир^ l97o.— 321 с. 4.6. Первозванский А. А. О качестве регулирования частоты в энерго- системах.— Известия АН СССР, ОТН, 1957, № 1. 4.7. Первозванский А. А. Математические модели в управлении про- изводством.—М.: Наука, 1975.—617 с. 4.8. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления.— М.: Физматгиз, 1962.— 559 с. 4.9. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций— Изд. 2-е.—М.:.Наука, 1968. 4.10. Серебренников М. Г., Первозванский и А.А. Выявление скры- тых периодичностей.—М.: Физматгиз, 1965. 4.11. Фомин В. Н., Фрадков А. Л., Якубович В. А. Адаптивное уп- равление динамическими объектами.—М.: Наука, 1981.—448 с. 4.12. Чанг Ш. С. Л. Синтез оптимальных систем автоматического управле- ния,— М.: Машиностроение, 1964. К ГЛАВЕ 5 5.1. Аизерман М. А., Смирнов И. М. О применении методов малого па- раметра для исследования периодических режимов в системах не содер- жащих малого параметра.—В кн.: Памяти А. А. Андронова.—М.: Изд-во АН СССР, 1955, с. 77—92. 5.2. Бахвалов Н.С. Численные методы.— М.: Наука, 1975.— 632 с. 5.3. Браверман Э. М., Пятницкий Е. С. Прохождение случайного сигнала через абсолютно устойчивые системы.—Автоматика и телемеха- пика, 1971, т. 32, № 2. 5.4. Гелиг А. X. Об устойчивости движения систем с неединствеппым поло- жением равновесия.— ДАН СССР, 1962, т. 147, J\i 3, с. 526—528. 5.5. Гольдфарб Л. С. О некоторых нелипейностях в системах регулиро- вания.— Автоматика и телемеханика, 1947, т. 8, № 5, с. 347—383 5.6. Казаков И. Е„ Доступов Б. Г. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем.—М.: Физматгиз, 1962.—332 с. 5.7. KPa_coвcкий н- П.—Некоторые задачи теории устойчивости движе- 5-8- ку^Ки^: ^Ж1°^^^^^ н- введение в нёлинeйнУIO ^""- 5.9. Первозванский А. А. Случайные процессы в нелинейных автома- тических системах.— М.; Физматгиз, 1962.— 352 с 5.10. Попов В. М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автома- тического регулирования.— Автоматика и телемеханика, 1961, т. 22, № 8. с, уы—""У/У» СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 606 5.11. Попов Е. П., Пальто в И. П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем.— М.: Физматгиз, I960.— 792 с. 5.12. Якубович В. А. Периодические и почти периодические предельные^ режимы регулируемых систем.— В кн.: Труды III Международного кон- гресса ИФАК.—М.: Наука, 1971. 513 Вооtоn R. С. Jr. Nonlinear control systems with random inputs.— IRE Trans., 1954, CT-1, p. 9-17. 5.14. С ho Y.-S., Narendra K. S. An off-axis circle criterion for the stabili- ty of feedback systems with a monotonic non-linearity.— IEEE Tr. on AC,. 1968, Aug., p. 413—416. - К ГЛАВЕ 6 6.1. Айзерман М. .А. Классическая механика.—М.: Наука, 1974.—367 с. 6.2. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем.—М.: Мир, 1971.—400 с. 6.3. Ли Э.. Маркус Л. Основы теории оптимального управления.—М.: На- ука, 1972.— 576 с. 6.4. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов.—М.: Наука, 1974.— 696 с. 6.5. Ларин В. М., Н а у м е н к о К. И., С у н ц е в В. Н. Спектральные методы синтеза линейных систем с обратной связью.— Киев: Наукова думка, 1971.— 137 с. 6.6. Первозванский А. А., Гайигори В. Г. Декомпозиция, агрегирова- ние и приближенная оптимизация.—М.: Наука, 1979.—342 с. 6.7. Первозванский А. А. О методе замороженных коэффициентов дрв синтезе линейных регуляторов.— ДАН СССР, 1983, т. 268, № 5, с. 1075— 1078. 6.8. Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Ма- тематическое моделирование в биофизике.—М.: Наука, 1975.—344 с. 6.9. Kailath Т. Linear systems.— New York: Prentice Hall, 1980.— 682 p. См. также [3.2, 3.3, 4.2, 4.5, 4.11]. К ГЛАВЕ 7 7.1. ВерешкинА.Е.,Катковник В. Я. Линейные цифровые фильтры а их реализация.—М.: Сов. радио, 1973.—152 с. 7.2. Медич Д. Статистически оптимальные линейные опенки и управление.— М.: Энергия, 1973.— 440 с. 7.3. Цыпкин Я. 3. Теория импульсных систем.— М.: Физматгиз, 1958.— 724 с. 7.4. II,ыпкин Я. 3. Основы теории автоматических систем.— М.: Наука, 1977. 7.5. Фомин В. Н. Методы управления линейными дискретными объектами.— Л.: Изд. ЛГУ, 1985.—336 с. См. также [3.3, 4.2, 4.5, 4.11, 4.12]. К ГЛАВЕ 8 8.1. Андронов А. А., ВиттА. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний.— М.: Физматгиз, 1959.—915 с. 8.2. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова.—М.: Наука, 1970.—240 с. 8.3. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравне- ний.-М.: ИЛ, 1954.-216 с. 84. Баркип А. И. Оценки качества нелинейных систем регулирования.— М.: Наука, 1982.— 256 с. 8.5. Васильева А. Б., БутузовВ. Ф. Асимптотические разложения ре- шений сингулярно возмущенных уравнений.—М.: Наука, 1973.—272 с. 8.6. Гелиг А. X., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелиней- ных систем с неединственным состоянием равновесия.— М.: Наука, 1978. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 607 8.7. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости.— М.: Наука, 1967.— 472 с. 8.8. Красносельский А. М. Частотные признаки в задаче о вынужден- ных периодических колебаниях в метода гармонического баланса.— В кн.: VIII Всес. совещание по проблемам управления: Тезисы докладов. Кн. I.—M.: ИПУ, 1980, с. 21—23. 8.9. Красносельский М. А., Ваиникко Г. М., Забройко П. П. При- ближенное решение операторных уравнений.— М.: Наука, 1969. 8.10. Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического ре- гулирования.—М.; Л.: Гостехиздат, 1951.—216 с. 8.11. Розепвассер Е. Н. Колебания нелинейных систем: метод интеграль- ных уравнений.— М.: Наука, 1969.— 576 с. 8.12. Якубович В. А. Частотные условия автоколебаний в нелинейных сис- темах с одной стационарной нелинейностью.— Сиб. мат. журнал, 1973, т. XIV, № 5, с. 1100-1129. 8.13. Saksena V.R., O'Ralley J., Kokotovic P. Singular perturbations and time-scale methods in control theory: survey 1976—1983. Automatica, v. 20, № 3, 1984, р. 273-293. 8.14. Si1jak D. Nonlinear systems.— New York: J. Willey, 1969.— 618 p. См. также литературу к гл. 5. К ГЛАВЕ 9 9.1. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное уп- равление.— М.: Наука, 1979.— 430 с. 9.2. Аркин В. И., Евстигнеев И .В. Вероятностные модели управления и экономической динамики.—М.: Наука, 1979.—176 с. 9.3. Болтянский В. Г., ГамкрелидзеР.В.,ПонтрягинЛ.С. К те- ории оптимальных процессов.—ДАН СССР, 1956, т. 110, № 1, с. 7—10. 9.4. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управле- ния.— М.: Наука, 1966.— 308 с. 9.5. Болтянский В. Г. Оптимальное управление дискретными система- ми.— М.: Наука, 1973. 9.6. Габасов Р. Ф., Кириллова Ф. М. Оптимизация линейных систем — Минск: БГУ, 1973.— 248 с. 9.7. Гродзовский Г. Л., Иванов Ю. Н., Токарев В. В. Механика кос- мического полета с малой тягой.—М.: Наука, 1956.—680 с. 9.8. Данциг Дж. Линейное программирование, его обобщения и примене- ния.— М.: Прогресс, 1966.—600 с. 9.9. Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимакс.— М • Наука, 1972.— 368 с: 9.10. Коловскин М. 3. Автоматическое управление виброзащитными сис- темами.—М.: Наука, 1976.—320с. 9.11. Красовский Н.Н. Теория управления движением.—М.: Наука, 1968. 9.12. Куржаискии А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопреде- ленности.—М.: Наука, 1977.—392 с. 9.13. Леитман Д. Введение в теорию оптимального управления — М • Нау- ка, 1968.— 192 с. 9.14. Лэсдон Л. Оптимизация больших систем.—М.: Наука, 1975.—432 с. 9.15. Моисеев Н .Н. Численные методы в теории оптимальных систем.— М.: Наука, 1971.—424 с. 9.16. Первозванский А. А. О минимуме максимального отклонения управ- ляемой линейной системы.— Известия АН СССР, Механика, 1965, № 2. 9.17. Первозванский А. А. Полек.— М.: Наука, 1970.— 264 с. 9.18. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию.—М.: Наука. 1983.—384 с. 9.19. Розоноэр Л. И. Принцип максимума Л .С. Понтрягина в теории опти- мальных систем.— Автоматика и телемеханика, 1959, т. 20, № 10—12. 9.20. Суханов А. А. Метод решения нелинейных двухточечных краевых за- дач.— ЖВМ и МФ, 1983, № 1, с. 228—231, СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 608 9.21. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального уп- равлепия.— М.: наука, 1978.—488 с. См. также [3.3, 6.3]. К ГЛАВЕ 10 10.1. Аоки М. Оптимизация стохастических систем.—М.: Наука! 1971. 10.2. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического про- граммпрования.—М.: Наука, 1964.—457 с. 10.3. Гайпгори В. Г., ПервозванскийА.А. Асимптотические свойст- ва управлений, оптимальных в среднем.— В кн.: Математические методы оптимального управления и обработки данных.— Рязань: РРТИ, 1983. 10.4. Колосов Г.Е. Синтез оптимальных автоматических систем при слу- чайных возмущениях.—М.: Наука, 1984.—256 с. 10.5. Рей У. Методы управления технологическими процессами.—М.: Мир. 1983.- 368 с. 10.6. Флеминг У., Р пшол Р. Оптимальное управление детерминирован» иыми и стохастическими системами.— М.: Мир, 1978.— 322 с. 10.7. Черноусько Ф. Л. Некоторые задачи оптимального управления с малым параметром.— Прикладная математика и механика, 1968, т. 32,. вып. 1, с. 15—26. 10.8. Черноусько Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управле- ние колебаниями.—М.: Наука, 1980.—384 с. 10.9. Черноусько Ф. Л., Колмановский В. Б. Оптимальное управле- ние при случайных возмущениях.—М.: Наука, 1978.—352 с. 10.10. Gilbert E. Optimal periodic control.—SIAM J. on Control and Opt., 1977.. v. 15, № 5. См. также [3.3, 6.6, 7.2, 9.2, 9.12, 9.18]. К 1^ЛАВЕ 11 11.1. Адаптивная оптика/Под ред. Э. А. Ветриченко.—М.: Мир, 1980.—456 с. 11.2. Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией.— М.: Наука, 1964.— 360 с. 11.3. Деревицкий Д. П., Фрадков А. Л. Прикладная теория дискрет- ных адаптивных систем управления.—М.: Наука, 1981.—216 с. 11.4. Емельянов С. В. Системы автоматического управления с перемен- ной структурой.—М.: Наука, 1967.—336 с. 11.4д. Захаров М. Г., Кульчицкий О. Ю., Первозванский А. А. Экономный алгоритм адаптивного управления многомерным статическим объектом.— Автоматика и телемеханика, .№ 9, 1982, с. 70—76. 11.5. Катковник В. Я. Линейные оценки и стохастические задачи опти- мизации.—М.: Наука, 1976.—488 с. 11.6. Катковник В. Я., Х е и с и н В. E. Динамическая стохастическая ап- проксимация полиномиальных дрейфов.— Автоматика и телемеханика, 1979, № 5, с. 89—98. 11.7. Кульчицкий О. Ю. Алгоритмы типа стохастической аппроксимации в контуре адаптации диксретной стохастической линейной динамической модели.—Автоматика и телемеханика, 1983, № 9 (ч. I); 1984, № 3 (ч. II). 11.8. Кухтенко В. И. Динамика самопастраивающихся систем со стабили- зацией частотных характеристик.—М.:. Машиностроение, 1970.—232 о. 11.9. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление.— М.: Наука, 1966.— 176 с. 11.10. Линии к Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории наблю< дений.—М.: Физматгиз, 1962.—352 с. 11.11. Люблинский Б. С., Фрадков А. Л. Адаптивное управление нели- нейными статическими объектами с неявно заданной характеристикой.— Автоматика и телемеханика, 1983, № 4, с. 126—136. 11.12. Раибман Н". С., Чадеев В. М. Построение моделей процессов про- изводства.—М.: Энергия, 1975.—376 с. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 609 41.13. Растригин Л. А. Системы экстремального управления.—М.: Наука, 1974.— 632 с. 11.14. Уткин В. М. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управ- ления.—М.: Наука, 1981.—368 с. 11.15. Федоров В. В. Теория оптимального эксперимента.—М.: Наука, 1971.— 312 с. 11.16. Фельдбаум А. А. Теория дуального управления, I—IV.—Автомати- ка и телемеханика, 1960, т. 21, № 9, 11; 1961, т. 22, № 1, 3. 11.17. Хубер Д. П. Робастность в статистике.—М.: Мир, 1984.—304 с. 11.18. Цыпкин Я. 3. Адаптация и обучение в автоматических системах.—М.: Наука, 1968.— 399 с. ll.19. Цыпкин Я. 3. Основы информационной теории идентификации.—М.: Наука, 1984.— 323 с. 11.19д. Цыпкин Я. 3., Позняк А. С. Рекуррентные алгоритмы оптими- зации в условиях неопределенности.—В кн.: Итоги науки и техники, сер. «Техническая кибернетика»,—М.: ВИНИТИ, 1983, т. 16, с. 3—70. 11.20. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления.—М.: Мир, 1975.— 682 с. 11.21. Astrom К. J., Soderstrom T. Uniqueness of the Maximum Likeli- hood Estimates of the Parameters of an ARMA Model.—IEEE Trans., 1974, v. AC-19, No. 6, p. 763—773. 11.22. Goodwin G. С., Ramadge P. J., Caines P. E. Discrete-Time Mul- tivariable Adaptive Control.— IEEE Trans, 1980, v. AC-25, No. 3, p. 449— 456. 41.23. Goodwin G. С., Sin К. S., Saluja К. К. Stochastic Adaptive Cont- rol and Prediction.— The general delay-coloured noise case.