184                                                   ГЛАВА 7

Каждый член двойной суммы включает в себя произведение весов двух ценных
бумаг, Х^ и X., и ковариации этих двух ценных бумаг. Заметим, что нужно сложить
девять членов, для того чтобы вычислить стандартное отклонение портфеля, состояще-
го из трех ценных бумаг. То, что количество членов, которые нужно просуммировать
(9), равно числу ценных бумаг, возведенному в квадрат (З2), не является простым сов-
падением.

В общем случае вычисление стандартного отклонения портфеля, состоящего из N
ценных бумаг, требует двойного суммирования N ценных бумаг, для чего необходимо
сложить N1 членов:

К   N               1/2

(7.7)

Интересное свойство двойных сумм проявляется, когда индексы i uj относятся к
одной ценной бумаге. В уравнении (7.6) такая ситуация возникает в первом (X Х.<з„),
пятом (Х^Х^ч^) и девятом (А,Л,ст„ ) членах. Что же это означает, если индексы при
вычислении ковариации относятся к одной ценной бумаге? Например, рассмотрим пер-
вую ценную бумагу (АЫе) и случай, когда i = j = 1. Так как о„ обозначает ковариацию
ценной бумаги номер один (АЫе) с ценной бумагой номер один (АЫе), уравнение (7.5)
имеет вид:

on=Pncs}Gl•                                           <7-8)

Так как мы имеем корреляцию ценной бумаги с самой собой, то можно показать, что
рц равен +110. Это означает, что уравнение (7.8) приводится к следующему виду:

Оц= 1 хо'| х о, = <7i ,

что является стандартным отклонением ценной бумаги, возведенным в квадрат, изве-
стным как дисперсия ценной бумаги. Таким образом, в двойном суммировании ис-
пользуются и дисперсии и ковариации.

Ковариационная матрица

Как пример рассмотрим следующую ковариационную матрицу (variance-covariance matrix)
акций компаний АЫе, Baker и Charlie'.

Колонка 1 Колонка 2 Колонка 3

Строка 1	146	187	145
Строка 2	187	854	104
Строка 3	145	104	289

Элемент, находящийся в ячейке (i, j), обозначает ковариацию между ценными
бумагами / и у. Например, элемент в ячейке (1,3) обозначает ковариацию между первой
и третьей ценными бумагами, которая в данном случае равна 145. Элемент в ячейке
(/, /) обозначает дисперсию г-ой ценной бумаги. Например, дисперсия второй ценной
бумаги находится в ячейке (2,2) и равняется 854. Стандартное отклонение любого порт-
феля, состоящего из инвестиций в акции компаний АЫе, Baker и Charlie, может быть
вычислено с помощью ковариационной матрицы и формулы, приведенной в уравне-
нии (7.66).

Например, рассмотрим портфель, приведенный в табл. 7.2, который имеет следу-
ющие пропорции: ^ = 0,2325, А, = 0,4070, ^ = 0,3605: