292                                                  ГЛАВА 11

что совпадает с наклоном прямой линии на рис. 11.1. Это значение указывает на то, что
более высокий предсказанный прирост ВВП ассоциируется с более высокой доходно-
стью акций Widget. Если предсказанный прирост ВВП равен 5%, то акции Widget дадут
доходность 14% (4% + 2 х 5%). Если предсказанный прирост ВВП будет на 1% больше,
т.е. составит 6%, то доходность должна быть на 2% больше, т.е. равняется 16%.

В этом примере предсказанный прирост ВВП за шестой год был равен 2,9%, а
фактическая доходность акций Widget составила 13%. Следовательно, уникальная до-
ходность акций Widget (обозначенная е ) в этом конкретном году была равна 3,2%. Это
число было получено путем вычитания величины ожидаемой доходности, соответству-
ющей предсказанному приросту ВВП в 2,9%, из фактической доходности, равной 13%.
В этом случае ожидаемая доходность акций Widget составила бы 9,8% (4 + 2 х 2,9%).
Тем самым специфическая доходность получается равной +3,2% (13% - 9,8%).

В итоге однофакторная модель, представленная рис. 11.1 и уравнением (11.1), пред-
ставляет доходность акций Widget за любой конкретный период в виде суммы трех
элементов:

1. Элемент, одинаковый для всех периодов (член а).

1. Элемент, который меняется от периода к периоду и зависит от предсказанного
темпа прироста ВВП (член 6ВВП).

3. Элемент, специфический для конкретного рассматриваемого периода (член е,).

11.2.2   Обобщение примера

Этот пример однофакторной модели может быть обобщен в виде уравнения для любой
ценной бумаги / в период времени /:

/•. = a.+ b.F,+ е.,                             (11.2)
ч    i    i i    ч'                             '    '

где f— предсказанное значение фактора в период t, a 6; — чувствительность ценной
бумаги / к этому фактору. Если бы предсказанное значение фактора равнялось нулю, то
доходность этой ценной бумаги составила бы а Л е^. Заметим, что е^ - это случайная
ошибка, совершенно аналогичная той, которая обсуждалась в гл. 8, т.е. это случайная
переменная с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением о" .
Можно считать, что она определяется «вращением колеса рулетки».

Ожидаемая доходность

Согласно однофакторной модели, ожидаемая доходность ценной бумаги / может быть
записана в виде:

7,=а,+/>,7,                          (11.3)
где F обозначает ожидаемое значение фактора.

Это уравнение можно использовать для оценки ожидаемой доходности ценной
бумаги. Например, если ожидаемый темп прироста ВВП равен 3%, то ожидаемая до-
ходность акций Widget равна 10% (4% + 2 х 3%).

Дисперсия

В однофакторной модели можно также показать, что дисперсия любой ценной бумаги
i равняется:

ст^ьУ^+с^,,                         (11.4)

где - о^ дисперсия фактора F, а о^. — дисперсия случайной ошибки. Таким образом,
если дисперсия фактора равняется 3, а остаточная дисперсия — 15,2, то, согласно этому
уравнению, дисперсия акций Widget равняется:

o2= (Ух 3) + 15,2 = 27,2.