— IEEE Trans. on AC, 1980, v. AC-25, No. 5, p. 946—950. 41.24. Goodwin G. С., Sin K. S. Stochastic Adaptive Control using modified least squares algorithm.— Automatica, 1982, v. 18, No. 3, p. 313—321. 41.25. Goodwin G. С., Payne R. L. Dynamic system identification experi- ment design and data analysis.—Newcastle: Univ. of Newcastle, 1977. 41.26. Kiefer J.,Wolfowitz J. Stochastic estimation of the maximum of a regression function.—Ann. Math. Stat., 1952, v. 23, No. 3, p. 462—466. 4.27. Landau L. D. A survey of model reference adaptive techniques.—Theo- ry and Applications.— Automatica, 1974, v. 10, p. 353—379. 11.28. Robbins H-, Monro S. A stochastic approximation method.—Ann. Math. Stat., 1951, v. 22, No. 3, p. 400—407. 41.29. Ljung L., Soderstrom T. Theory and practice of recursive identifi- cation.— Cambr., Mass.: MIT Press, 1983.— 529 p. ИЗО Adaptive control.—IEEE Proc. on A. C., 1976, v. 64, No. 8, p. 3—142. См. также [4.3, 4.5, 5.9, 7.2, 9.17, 9.18]. К ПРИЛОЖЕНИЮ 11.1 Беллман Р. Введение в теорию матриц.—М.: Наука, 1969.—367 с. 11.2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.—М.: Гостехиздат, 1953.—492 с. 11.3. Д и т к и н В. А., П р у д н и к ов А. П. Справочник по операционному ис- числению.—М.: Высшая школа, 1966.—405 с. 11.4. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления/ Под ред. Р. А. Нелепина.—М.:Наука, 1975.—448 с. 11.5. Лурье А. И. Операционное исчисление и его приложения к задачам ме- ханики.—М.; Л.: ГИТТЛ, 1951.—432 с. 11.6. Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Г. Числен- ные методы решения жестких систем.— М.: Наука, 1979.— 208 с. 11.7. Kleinman D.L. On an iterative technique for Biccati equation compu- tation.— IEEE Trans on AC, 1968, v. 13, No. 1, p. 114—115. 11.8. Man F. Т., Smith H. W. Design of linear regulators optimal for time multiplied performance indices.— IEEE Trans on AC, 1969, v. 14, No. 5. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ АВМ 13, 122, 192, 328, 531 Автоколебания 217 и д., 387 — обобщенные 404 Адаптивность 556, 579 Айзермана гипотеза 209 — диаграмма 222, 223 Алгоритм 10. 95 — адаптивный 549 — Евклида 78 — Кифера — Вольфовица 552 —— Рауса 44 — Роббинса — Монро 552 — самонастройки 570 — синтеза закона управления 95 — стабилизации 77 и д., 80 Амплитуда реакции 50 Анализ корреляционяый 545 Ансамбль реализации 140 Аппроксимация стохастическая 558 Астатизм 97, 166 АЦП 13 Базис внутреннего описания 260 Баланс гармонический 219 Баттерворта многочлен 102, 165, 290 Беллмана уравнение 489 Блок измерительный (датчиков инфор- мации, ДИ) 10 — преобразования и хранения информа- ции (ПИ) 10, 12. 14 Боде диаграмма 109 Быстродействие оптимальное 409 Быоси — Калмана фильтр 327, 519, 562 Вандермонда определитель 263 Вариация игольчатая (импульсная) 432 Вектор полной текущей информации 482 — собственный 593 . Величина случайная 140 Винера теорема 152 Воздействие входное 19 —, изменяющееся с постоянной ско- ростью 51 — отрабатываемое 85 — полиномиальное 50 — постоянное 51 — случайное 140 и д. Возмущение достаточно разнообразное 534 — нелинейное 201 — сингулярное 379 — случайное 292 и д. Восстанавливаемость 273 Вход полный векторный 263 — — скалярный 262 Вырождение 380 Выход внешний 33 Выход полный векторный 263 — — скалярный 262 Вычислитель аналоговый см. АВМ Гамильтона — Кэли теорема 264, 593 Гамильтониан 419 Гелига критерий 213 Гидротурбина 181 ид. Гипотеза Айзермана 209 — квазистатичности для непрерывных сис.Тем 505 — Лагранжа 414 — малости отклонений от программы 503 — слабой динамичности 491 — — нелинейности 499 — — управляемости 494 Годограф частотной характеристики 50 — — — модифицированной 210 Гольдфарба диаграмма 222, 223 229 Граф 27 — геориентированный 54 —— ориентированный 54 Грубость 123 Гурвица критерий 597 — неравенство 45, 62 Гурвицева матрица 371, 597 Датчик 10 — давления 12 — идеальный 12 — неидеальный 12 — относительного перемещения 11 — рассогласования 139 — температуры 12 — угловой скорости 12 Двигатель гидравлический 14 — пневматический 14 Дельта-функция 25 Детектирование синхронное 547, 549 Децибел 109 Диагонализация 261 Диаграмма Айзермана 222 — БоДе 109 — Гольдфарба 222, 229 Динамичность 569 — слабая 491 Дискретизация грубая 200 Дисперсия 141 — ошибки 168. 