656                                                   ГЛАВА 20

сказывает более быстрый ответ: опцион должен продаваться за $0. Так получается по-
тому, что через шесть месяцев акция Widget будет стоить или $100, или $80. Но незави-
симо от уровня курса акции опцион не будет стоить ничего. То есть если через шесть
месяцев курс акции равен $89,44, то инвесторы поймут, что опцион «колл» в конце года
не будет стоить ничего, и поэтому не станут за него платить.

В-третьих, представим, что время еще не прошло, т.е. сейчас момент времени 0.
В этом случае «дерево цены» можно упростить до следующего вида:

•$111,80     Р = $15,72

$100-

$89,44      Р = $0

Из уравнений (20.5) и (20.6) следует, что коэффициент хеджирования h равен 0.7030
[($15,72-$0)/($111,80- $89,44)] и сумма займа В составляет $60,41 [(0,7030 х $89,44-
— $0)/1,0408]. Применяя уравнение (20.7), получаем стоимость опциона «колл» в мо-
мент t = 0. Она равна $9,89 (0,7030 х $100 - $60,41).

На этом можно не останавливаться. Вместо рассмотрения двух шестимесячных пери-
одов можно проанализировать квартальные или 12-месячные периоды. Обратите внима-
ние на то, что число значений курса акции Widget в конце года превышает число рассма-
триваемых за год периодов на единицу. Таким образом, когда на рис. 20.5(а) рассматрива-
лись годичные периоды, то в конце года было два значения курса. Когда мы использовали
курсы за полгода, то в конце года было три курса. Отсюда следует, что при квартальных
или месячных периодах в конце года соответственно будет 5 или 13 значений курса.

20.В.2   Опционы «пут»

Можно ли использовать модель ВОРМ .пля оценки стоимости опционов «пут»? Так как
формулы охватывают любой набор выплат, то их можно использовать для этой цели.
Рассмотрим еще раз акции компании Widget в случае годичного периода, при этом цена
исполнения опциона «пут» - $100, дата истечения - один год с сегодняшнего числа.
«Дерево цены» будет выглядеть следующим образом:

^^- $125        У, = $0
$100<^^

^^^ $80         ^ = $20

Уравнение (20.5) дает коэффициент хеджирования для опциона «пут» —0,4444 [($0 - $20)/
/($125 - $80)]. Обратите внимание на то, что это отрицательная величина. Она означает,
что повышение курса акции приведет к уменьшению цены опциона.

Уравнение (20.6) показывает, что В равно - $51,28. Это — дисконтированная сто-
имость величины, которая в конце года составляет - $55,55. Так как это отрицательные
величины, то они означают сумму, которую надо заплатить за облигации (т. е. отрица-
тельная стоимость «короткой» позиции может рассматриваться как стоимость «длин-
ной» позиции).

Чтобы воспроизвести опцион «пут», следует осуществить «короткую» продажу 0,4444
акций Widget и предоставить кредит (т.е. инвестировать в безрисковую облигацию)
$51,28. Так как «короткая» продажа принесет $44,44, а за облигацию будет уплачено
$51,28, то чистая стоимость воспроизведения портфеля составит $6,84 ($51,28 - $44,44).
Таким образом, это и есть действительная цена опциона «пут».

Это та же цена, что и полученная из уравнения (20.7): $6,84 [0,4444 х$ 100- (-$51,28)],
где h = 0,4444, В= -$51,28 и Ps= $100. Таким образом, уравнения (20.5), (20.6) и (20.7)
можно использовать не только применительно к опционам «колл», но также и по от-