328                                                   ГЛАВА 12

Премия за факторный риск

Продолжая это обсуждение, посмотрим, что случится, если выражение для /З^ из урав-
нения (12.26) подставить в уравнение (12.24):

COV{F^,r^'\
r=rf+ (rя-rf)——————— h-                   (12.27)

м

Сравнение этого уравнения с уравнением (12.9) показывает, что если предположения и
APT (с одним фактором), и САРМ выполнены, то должно выполняться следующее со-
отношение:

-      COV(F„r„)
^, =(г.„-Гг)

'   \ •"    f————2———'                                (12.28)
(7..,

Сама по себе APT ничего не говорит о размере премии Я, за факторный риск.
Однако если модель САРМ справедлива, то эта теория может дать некоторую информа-
цию. Эта информация содержится в уравнении (12.28), которое верно, если предполо-
жения обеих теорий выполнены.

Представим, что фактор меняется вместе с рыночным портфелем, т.е. фактор по-
ложительно ^оррелирован с рыночным портфелем так, что COV(F^, г^) положительна14.
Если Од и (г — /у) положительны, то правая часть уравнения (12.28) положительна и
поэтому Л, положительна. Далее, поскольку Я, положительна, то из уравнения (12.9)
следует, что чем больше величина Ь^, тем больше ожидаемая доходность ценной бума-
ги15. Обобщим эти рассуждения. Если фактор положительно коррелирован с рыноч-
ным портфелем, то ожидаемая доходность ценной бумаги будет положительной функ-
цией чувствительности ценной бумаги к этому фактору.

Если фактор меняется в направлении, противоположном рыночному портфелю,
т.е. ^ отрицательно коррелировано с Т^, то А, будет отрицательной. Это означает, что
чем больше величина Ь; тем меньше ожидаемая доходность ценной бумаги. Обобщая,
можно сказать, что если фактор отрицательно коррелирован с рыночным портфелем,
то ожидаемая доходность ценной бумаги будет отрицательной функцией чувствитель-
ности ценной бумаги к этому фактору.

Рыночный индекс как фактор

Что произойдет в случае, когда доходы генерируются по однофакторной модели, но
вместо фактора промышленного производства используется доходность рыночного ин-
декса типа S&P 50СР. Рассмотрим ситуацию, в которой выполняются следующие усло-
вия: (1) доходы на индекс и рыночный портфель полностью коррелированы; (2) дис-
персии доходностей рыночного портфеля и рыночного индекса идентичны.

Во-первых, из уравнения (12.26) следует, что коэффициент «бета» акции будет равен
ее чувствительности. Учитывая только что введенные условия, получаем, что COV{F^
г^) = сг^ст^ = сг„, поэтому COV(F^, r^ / <з2^ = 1. Следовательно, уравнение (12.26) сво-
дится к /^ = 6,.

Во-вторых, при этих двух условиях A] будет равняться г^ - л. Из того, что COV{F^
г^)/о}, = 1, следует, что уравнение (12.28) сводится к Я,= 7^ - г„ Так как 8^ - л.= Я,
(уравнение (12.10в)), то 8, = г . Таким образом, ожидаемая доходность портфеля, име-
ющего единичную чувствительность к доходности индекса S&P 500, равна ожидаемой
доходности рыночного портфеля.

Подведем итог. Если может быть найден заменитель рыночного портфеля, такой,
что выполнены два введенных ранее условия, то САРМ будет выполняться в том случае,