194 . Добротность системы 98 Достижение заданной скорости, оптими- зация 449 ' Дуальность 579 Евклида алгоритм 78 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 611 выпуклого программирования Задача 417 — линейного программирования 465 — лииейно-квадратическая 515 — линейно-квадратично-гауссова 525 — математического программирования 464 — о наименьшем уклонении 476 — о полете на максимальную дальность 496 — об оптимальном быстродействии 409 — общая математической теории опти- мального управления 408 — оптимального слежения 302 — оптимальной стабилизации 287 — оптимизации со свободным правым концом траектории 410, 424 и д. —— регулирования 70 — слежения 70 — стохастической аппроксимации 558 — Цермало навигационная 453 Зазор см. Люфт 'Закон распределения нормальный (гаус- сов) 150 — управления 10 ' — — адаптивный 579 — — оптимальный 155 — — пропордионально-дифференциаль- ный 78 — — пропорционально-интегрально-диф- ференциальный (ПИД-закон) 78 — —, реализация 121 и д. — — самонастраивающийся 569 — —, синтез в ЭСС 137 Запас устойчивости по амплитуде (мо- дулю) 124 — — по фазе (аргументу) 124 Звено апериодическое 24, 25. 43 — безынерционное 368 — «висячее» 262, 267, 363 — колебательное 43 — неустойчивое по входу 40 — типовое 24, 25 — устойчивое по входу 40 — — по начальным условиям 46 —Золотник 192. 203 Зона нечувствительности 198, 226 Идентификация объектов управления, 532, 571 — — — динамических 542 — — — линейных 542 — — — статических 542 'Изменение базиса внутреннего описа- ния 260 Измерение неполное и неточное 299. 517 и д. Импульс 25 — одиночный 546 Инвариантность 87—90 Инерционность датчика 12 Интегратор 24. 39, 43 Интегрирование в смысле Римана 142 — численное 359 Интенсивность белого шума 171 Калмана теорема структурная 264 Качество 97 — процесса стабилизации 284 Качмажа метод 559 Кифера — Вольфовица алгоритм 552 'Ковариация 293 Компенсация динамическая 91 .и д. Компенсация линейная последовательная 245 — нелинейная 247 Контур внутренний обратной связи 87 Коши формула 305 Коэффициент гармонической линеариза- ции 249 — усиления большой 108 — — статический 108 — чувствительности показателя качест- ва 161 — — функционала по параметру 474 Критерий оптимальности квадратичный 338 — — минимаксный 475 — устойчивости гармонического баланса 229 —"— Гелига 213 — — Гурвица 597 — — Ляпуцдва матричный 367 — — Найквиста обобщенный 63, 65, 124. — — по входу 43 — — по начальным условиям 46 — — Попова В. М. 207, 376 — — —, достаточность 208 — — Стодолы 43 — — Чо-Нарендры 211 Крутизна средняя характеристики нели- нейного элемента 236 Куна —Таккера условия 416 Лагранжа гипотеза 414 — множители 413 Лагранжиан 413 Лаплаеа преобразование 22, 583 — — дискретное 344, 586 — — обратное 584 Лемма Ляпунова 367 — о факторизации 101 — — — спектральной плотности 148 — о преобразовании к форме Фробениу- са — Калмана 274 — Розоноэра о приращении функциона- ла 429 — Шура 592 — Якубовича — Калмана 376, 598 Линеаризация 183, 200, 368, 471 — гармоническая 219, 230 — статистическая 239, 245 Линейность кусочная 197 Лурье уравнение 287, 299, 308, 370 ЛФХ 109 — асимптотическая 115 Люфт 198, 225 Ляпунова лемма 367 — функция 364 ид. Ляпунова — Пуанкаре теорема об устой- чивости по первому приближению 363 Марковость описания объекта 482, 511 Математическое ожидание 149 Матрица блочная 592 — блочно-диагоиальиая 592 — блочно-треугольная 592 — в форме Фробениуса 251 — весовая (переходная) 306 — гурвицева (устойчивая) 371, 597 — диагональная 588 — инциденций звеньев 254 — квадратная 587 — ковариаций векторного случайного процесса 293 — — ошибок оценивания 300 ПРВДМИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 612 Матрица неособая 591, 593 — неотрицательно-определенная 597 — обратная 591 — положительно-определенная 597 — присоединенная (союзная) 591 — симметричная 591 — транспонированная 591 — фундаментальная 305 — эрмитова 598 Матрица-столбец 587 ^ Матрица-строка 587 Машина вычислительная аналоговая см. АВМ — — цифровая см. ЭВМ Маятник, приведение в равновесие 338 Мембрана измерительная 12 Метод асимптотический малого парамет- ра 377 — Галеркина 395 — гармонического баланса 397 — градиентный 464 — динамического программирования 484 — динамической компенсации 91 — «замороженных» параметров 309, 571 — интегральных уравнений 397 — Качмажа 559 — компенсации 350 — Ляпунова второй (метод функций Ля- пунова) 363 — максимума правдоподобия (ММП) 538, 545, 562 — медленно меняющихся амплитуд 235 —множителей Лагранжа 157, 413 — наименьших квадратов (МНК) 523. 