22.19 В li3 УДК 519.6 Матрицы и вычисления. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А.— М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.—320 с. Книга представляет собой справочное пособие по линейной алгебре. Это пособие охватывает как основные теоретические вопросы линейной ал- гебры, так и се численные методы. Описание ведется с учетом особенностей реализации методов на ЭВМ. Отличительной чертой данного справочного пособия является отсутствие доказательств и теоретических обоснований приводимых фактов и методов. Для студентов, аспирантов п научных сотрудников, деятельность кото- рых связана с решением задач алгебры па ЭВМ. 1702070000—038 053 (02)-84 61-83 Издательство «Наука». Главная редакция физико-математнческой литературы, 1984 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие................. 7 Глава 1. Основы теории ............. (< § 1. Множества, илементы, операции ........ 9 Операции. Группа. Иильцо. Лоле. Линейное пространство. Опера- тор. § 2. Системы векторов ............ Изоморфизм. Вектор. Линейная оболочка. Линейная зависимость. Эквивалентные системы. Ранг. Базис. § 3. Матрицы и операторы ........... 21 Матрица. Матричные операции. Траснониронание. Сопряженность. Диагональная матрица. Перестановочные матрицы. Треугольнап матрица. § 4. Определители, миноры, дополнения ....... 23 Перестановка. Определитель. Формула Бинс—Коши. Ранг матри- цы. Невырожденная матрица. § 5. Скалярное произведение . ......... 34 Скалионое произведение. Ортогональность. Ортогональное дополне- ние. Длина, угол, расстоинис. Проекцт^ и перпендикуляр. Объем системы некторов. § 6. Системы линейных алгебраических уравнений .... 42 Теорема Кронекера—Капелл и. Формулы Ирамсра. Альтернатива и теорема Фредгольма. Пссндорешеиие. Псеидообратиая матрица. Система и гиперплоскости. Проектор. § 7. Матрицы простой структуры ......... Л) Матрица преобразовании координат. Эквивалентные матрицы. По- добные матрицы. Собственные значения и векторм. Характеристи- ческий многочлен. Матрица простой структуры. Соответствующая матрица. § 8. Инвариантные подпространства ........ Инвариантное подпространство. Блочная матрица. Матрчччыи мно- гочлен. Порченой вектор. Теорема Кели — Гамильтона. Канониче- ская форма Жордана. Теорема Шура. § 9. А-матрпцы ............... /,-матри|»ы. Минимальный многочлен. Яквпвалспттн.го /.-матрицы. Инвариантный многочлен. Каноническая форма Смита. Канониче- ская форма Фробениуса. Каноничсская ((юпча Жордана. § 10. Нормальные матрицы ........... 70 Нормальная матрица. Унитарная матрица. Эрмитова матрица. Ко- соэрмитова матрица. § 11. Мультипликативные представления матриц ..... 75 1,17-разложенис. Блочное ^(7-рааложение. УН-разложенип. Полярное разложение. Сингулярные числа. Сингулярное разложение. Кропе- иерово произведение. § 12. Билинейные формы ............ 82 Билинейная форма. Квадратичная форма. Эрмитова билинейная фор- ма. Эрмитова квадратичная форма. Матрица билинейной формы. Положительно определенная матрица. Конгруэнтность. Закон инерции квадратичных форм. § 13. Билинейно метрические пространства ....... 01 Матрица и определитель Грама. Нулевые подпространства. Ортого- нальный базис. Пссвдоортогональный базис. Мсевдодвойственные Вазисы. Сопряженная система векторов. § 14. Векторные и матричные нормы ......... 98 Метрическое пространство. Нормированное пространство. Полно- та нормированного пространства. Эквивалентность норм. Норма мат- рицы. Согласованная и подчиненная нормы. § 15. Функционалы в евклидовом пространстве . . . . . . 105 Функционал. Градиент. Функционал ошибки. Множество решении системы уравнений. Спуск по функционалу ошибки. Отношение Релея. Собственные значения. Теорема Куранта — Фишера. Функ- ционал невязки. § 16. Возмущения и локализация . . ......... ПО Степенной ряд. Число обусловленности. Оценка ошибки решения систем. Локализация собственных значении. Круги Гершгорина. Спектр и малые возмущения. Малые возмущения и сингулярное разложение. § 17. Матрицы типа теплицевых .......... 118 Теплицева матрица. Представление обратно» матрицы. Циркулянт- пая матрица. Дискретное преобразование Фурье. Многоуровневые матрицы. Теплицсв ранг. § 18. Матрицы с неотрицательными элементами . . . . . !29 Неотрицательная матрица. Теорема Перрона — Фробепиуса. Цик- лическая матрица. Осцилляционная матрица. • ' § 19. Матрицы специального вида ......... 134 Якобиева матрица. Обобщенная проблема собстнснных значении. Не- которые разностные матрицы. § 20. Неравенства и оценки ........'... 