Управление пакетом облигаций                                     461

Заметим, что бескупонная облигация имеет дюрацию, равную Т, поскольку с ней
связан только один платеж. Так как для таких облигаций Р== РУ(С), то уравнение (16.3)
принимает вид:

PV(C^)
D= ———— х Т= 1 х Т= Т.

Р»

Для всякой купонной облигации дюрация будет всегда меньше, чем период време-
ни до срока погашения Т. Это также следует из уравнения (16.3). Так как максимальное
значение, которое может принимать t, равно Т, и каждое /умножается на вес PV(C)/Py,
то, следовательно, D должна быть меньше Т.

16.4.2   Связь с изменением курса облигации

Одно из следствий теоремы 5 заключается в том, что облигации, имеющие одинаковые
сроки погашения, но различные купонные платежи, могут по-разному реагировать на
одно и то же изменение процентной ставки, т.е. курсы этих облигаций могут меняться
по-разному при заданном изменении процентной ставки. Однако облигации с одина-
ковой дюрацией будут реагировать сходным образом. Таким образом, процентное из-
менение курса облигации связано с ее дюрацией по следующей формуле:

Изменение ^_п Процентное изменение
курса (в %) ~     (1 + доходность облигации) '               (ю.4а)

где символ = означает «приближенное равенство». Эта формула показывает, что когда
доходности двух облигаций, имеющих одну и ту же дюрацию, изменяются на один и
тот же процент, то и курсы этих облигаций изменяются примерно на один и тот же
процент. Равенство (16.4а) иначе можно записать в следующем виде:

Ар - п1 ^ \
-^    \^у\                        (16Аб)

где АР означает изменение курса облигации, Р - ее начальный курс, Ду - изменение
доходности к погашению облигации, у — исходную доходность к погашению.

Для примера рассмотрим облигацию, которая в настоящий момент продается по $1000
при доходности 8%. При условии, что дюрация облигации составляет 10 лет, насколько
изменится ее цена при увеличении доходности до 9%? Используя равенство (16.46), по-
лучим Ау = 9% - 8% = 1% = 0,01, отсюда Ay /(1 + у) = 0,01/1,08 = 0,00926 = 0,926% и
-D [&у /(1 + у)] = -10 (0,926%) = -9,26%, т.е. рост доходности на 1% приведет к падению
курса приблизительно на 9,26% до $926 [$1000 - (0,0926 х $1000)].

IB. 4.3   Взаимосвязь выпуклости и дю рации

Теперь будет полезно остановиться на взаимосвязи понятий «выпуклость» и «дюра-
ция». В конце концов и та, и другая имеют отношение к измерению зависимости курса
облигации от доходности к погашению. На рис. 16.3 показана природа этой зависимо-
сти. Как и на рис. 16.2, на этом рисунке представлена облигация с текущим курсом Р
и доходностью к погашению у. Заметим, что прямая есть касательная к графику кривой
в точке, соответствующей текущему курсу и доходности.

Если доходность облигации увеличится до у^, то курс упадет до Р~. И наоборот,
если доходность снизится до у~, то курс поднимется до Р^. Однако в соответствии с
уравнением (16.46) оценочные курсы будут равны Р~р и Рд соответственно. Дело в том,
что это равенство, как отмечалось ранее, является неточным. Эта неточность вызвана