Теория арбитражного ценообразования                              323

12.3.1   Арбитражные портфели

Для ответа на этот вопрос необходимо исследовать возможность формирования арбит-
ражного портфеля. Прежде всего арбитражный портфель должен иметь структуру, удов-
летворяющую следующим уравнениям:

Х^+Х^+Х^+Х^=0;                            (12.13)
0,9^+3^+1,8^+2^=0;                        (12.14)

2Л\ + 1,5^ + 0,7^з + 3,2^4 = 0.                       (12.15)

Это означает, что арбитражный портфель не требует от инвестора привлечения допол-
нительных средств и должен иметь нулевую чувствительность к каждому фактору.

Заметим, что мы получили три уравнения и каждое из них содержит четыре неиз-
вестных. Поскольку неизвестных больше, чем уравнений, то имеется бесконечное мно-
жество решений. Одно из решений может быть найдено, если принять Х^ равным 0,1
(произвольно выбранная величина) и затем решить уравнения для оставшихся пе-
ременных. В результате решения получим: Х^ = 0,088, Х^ = -0,108 и Х^ = -0,08.

Полученные доли представляют потенциальный арбитражный портфель. Теперь
остается проверить, обладает ли этот портфель положительной доходностью. Вычисляя
ожидаемую доходность, получаем 1,41% [(0,1 х 15%) + (0,088 х 21%) + (-0,108 х 12%) +
+ (-0,08 х 8%)]. Следовательно, найден арбитражный портфель.

Этот арбитражный портфель предполагает покупку акций 1-го и 2-го вида за счет
продажи акций 3-го и 4-го вида. Следовательно, деятельность по покупке и продаже по-
высит курсы акций 1-го и 2-го вида и понизит курсы акций 3-го и 4-го вида. В свою
очередь, это означает, что ожидаемые доходности акций 1-го и 2-го вида понизятся, а
акций 3-го и 4-го вида повысятся.

Инвесторы будут формировать такие арбитражные портфели, пока не будет до-
стигнуто равновесие. Это означает, что равновесие будет достигнуто, когда любой порт-
фель, удовлетворяющий уравнениям (12.13),(12.14) и (12.15), будет иметь нулевую ожи-
даемую доходность. При этом связь между доходностями и чувствительностями будет
линейной:

r,=Ao+Ai6i,+6,2.                            (12.16)

Как и уравнение (12.7), уравнение (12.16) линейно, но имеет три переменных /•,., Ьц и 6д.
В рассматриваемом примере одним из равновесных сочетаний являются Яд = 8,
^ = 4 и Л.2 = -2. Тогда уравнение ценообразования будет следующим:

7 = 8 + 4А,, - 26,;, .                                  (12.17)

В результате четыре рассматриваемые акции имеют следующие равновесные значения
ожидаемых доходностей:

7, = 8 + (4 х 0,9) -(2х2)= 7,6%;

7, = 8 + (4 х 3) - (2 х 1,5) = 17,0%;

7, = 8 + (4 х 1,8) - (2 х 0,7) = 13,8%;

^ = 8 + (4 х 2 ) - (2 х 3,2) = 9,6%.

Ожидаемые доходности акций 1-го и 2-го вида упали с 15 и 21%, тогда как ожидаемые
доходности акций 3-го и 4-го вида возросли с 12 и 8% соответственно. Изменение спроса
и предложения вследствие инвестиций в арбитражные портфели привело к изменениям
ожидаемых доходностей в предсказанных направлениях.