141 Классические неравенства. Теорема Виландта — Гофмана. Спектр суммы эрмитовых матриц. Сингулярные числа суммы матриц. Син- гулярные числа произведения матриц. Спектр произведения эрми- товых матриц. Неравенства Г. Вепля. Мажорирующие последова- тельности. Теоремы разделения. Глана 2. Численные методы ........... 147 § 21. Математические особенности машинной арифметики . . . 147 Система счисления. Округление. Фиксированная и плавающая за- пятая. Основные гипотезы. Свойства машинных операций. Прямой и обратный анализ ошибок. § 22. Элементарные матрицы и. преобразования ...... 152. Матрица вращения. Последовательность преобразований вращения. Циклические последовательности. Процесс исключения. Матрица отражения. Элементарные неунитарные матрицы. § 23. Ортогонализация . . . .......... 1С4, Процессы ортогонализации. Ортогонализацин степенной последова- тельности. Трехчленные соотношения. Устойчивость и неустойчи- вость. Переортогонализацкя. § 24. Основные разложения матрицы на множители . , . . 171 Метод Гаусса. Перестановки. Выбор ведущего элемента. Компактная схема. Метод квадратного корня. Метод вращении. Метод отраже- ний. Нормализованный метод вращения. Метод ортогоиализации. Сравнение разложений. § 25. Решение систем с невырожденными матрицами .... 181 Обратная и прямая подстановки. Подстановка с нормировкой. Раз- личные методы решения систем. Уточнение решения. § 26. Особенности решения неустойчивых систем ..... 188 Непрерывность и разрывность решений. Сингулярное разложение. Главные проекции решения. Регуляризация. § 27. Тактика решения систем общего вида ....... 193 Сведение к двухдиагоналыюй системе. Решение двухднагональных систем. Оценка точности. Матрица неполного ранга. Сингулярное разложение двухдиагоналыюй матрицы. Регуляризация. § 28. Методы сопряженных направлений . . . . . , . 201 Общая схема. Выбор начального вектора. Условия на матрицы. Трехчленные соотношения. Матрицы в различных базисах. Мини- мизация функционала ошибок. Метод сопряженных градиентов. Метод .4Л*-минпмальных итерации. Метод Л*Л-минимальных ите- раций. Метод эрмитова разложения. Метод неполного разложения. Методы двойственных направлений. Отклонение от решения. Связь с разложением матриц. Схема с уточнением. § 29. Другие методы ............. 211 Метод оптимального исключения. Метод Жордана. Модификация обратной матрицы. Метод окаймления. Блочный метод квадратно- го корня. Методы для теплицевых матриц. § 30. Прямые и обратные итерации ......... 218 Прямые итерации. Обратные итерации. Сдвиги. Скорость и устой- чивость. Сведение к почти треугольной матрице. Последовательно- сти Релея. § 31. -алгоритмы ............. 225 ун-алгорнтм. Сходимость. Инвариантность к почти треугольной форме. Инвариантность к блочно треугольной форме. Сдвиги. Квад- ратичная скорость. Комплексно сопряженные сдвиги. QL-алгоритм. § 32. Эрмитовы матрицы ............ 233 Вычисление знаков мипоров якобиевой матрицы. Метод бисекний. Обратные итерации и ОД-алгоритм. Эффективность (^Л-алгоритма со сдвигами. Метод вращении. Стратегии выбора элементов. § 33. Метод Ланцоша . . ........... 240 Вычислительная схема. Некоторые оценки. Аппроксимации Ритца. Геометрическая интерпретация. Особенности практической реализа- ции. § 34. Общие вопросы теории итерационных методов решения сис- тем линейных уравнений .......... 245 Итерационные методы: р-шаговый метод, стационарный метод, ци- клический метод, линейный метод. Оператор перехода. Скорость сходимости. Метод Ричардсона. § 35. Методы релаксации ............ 257 Точечный и блочный методы Якоби. Метод Гаусса — .Чейделя. Ме- тод последовательной верхней релаксации. Согласованно упорядо- ченные матрицы. Теория выбора оптимального параметра релак- сации. Метод симметричной последовательной верхней релаксации. § 36. Итерационные методы для систем с монотонными матрицами 2G9 Монотонные матрицы. Регулярное расщепление матриц. Теория схо- димости. М-матрица. Матрица Стилтьеса. § 37. Методы расщепления (методы переменных направлений) 272 Необходимые и достаточные условия сходимости Коммутативный случаи. Метод Писмана — Рэкфорда. Выбор последовательности параметров. Некоммутативный случай. Попеременно треугольный метод. § 38. Чебышевские итерационные методы ....... 279 Многочлены Чебышева. Двухшаговый метод Рнчардсона. Двухшаго- выи чебышевский метод. Одношаговый чебышспский метод. Упоря- дочивание параметров. Циклический чебышевский метод. § 39. Нелинейные итерационные методы ....... 289 Метод наискорейшего спуска, метод минимальных невязок, метод минимальных ошибок. Обобщенный метод'минимальных итераций Ланцоша. Обобщенный метод сопряженных градиентов. § 40. Итерационные методы решения систем с вырожденными матрицами ............... 