658                                                   ГЛАВА 20

Модель Блэка-Шоулза для опционов «колл»

Рассмотрим, что произойдет с биноминальной моделью оценки стоимости опциона,
если число периодов до даты истечения возрастет. Например, для опциона на акции
компании Widget с истечением через год можно построить «дерево цены» с числом
периодов, равным числу торговых дней в году, которых насчитывается приблизительно
250. Таким образом, в конце года для акций Widget будет существовать 251 возможная
цена. Нет необходимости говорить, что действительная цена любого опциона «колл»
для такого «дерева» быстро определяется компьютером по такому же принципу, как было
показано выше для акций компании Widget. Если число периодов еще более увеличить,
считая каждый час торгового дня, тогда они будут насчитывать порядка 1750 (7х 250)
часовых периодов (что соответствует 1751 возможной цене в конце года). Обратите
внимание на то, что число периодов в году возрастает при уменьшении продолжитель-
ности каждого периода. Максимально возможным будет бесчисленное количество бес-
конечно малых периодов (и соответственно бесконечное число возможных курсов в
конце года). В таком случае модель ВОРМ, представленная уравнением (20.7), превра-
щается в модель Блэка—Шоулза, названную так в честь ее авторов'2.

20.7.1   Ограничения применения модели Блэка-Шоулза

Во-первых, данная модель будет иметь ограниченное применение, так как почти все
опционы в Соединенных Штатах являются американскими, т.е. могут быть исполнены
в любой момент времени до даты истечения, тогда как модель Блэка—Шоулза приме-
нима только для европейских опционов. Строго говоря, модель применима только к
опционам на акции, по которым не выплачиваются дивиденды в течение срока дейст-
вия опциона. Однако по большинству обыкновенных акций, на которые выписывают-
ся опционы, в действительности выплачиваются дивиденды.

Первый недостаток модели Блэка—Шоулза — применимость только для европей-
ских опционов — можно обойти довольно легко, если это опцион «колл» на акции, по
которым не выплачиваются дивиденды. Можно показать, что инвестору, купившему
американский опцион «колл» на акции, по которым не выплачиваются дивиденды,
бессмысленно исполнять такой опцион до даты истечения13. Так как нет смысла испол-
нять такой опцион до даты истечения, то сама возможность исполнения значения не
имеет. Следовательно, не будет различий в ценах американского и европейского опци-
онов «колл». В свою очередь, это означает, что модель Блэка—Шоулза может быть ис-
пользована для действительной оценки стоимости американских опционов «колл» на
акции, по которым не выплачиваются дивиденды.

Это можно наглядно увидеть на рис. 20.6, однако прежде введем новую термине
логию. Опцион «колл» называют опционом без выигрыша (at the money), если рыночная
цена базисного актива примерно равна цене исполнения опциона «колл». Если цена
актива ниже цены исполнения, то такой опцион называют опционом с проигрышем (out
of the money). Если рыночная цена выше цены исполнения, то опцион именуют опци-
оном с выигрышем (in the money). Иногда используют еще более точные характеристики,
например, можно услышать такие определения, как «около выигрыша», «с большим
выигрышем» или «с большим проигрышем».

Как было отмечено выше, стоимость опциона при немедленном исполнении на-
зывается его внутренней стоимостью. Эта стоимость равна нулю для опциона без вы-
игрыша. Если опцион с выигрышем, то стоимость равна разности между ценой актива
и ценой исполнения. Превышение цены опциона над его внутренней стоимостью на-
зывают временной стоимостью (time value) (или временной премией). Как видно из
рис. 20.3(а), временная стоимость опциона «колл» на дату истечения равна нулю. Тем
не менее до этого момента временная стоимость является положительной величиной.