537, 544, 562 — ньютоновский 464 — операторно-структурный 250 — операторный в теории дискретных и импульсных систем 342 и д. — пространства состояний в линейной теории 250 — Пуанкаре 387 — статистической линеаризации 238 — штрафных коэффициентов 465 Многочлен Баттерворта 102. 165. 290 — характеристический 33, 258, 593 — — устойчивый 47 Множество выпуклое 417 — состояний равновесия, поточечно асимптотически устойчивое se целом 363 Множители Лагранжа 413 Мода 261 Модель дискретная линейная 316 — — приближенная 332 — — точная непрерывного объекта 231 — математическая 18, 532 и д. — недетерминированная 536 — электронная 39 — эталонная 578 Модулятор 329 Набег фазы 395 Наблюдаемость 273 Найквиста критерий 125, 229 — — обобщенный 63, 65. 124, 229 Наклон ЛАХ 109 Настройка автоматическая 569 Нелинейности 196 и д. Нелинейность безынерпионная 201, 368 — разрывная кусочно линейная 3„1 — слабая 499 Неравенство Гурвица 45, 62 Нестационарность оптимальной обратной связи 308 Нормировка типа Гудвина 560 — — Качмажа 560 Область притяжения решения 361 Обучение 580 Объект дискретный 457 — — слабодинамичный 491 — линейный по управлению и по пара» метрам 563 — неустойчивый и неминимально-фазо- вый 176 и д. Ограниченность управления 72 Оператор дифференцирования 20 — звена 22 Описание в нормальной форме 250, 251. 254 Определитель Вандермонда 263 Оптимальность в среднем 510, 549 Оптимизация 4Л7 и д., 482 — локальная 463 — — градиентного типа 464 — — ньютоновского типа 464 — по быстродействию 445 — по гарантированному результату 510 — по квадратичному критерию 338 — приближенная численная 461 — стабилизирующей обратной связи 284 — численная непрерывных систем 471 и да Оценивание 532 Оценка наилучшая состояния системы 517 Ошибка слежения 70 Параметры «замороженные» 310, 571 — модели в методе пространства состоя» ний 250 ПД-закон 79 Переменные «быстрые» 379 — «медленные» 382 — состояния 250 — фазовые 256 Перерегулирование 105 Период квантования по времени (чере* довапия импульсов) 329 ПИД-закон 78, 194 Плотность спектральная 141 — — дискретная 347 — — дробно-рациональная 146 Погрешности датчиков 139 Подматрица 592 Показатель качества 160 — — грубый 161 — — интегральный (энергетический)' 286 — — нечувствительный, инвариантный «в малом» 161 — — сводный 510 Помехи 89, 90, 139, 140 и д., 536 — в измерительных устройствах 301 Понтрягина принцип максимума 420 Попова В. М. критерий 207, 208 Порядок управления звена 19 Последовательность дискретная 317 Постоянная времени 113, 185 Потенциометр измерительный 11 Потеря устойчивости медленная 237 Правило Зст 151 Представление спектральное матричной экспоненты 261 Преобразование «вход-выход» 19 — Лапласа 22, 71, 583, 586 — — дискретное 344 — — обратное 584 — случайных процессов линейное 141 ПРВДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 613 Преобразование Фурье 141 — — быстрое 548 — — синхронное 548 Преобразователь «аналог — код» 200 — «аналог — цифра» (АЦП) 13 — дифференцирующий 66 — «цифра—аналог» 13 Принцип автоматической настройки 569 — максимума дискретный 460 — —, достаточность в выпуклых зада- чах 422 — —, необходимость 418 '— — Понтрягина 420 — суперпозиции 33 Проблема линейно-квадратичная опти- мального управления 287 —— оценивания 532 — размещения собственных чисел 274 Проводимость операторная 66 — — в цепи обратной связи 66 Программа управления 10—11, 71 Программирование выпуклое 417 — динамическое 484, 511 — линейное 465 — математическое 464 Пространство состояний 251 Процедура см. Алгоритм — оценивания рекуррентная 558 Процесс случайный 140 — — нормальный 150, 240 — — стационарный 141, 239 — — типа «кенгуру» 144 Пуанкаре теорема 377 Равновесие 205 Размещение собственных чисел 274 Ранг матрицы 593 Распределение вероятностей 149 — гауссово 150 Рауса алгоритм 44 Реакция звена 29. 