298 Стационарные методы. Достаточное условие сходимости. Методы релаксации Методы расщепления. Обобщенный метод сопряжен- ных градиентов. Метод фиктивных компонент. Решение несовмест- ных систем. Литература ................. 308 Предметный указатель .............. 312 ПРЕДИСЛОВИЕ Линейная алгебра со своим математическим аппаратом и чис- ленными методами исключительно активно проникает в самые различные области, в особенности связанные с вычислениями. Построение процесса решения сложной проблемы на основе сведения к последовательности решений задач линейной алгеб- ры является в настоящее время одним из важнейших направ- лений развития вычислительной математики. Как правило, в прикладных задачах линейная алгебра игра- ет вспомогательную роль. С точки зрения специалиста, решаю- щего основную проблему, единственное, что требуется от линей- ной алгебры,— это предложить подходящий способ решения его частной задачи. Довольно часто такой способ можно выбрать из уже имеющегося обширного багажа теоретических и практиче- ских знании в области линейной алгебры. Однако не менее ча- сто это сделать не удается. Оказывается, что существующие зна- ния не учитывают специфику основной проблемы, и поэтому не- возможно решить задачу даже с использованием ЭВМ с нужной степенью эффективности из-за недостаточной скорости, точности или нехватки ресурсов вычислительной техники. После этого начинается утомительный поиск необходимых фактов с целью конструирования подходящего численного метода. Настоящая книга предназначена для оказания помощи чита- телю в осуществлении такого поиска. Она представляет собой монографию справочного характера. Главная ее отличительная черта заключается в полном отсутствии каких-либо доказа- тельств. Изложены только факты, определения и вычислитель- ные схемы. В необходимых случаях приведены краткие поясне- ния. Материал систематизирован и описан таким образом, что каждый нозый факт является, в основном, следствием предыду- щих. Поэтому данную книгу можно рассматривать п как кон- спективное изложение основ теории матриц и численных мето- дов. Порядок расположения определений и фактов в целом соот- ветствует порядку их изложения в курсах линейной алгебры и численных методов, читаемых в высших учебных заведениях. .Весь материал книги разбит па две главы. Первая глава по- священа основам теории, вторая — численным методам. Содер- 8 ПРЕДИСЛОВИЕ жание отдельных параграфов приведено в оглавлении после их названия. Для указания расположения утверждений принят.» двойная нумерация: левые цифры означают номер параграфа, правые —^ порядковый помер утверждения в данном параграфе. Все необходимые пояснения выделены петитом и не отмечены нумерацией. В случае необходимости ссылок на факты из тек- ста пояснений они даются по ближайшему утверждению с но- мером. Обилие теоретического и вычислительного материала в об- ласти линейной алгебры не позволило дать достаточно полное изложение всех ее разделов в одной книге. Поэтому авторы огра- ничились описанием лишь тех из них, знание которых особенно необходимо широкому кругу читателей. В случае имеющейся неоднозначности в определениях, терминологии и классифика- ции, как правило, излагается наиболее распространенная точка зрения. В этой книге §§ '1—17, 20—33 написаны В. В. Воеводиным §§ 18. 19. 34-/iO-K). А. Кузнецовым. В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов ГЛАВА 1 ОСНОВЫ ТЕОРИИ § 1. Множества, элементы, операции В этой книге мы будем рассматривать то или иные совокупности объек- тов, объединенных некоторым общим признаком. Число различных видов объектов будет невелико. В основном это матрицы и векторы. Однако боль- шое число признаков, связывающих объекты, порождает огромное разно- образие их совокупностеп. Совокупность объектов, объединенных общим .признаком, принято на- зывать множеством, а сами объекты — элементами множества. Как прави- ло, мы будем обозначать множества прописными латинскими буквами: А, В. ..., а их элементы—малыми: а, 6, ... Мы будем писать же Л, если элемент х принадлежит множеству А, и хфА, если элемент х не принад- лежит множеству Л. Иногда для удобства мы будем вводить в рассмотре- ние так называемое пустое множество (т. е. множество, которое пе содер- жит ни одного элемента) и обозначать его 0. Среди всевозможных множеств особый интерес вызывают те, над эле- ментами которых допускается выполнение некоторых операции. Пусть за- дано некоторое множество А, содержащее хотя бы один элемент. 