Теория арбитражного ценообразования 325

12.4

Многофакторные модели

В случае когда доходы генерируются по двухфакторной модели вместо однофакторной,
уравнения ценообразования APT (12.7) и (12.11) получались путем введения в уравне-
ния (12.16) и (12.20) дополнительного фактора. Что произойдет с этими уравнениями,
когда доходы генерируются по многофакторной модели с числом факторов большим,
чем два? Оказывается, и в этом случае основные уравнения ценообразования снова
можно обобщить очевидным образом.

В случае k факторов (F^, F^, ..., F^) каждая ценная бумага будет обладать чувстви-
тельностями (Ьц, Ад, ..., Ь^) в следующей Аг-факторной модели:

г, = а, + b„F, + b^ + ... + V. + е,.                       (12.21)

Это в свою очередь приводит к уравнению, которое аналогично уравнениям (12.7) и
(12.6):

7, = \ + \,b„ + \,b„ + ... + \b„.                        (12.22)

Как и прежде, это — линейное уравнение, но с k + 1 неизвестными: ^., Ьц, 6д, ..., Ь^.

Расширение АРГ-уравнений ценообразования (12.11) и (12.20) для данного случая
относительно несложно. Как и прежде, Ад равно безрисковой ставке, так как безриско-
вый актив не чувствителен ни к какому фактору. Каждое значение 5 равно ожидаемой
доходности портфеля акций, имеющего единичную чувствительность к фактору./ и ну-
левую чувствительность ко всем остальным факторам. В результате уравнения (12.11) и
(12.20) обобщаются следующим образом:

~r, =^+ (S, - /y)Z>,, + (5, - r)b,^ + ... + (8^ - r)b,y                 (12.23)

Следовательно, ожидаемая доходность акции равна сумме безрисковой ставки и k пре-
мий за риск, основанных на чувствительностях акций к ^-факторам.

Синтез APT И САРМ

В отличие от APT САРМ не предполагает того, что доходы генерируются по факторной
модели. Однако из этого не следует, что САРМ не согласуется с теорией, в которой
доходы генерируются по факторным моделям. В действительности можно построить
теорию, по которой доходы генерируются по факторной модели и при этом выполня-
ются все предположения APT и САРМ. Рассмотрим подобную ситуацию.

12.5.1  Однофакторные модели

Рассмотрим, что происходит, если доходы генерируются по однофакторной модели
и этим фактором является рыночный портфель (market portfolio). В этой ситуации 8,
соответствует ожидаемой доходности рыночного портфеля и А у означает коэффициент
«бета» акции i по отношению к рыночному портфелю. Следовательно, модель САРМ
описывает этот случай.

Что делать, если доходы генерируются по однофакторной модели и этот фактор не
является рыночным портфелем? Тогда 5, соответствует ожидаемой доходности портфе-
ля с единичной чувствительностью к фактору, а Ь. означает чувствительность акции ;',
измеренную по отношению к фактору". Однако если СЛРМсправедлива, то ожидаемая
доходность ценной бумаги г связана и с ее коэффициентом «бета», и с чувствитель-
ностью: