156                                                       ГЛАВА 6
5.4.4    Математическое ожидание

Нередко, будучи неуверенным относительно результата, аналитик желает (или вынуж-
ден) резюмировать ситуацию с помощью одного или двух чисел — одно указывает ос-
новную тенденцию распределения исходов, другое служит мерилом релевантного риска
(relevant risk). И доход, и риск рассматриваются в последующих главах; оставшаяся же
часть данной главы посвящена первой характеристике.

Как же можно получить одно-единственное число, которое должно охарактеризо-
вать всю совокупность возможных результатов? Очевидно, ни один способ не покажет-
ся удовлетворительным, если альтернативные результаты различаются качественно
(например, Национальная лига против Американской лиги в завоевании первенства по
бейсболу). Но если результаты различаются количественно, особенно если они разли-
чаются только по одному параметру, то возникает целый ряд возможностей.

По-видимому, самый распространенный прием заключается в том, чтобы выбрать
наиболее вероятное значение. Его называют модой (mode) распределения вероятностей
(для непрерывного распределения вероятностей мода есть результат с наивысшей плот-
ностью вероятности). Рис. 6.6 показывает моду каждого из распределений. Отметьте,
что на рис. б.6(в) — две моды: в данном случае для ответа на заданный вопрос нельзя
использовать ни одно отдельно взятое число.

Вторая альтернатива — указать величину, которая с одинаковой вероятностью мо-
жет оказаться как заниженной, так и завышенной. Она называется медианой (median)
распределения вероятностей. Как показано на рис. 6.6, она может существенно отли-
чаться от моды (мод).

Третья альтернатива — использование математического ожидания (expected value),
также известного как среднее (mean), т.е. взвешенное среднее всех возможных резуль-
татов, с использованием сопутствующих вероятностей в качестве весов. Здесь прини-
мается в расчет вся информация, отраженная в распределении: как величина, так и
вероятность реализации каждого возможного результата. Почти всякое изменение пер-
спектив или же вероятностей инвестиции повлияет на математическое ожидание.

В целом ряде случаев никакой разницы между этими тремя показателями нет. Если
распределение симметрично (каждая половина — зеркальное отображение другой) и
унимодально (существует одно наиболее вероятное ожидание), то медиана, мода и ма-
тематическое ожидание совпадают, что иллюстрирует пример на рис. 6.6(а). Аналитик,
таким образом, может мыслить в терминах, скажем, медианы, даже если искомое
число — это математическое ожидание. Только в случаях, когда распределение вероят-
ностей сильно асимметрично (см. рис. 6.6(6)), эта процедура усложняется.

В тех случаях, когда указанные величины различны, можно с полным основанием
предпочесть математическое ожидание. Как было отмечено ранее, оно учитывает все
оценки. Есть здесь и еще одно преимущество: оценки, касающиеся перспектив ценных
бумаг, служат в качестве исходных данных для создания или ревизии портфеля. Мате-
матическое ожидание доходности портфеля самым непосредственным образом связано
с математическим ожиданием доходности ценных бумаг в портфеле, однако в целом ни
медиана, ни мода портфеля не могут быть определены на основе аналогичных харак-
теристик составляющих его ценных бумаг.

В табл. 6.2 приводится пример расчета математического ожидания. Аналитик
пробует предсказать, как повлияет на курс двух ценных бумаг неожиданно объявлен-
ное выступление президента по телевидению. Аналитик описал ряд возможных заявле-
ний, начиная с изменения положения на Ближнем Востоке и кончая принятием реше-
ния относительно государственного дефицита. Альтернативы, приведенные в данной
таблице, были определены как взаимоисключающие и взаимоисчерпываюшие (т.е. каж-
дая возможная комбинация представлена в отдельной строке). После долгих раздумий
и не без некоторого трепета аналитик оценил также вероятность каждого заявления и