48, 52 — системы 231, 259, 341 — — установившаяся 259, 346 Реализация случайной величины 140 Реализуемость строгая передаточной функции 43, 348 Регулирование 70 — угловой скорости вала турбины 181 и д. — экстремальное 550, 555 Режим скользящий 212, 507 Реле 199, 212 Риккати уравнение алгебраическое 287. 309 — — матричное 308, 384. 438 Решение неустойчивое по начальным ус- ловиям 361 — обобщенное автоколебательное 404 — периодическое 386 и д. — устойчивое асимптотически 361 — — — в целом 361 — — — по начальным условиям 361 Роббинса — Монро .алгоритм 552 Робот промышленный 16 Розоноэра лемма о приращении функци- онала 429 Ряд Фурье 398 Самонастройка 531, 569 Свертывание системы в одно звено 35 Свойства структурные дискретной ли- нейной системы 319 Связь обратная 11 Связь обратная в дискретной системе 320 — — внутренняя 86, 93 — — — в электромашинной следящей. системе 134 —— —, заданная алгоритмически 491 — — импульсная 333 — — нелинейная 248 — — оптимальная 481 — — отрицательная 57 — — по выходу 82 — — — — и его производным 75 — — по ошибке управления 152 «Сглаживание» зоны нечувствительно- сти вибрационное 247 Сдвиг по фазе реакции относительно воз- действия 50 Сервомеханизм 193, 203 Сигнал информационный 10 — приведенный 85 — управления 10 Симплекс-метод 473 Сингулярность 162, 379 Синтез закона управления 95, 137 и д. — оптимальный обратной связи 482 Система автоматического ' управления' (САУ) 15 — адаптивная 579 — асимптотической оценки 280 — астатическая 97, 166 — — с большим коэффициентом усиле- ния 106 — вполне наблюдаемая 273, 319 — — управляемая 269 — вырожденная 380 — грубая 123 — дискретная 316 и д. — —, оптимизация 457 и д. —— —, устойчивая к внешним возмуще- ниям 318 — — — по начальным условиям 318 — замкнутая (с обратной связью) 10 (см. также Связь обратная) — импульсная 328 — — линейная 230 — инвариантная 70 — линейная 19 ид., 387 — многосвязная 263 — нелинейная 196 и д., 359 и д. — непрерывная кусочно линейная 389 — разомкнутая-10 — релейная 200 — с медленно меняющимися параметра- ми 309. 382 — с переменными параметрами 304 — с типовой структурой 52 и д. — сингулярно возмущенная 379 — сходящаяся в окрестность равновесия,. (диссипативная) 363 — устойчивая по отношению к внешним» воздействиям 362 — — по начальным условиям 47, 362 — электромеханическая 28, 255 — — следящая (ЭСС) 15, 60, 85, 126. и д., 137 Скаляр 587 Скважность импульса 329 Слежение 70 — оптимальное 402 Соединение звеньев параллельное 54 — — последовательное 53 Сопротивление цепи операторное 55, 68« Состояние равновесия 205, 360 Средства автоматики технические 11 Стабилизация 74 и д., 278, 280 — импульсной обратной связью 333 — линейного объекта 571 — оптимальная 287 Статистика достаточная 525 Степень устойчивости 163, 291 614 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Степень устойчивости бесконечная ЗЗв Стодолы нритерий устойчивости 43 •Структура системы управления 19 — — — типовая ^2 и д. Схема структурная 27, 30 Тахогенератор 12 Теорема Винера 152 — Гамильтона — Кэли 264, 593 — Калмана структурная 265 — Ляпунова — Пуанкаре об устойчивости по линейному приближению 368 — о методе наименьших квадратов 537 — о разрешающих уравнениях Лурье 370 — о свертке 23 — о системе асимптотической оценки 280 — Пуанкаре 377 — разделения 301, 327. 525 — — Тихонова — Васильевой 380 — Фельдбаума 28 — Чебышева 151 — Четаева 365 Теория возмущений 376 и д. — матриц, справочные сведения 587 — нелинейная 196 и д. Термопара 12 Тест-сигнал 547 'Торможение скорейшее в заданном поло- жении 455 Точка с переменной массой 449 Точность регулирования 194 Транспонирование матрицы 590 Трение сухое 198 Удар гидравлический 188 Управление адаптивное статическим объектом 549 — — динамическим объектом 569 — — формой поверхности астрономиче- ского зеркала 568 — в скользящем режиме 507 — движением механических объектов 9. 449 и д. — запасом при неопределенном спросе 512 — импульсное непрерывными объектами 328 и д.. 338, 342 — комбинированное 87 — оптимальное по гарантированному ре- зультату 5)0 — — по ожидаемому результату (опти- мальное в среднем) 510 — по возмущению 83 — по оценкам 314 —, полетом реактивного космического аппарата 440 — при случайных возмущениях 140 и д., 292, 509, 566, 574 — релейного типа 428 — с обратной связью внутренней 86. 