Факторные модели                                              299

ных и непромышленных акций соответственно. (Например, они могли бы быть компонен-
тами индекса S&P 500.) Следует, однако, иметь в виду, что как число секторов, так и состав
каждого сектора — это открытый вопрос, который остается на усмотрение инвестора9.

В двухсекторной факторной модели процесс формирования дохода по ценным
бумагам имеет тот же общий вид, что и в двухфакторной модели, описываемой уравне-
нием (11.7). Но в двухсекторной факторной модели F и F^ теперь обозначают сектор-
факторы 1 и 2 соответственно. Далее, любая конкретная ценная бумага принадлежит к
одному из секторов, 1 или 2, но не к обоим. По определению, чувствительность ценной
бумаги к фактору того сектора, к которому эта ценная бумага не относится, принима-
ется равной нулю. Это означает, что либо Ь.., либо Ь., равно нулю в зависимости от
того, к какому из секторов ценная бумага / не относится. Величина других коэффици-
ентов чувствительности нуждается в оценке. (В целях простоты ему иногда приписы-
вается значение 1.)

В качестве иллюстрации рассмотрим компании General Motors (GM) и Delta Airlines
(DAL). Двухсекторная факторная модель для GM (временной индекс /опущен для про-
стоты изложения) представлена уравнением:

'GM = "ОМ + ЬГ,mF^ + ЬGШFt + eGM •                         ( н • 13)

Однако из-за того, что <7Л/как промышленная компания принадлежит к сектору 1,
коэффициенту Ьд^ приписывается нулевое значение. После этого уравнение (11.13)
сводится к уравнению:

^.^ aGMJrbGШF^JГ ^М-                                С!-14)

Итак, в двухсекторной факторной модели для GM необходимо оценить только значе-
ния а,^, бддд и о^^. Для сравнения отметим, что в двухфакторной модели необходимо
оценить значения а-,.,, Ь„.,,, А.-,,, и а „„.

GM' uMl7 GM2     еим

Аналогично, поскольку DAL принадлежит к непромышленному сектору, двухсек-
торная факторная модель для нее имеет вид:

''DM. = "DAL + ЬI^A^.A + bDAL2F2 + е 1>AL '                        (ПА5)

что сводится к уравнению:

'DAL = °DAL + bD^A + ^AL '                          ( 1 1 •16)

так как Ь^^ приписывается нулевое значение. В итоге в двухсекторной факторной мо-
дели нужно оценить только значения Яд^, Ьу^ и о^,^.

В общем, в то время как в двухфакторной модели для каждой ценной бумаги нуж-
но оценить четыре параметра (а., Ь.., Ь., и о .), в двухсекторной факторной модели
нужно оценить лишь три параметра (а., о . и либо Ь.., либо Ь.-). Имея эти оценки
вместе с оценками для F, F-, dp, и о„, инвестор может применить уравнения (11.8) и
(11.9) для расчета ожидаемых доходностей и дисперсий для каждой ценной бумаги.
Парные ковариации могут быть оценены с помощью уравнения (11.10). Это даст инве-
стору возможность определить кривую эффективного множества Марковица, а затем
«касательный» портфель для заданной безрисковой ставки.

11.3.3   Обобщение моделей

Для обобщения модели при наличии более двух факторов придется отказаться от диа-
грамм, поскольку обсуждение выходит за рамки трех параметров. Тем не менее все
понятия остаются прежними. Для случая k факторов многофакторная модель может
быть записана в следующем виде:

г. = а. + b.,F, + b..F. + ... + b..F, + е. ,                (11.17)

it      i      it \t      Л 2t              ik kl      it'                       '       '