Опционы                                                    655

литель равен разности между выплатами по опциону в «верхнем» и «нижнем» положе-
ниях, а знаменатель - разности между выплатами по акции в этих двух положениях. В
общем виде в биноминальной модели:

Р — Р

, _   он     od

h- р _р    ,                                 (20.5)

где Р - это цена в конце периода, а индексы обозначают инструмент (о - опцион, s -
акция) и положение (и — «верхнее», d — «нижнее»).

Чтобы воспроизвести опцион «колл» в условиях биноминальной модели, необхо-
димо купить h акций [где h - коэффициент хеджирования из уравнения (20.5)]. Одно-
временно необходимо получить под ставку без риска средства путем «короткой» про-
дажи облигации. Эта сумма равна:

B=PV(hP„- Р,^),                        (20.6)

где PV— дисконтированная стоимость суммы, указанной в скобках. (Обратите внима-
ние на то, что величина в скобках - это стоимость облигации в конце периода.)"
В итоге стоимость опциона «колл» равна:

К = hP, - В ,                                (20.7)

где h и В — это коэффициент хеджирования и текущая стоимость «короткой» позиции
по облигации в портфеле, который воспроизводит выплаты по опциону «колл»; они
рассчитываются с помощью уравнений (20.5) и (20.6)

Больше чем два значения курса акции

Вполне резонно усомниться в точности модели ВОРМ, когда она основана на предпо-
ложении, что курс акции компании Widget может принимать в конце года только одно
из двух значений. В действительности курс акции Widget может принять в конце года
любое из множества значений. Однако это не создает проблемы, так как мы можем
развить модель.

Для рассматриваемого случая с акциями компании Widget разделим год на два
периода по шесть месяцев. Предположим, что за первый период курс акции Widget
может подняться до $111,80 (рост на 11,80%) или снизиться до $89,44 (падение на 10,56%).
За следующие шесть месяцев курс акции Widget может вновь или возрасти на 11,80%,
или уменьшиться на 10,56%. Таким образом, курс акции Widget будет изменяться в
соответствии с одним из направлений «дерева цены» на рис. 20.5(6) за следующий год.
Обратите внимание на то, что теперь акция Widget может в конце года иметь один из
следующих курсов: $125, $100 или $80. На рисунке также приводится соответствующая
стоимость опциона для каждого значения курса акции.

Как по данным рисунка можно определить стоимость опциона «колл» на акции
компании Widget в момент времени О? Ответ весьма прост. Изменение состоит лишь в
том, что проблема разбита на три части, каждая из которых решается таким же обра-
зом, как было показано ранее при обсуждении рис. 20.5(а). Три части должны рассма-
триваться последовательно в обратном порядке.

Во-первых, представим, что прошло шесть месяцев и курс акции Widget равен
$111,80. Какова стоимость опциона «колл» в данном узле «дерева цены»? Коэффици-
ент хеджирования h составит 1,0 [($25 — $0)/($125 — $100], а величина заимствования
В будет равна $96,08 [(1 х $100 - $0)/1,0408]. (Непрерывно начисляемая ставка без
риска соответствует дискретной ставке 4,08% для шестимесячного периода.) Из форму-
лы (20.7) стоимость опциона «колл» составит $15,72 (1 х $111,80 - $96,08).

Во-вторых, вновь представим, что прошло шесть месяцев, но курс акции Widget
равен $89,44. Хотя можно было бы воспользоваться для определения курса опциона
«колл» в данном узле «дерева цены» формулами (20.5), (20.6) и (20.7), интуиция под-