93 — — — — по ошибке 16. 84 — субоптимальное (приближенно опти- мальное) 490 — теплотехническими объектами 9 — химической и биологической техноло- гией 10 — электротехническими или электрон- ными объектами 9 Управляемость 269 — полная для дискретной системы 319 — слабая 494 Уравнение Беллмана (Веллмана — Га- мильтона — Якоби) 489 Уравнение гармонического баланса 219 — динамического программирования 484. — Лурье 287. 299, 308 — Риккати алгебраическое 287. 309 — — матричное 308, 438 Уравнения в форме Лурье 368 Усилитель 20 — вибрационный 236 — идеальный 24, 43 — мощности (УМ) 14 — операционный 13. 39, 66 125 — релейный 223 — электромеханический 28 Условие астатизма 97 . — Липшица 506, 553 — принадлежности сектору ГО. ftl 207 — причинности 330 — строгой реализуемости передаточной функции 43 — устойчивости абсолютной достаточное — — — необходимое 209 — — характеристического многочлена 43 Условия дополняющей иежесткости 415 —Куна—Таккера 416 — Рауса — Гурвица 45 — трансверсальности 422 " Устойчивость 40, 361 — абсолютная 209 — асимптотическая 361 — — в целом 361 — многочленов 43 — нулевого равновесного состояния в целом 207 — по входу 40, 258 — по начальным условиям 45, 206, 259, 361, 362 — по отношению к внешним воздейст- виям 362 Устройство вычислительное аналоговое см. АВМ — — цифровое см. ЭВМ — дифференцирующее 125 — исполнительное (ИУ) 10, 14 Факторизация 101 — спектральной плотности 146 Фельдбаума теорема 428 Фиксатор 230 Фильтр Баттерворта 49, 129, 131 — — низкочастотный 100 — Бьюси — Калмана 327, 519, 562 — Винера — Калмана 302 — идеальный низкочастотный 99 — формирующий 171 Форма квадратная 597 — операторная дифференциального урав- нения 20 — положительно-определенная 597 Формула Коши 305 функция весовая импульсная 546 — — матричная 258 — — преобразования «вход-выход» 23 — выпуклая 416 — единичного скачка (функция Хевисай- да) 24 — корреляционная 141 — — установившейся реакции 143 — Ляпунова 364 и д. — — квадратичная 367 — передаточная допустимая замкнутого контура 176 — — комплексная 23 — — — дискретная 345 — — линейной части системы 205 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ G15. Функция передаточная минимально-фа- зовая 113 — — неминимально-фазовая 113 — — операторная 22 — — — дискретная 343 — — — матричная 257 — — передачи по замкнутому контуру 85 — — — по разомкнутому контуру 85 — — разомкнутого контура 57 — — типовая 119 и д. — — устойчивая 46 —— переключения 428 — переходная 24, 546 — — фильтра Баттерворта 105 — формирующая 329 Фурье-преобразование корреляционной функции 141 — быстрое 548 — синхронное 548 Частота дискретная 346 — сопрягающая 114 — фильтра характерная 100 Чебышева теорема 151 Четаева теорема 365 Числа собственные матрицы 258 Чо-Нарендры критерий 211 Шаг дискретности 324 Шум 89 — белый 171 — — дискретный 324, 347 — — нормальный 327 Шура лемма 592 Характеристика амплитудно-фазовая 50 — амплитудно-частотная (АЧХ) 50 — — логарифмическая (ЛАХ) 108, 114 — фазо-частотная 50 — — логарифмическая (ЛФХ) 109 — частотная 143, 546 — — вещественная (ВЧХ) 50 — — дискретная 346 — — комплексная 49 — — мнимая 50 — — разомкнутого контура 57 Хевисайда функция 24 ЭВМ 13, 16, 118, 126, 192, 200, 243. 32S 359, 365, 531, 541, 597 Эвристика 527 Эксперимент активный 534 — параллельный 547 Экспонента матричная 258, 595 Электродвигатель 14 Элемент нелинейный 201 — переключательный (пороговый) 199 Эффект краевой 381 Якубовича — Калмана лемма 376, 59». Анатолий Аркадьевич Первозванский КУРС ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Редактор А. С. Лозняк Художественный редактор Г. М. Коровина Технический редактор Е. В. Морозова Корректор Л. С. Сомова Сдано в набор 10.03.86. Подписано к печати 28.10.86. Т-19844. Формат 60Х90/16. Бумага тип. № 3, Гарнитура обыкновенная. Печать высокая. Усл. печ. л. 38,5. Усл. кр.-отт. 38,5. Уч.-изд. л. 40,16. Тираж 12200 экз. Заказ М 105. Цена 1 р. 70 к. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15 4-я типография издательства «Наука» 630077 г. Новосибирск, 77, Станиславского, 25 </plaintext>