Факторные модели                                              293

Ковариация

В однофакторной модели можно показать, что ковариация любых двух ценных бумаг /
и j равняется:

о„=^.(^.                           (11.5)

В примере с акциями Widget уравнение (11.5) может быть использовано для оценки
ковариации этих акций и другой гипотетической ценной бумаги, например, акций ком-
пании Whatever. Предположив, что фактор чувствительности акций Whatever равен 4,0,
ковариация акций Widget и Whatever равна:

о,. = 2 х 4 х 3 = 24.

Предположения

Уравнения (11.4) и (11.5) основаны на двух важных предположениях. Во-первых, пред-
полагается отсутствие корреляции случайной ошибки и фактора. Это означает, что
величина фактора совсем не влияет на величину случайной ошибки.

Во-вторых, предполагается отсутствие корреляции случайных ошибок любых двух
ценных бумаг. Это означает, что величина случайной ошибки одной ценной бумаги
совсем не влияет на величину случайной ошибки любой другой ценной бумаги. Други-
ми словами, доходности двух ценных бумаг будут коррелированы, т.е. будут меняться
согласованно, только вследствие общей зависимости от изменения фактора. Если ка-
кое-либо из этих предположений не выполняется, то модель является лишь прибли-
женной и другая факторная модель (быть может, с большим числом факторов) теоре-
тически может быть более точной моделью формирования дохода.

11.2.3   Рыночная модель

Теперь покажем, что рыночная модель является конкретным примером однофакторной
модели, в которой фактором служит доходность по рыночному индексу. В гл. 8 рыноч-
ная модель была записана следующим образом:

r=a/+P,/^+?,•^•                            <8-3)

Сравнение уравнения (8.3) с общим видом однофакторной модели в уравнении (11.2)
показывает их очевидное сходство. Смещение из уравнения рыночной модели соответ-
ствует значению нулевого фактора в уравнении (11.2). Далее, наклон в рыночной моде-
ли аналогичен чувствительности в обобщенной однофакторной модели. Каждое уравне-
ние - и факторной модели, и рыночной модели - включает случайную ошибку5. Нако-
нец, доходность по рыночному индексу играет роль единственного фактора.

Однако, как отмечено ранее, идея однофакторной модели не ограничивает инве-
стора использованием только рыночного индекса в качестве фактора. Могут быть ис-
пользованы многие другие факторы, такие, как предсказанный ВВП или объем промы-
шленной продукции.

11.2.4   Два важных свойства однофакторных моделей

Особый интерес представляют два свойства однофакторных моделей.

«Касательный» портфель

Во-первых, предположение о том, что доходности всех ценных бумаг реагируют на
единственный общий фактор, значительно упрощает задачу определения «касательно-
го» портфеля. Для определения его состава инвестор должен оценить все ожидаемые