1.1. Будем говорить, что в множестве А определена алгеб- раическая операция, если указан закон, по которому любой паре элементов а, Ь, взятых из этого множества в определенном по- рядке, однозначным образом ставится в соо-тветствие некоторый третий элемент с, также принадлежащий этому множеству. Эта операция может быть названа сложением, и тогда с будет назы- ваться суммой элементов и и 6 и обозначаться символом с = а + Ь; эта операция может быть названа умножением, и тогда с будет называться произведением элементов а и и и обозначаться символом с = а6. Вообще терминология и символика для операции, определенной в мно- жестве А, пе будет играть в дальнейшем какой-либо существенной роли. Как правило, мы будем пользоваться символикой суммы и произведения независимо от того, каким образом определена операция в действительно- сти. Если же нам потребуется подчеркнуть некоторые общие свойства ал- гебраической операции, то будем обозначать операцию символом *. 1.2. Алгебраическая операция называется коммутативной, ес- ли результат ее применения не зависит от порядка выбора эле- ментов, т. е. для любых двух элементов я и Ь из заданного мно- жества имеет место равенство а * Ь == Ь « а. ЛИТЕРАТУРА Бахвалов Н. С. Численные методы.—М.: Наука, 1975. Беллман Р. Введение в теорию матриц.— М.: Мир, 1969. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений.—Т. 1. Изд. 3-е. М.: Наука, 1966; Т. 2. Изд. 2-е. М.: Физматгиз, 1962. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференци- альных уравнений в частных производных.— М.: ИЛ, 1963. Воеводин В. В. Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы.—М.: Наука, 1966. Воеводин В. В. Ошибки округления и устойчивость в прямых методах линейной алгебры.— М.: Изд-во МГУ, 1969. Воеводин В. В. Линейная алгебра.— М.: Наука, 1980. Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры.— М.: Нау- ка, 1977. Вычислительные методы линейной алгебры. Тр. I Всесоюзной конферен- ции.— Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1969. Вычислительные методы линейной алгебры. Тр. II Всесоюзной конферен- ции.— Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1972. Вычислительные методы линейной алгебры. Тр. III Всесоюзной конферен- ции.— Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1974. Вычислительные методы линейной алгебры. Тр. IV Всесоюзной конферен- ции.— Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1977. Вычислительные методы линейной алгебры. Тр. V Всесоюзной конферен- ции.— Новосибирск, ВЦ СО АН СССР. 1980. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.—М.: Наука, 1967. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре.—М.: Наука, 1971. Годунов С. К. Решение систем линейных уравнений.— Новосибирск: Наука, 1980. Дьяконов Е. Г. Разностные методы решения краевых задач.— М.: Изд-во МГУ, 1971. Икрамов X. Д. Задачник по линейной алгебре.—М.: Наука, 1975. . Икрамов X. Д. Разреженные матрицы.— В кн.: Математический анализ. Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1982. Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложе- ниями.— М.: Наука, 1968. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика.— М.: Мир, 1969. Ланкастер П. Теория матриц.— М.: Наука, 1978. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа.— М.: Физматгиз, 1961. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры.— М.: Наука, 1970. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных нера- венств.— М.: Наука, 1972. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики.—М.: Наука, 1980. Марчук Г. И., Кузнецов Ю. А. Итерационные методы и квадратич- ные функционалы.— Новосибирск: Наука, 1972. Марчук Г. И., Лебедев В. И. Численные методы переноса нейтро- нов.— М.: Атомиздат, 1981. Мили В. Э. Численный анализ.— М.: ИЛ, 1951. Островский А. М. Решение уравнений и систем уравнений.— М.: ИЛ, 1963. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений.— М.: Мир, 1983. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее прило- жения.— М.: ИЛ, I960. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре.—М.: Наука, 1967. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем.—М.: Наука, 1971. Самарский А. А. Теория разностных схем.— М.: Наука, 1977. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных урав- нений.— М.: Наука, 1978. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения.— М.: Мир, 1980. Тихонов А. Н., Арсении В. Я. Методы решения некорректных за- дач.— М.: Наука, 1979. Тыоарсои Р. Разреженные матрицы.— М.: Мир, 1977. Уилкинсон Дж., Раинш К. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра.— М.: Машиностроение, 1976. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений.— М.: Наука, 1970. Фаддеев Д. К., Соминский И. Я. Сборник задач по высшей алгеб- ре.—М.: Наука, 1972. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной ал- гебры.— М.— Л.: Физматгиз, 1963. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Зап. научи, семин.— Л.: ЛОМИ АН СССР, 1975. Фаддеева В. Н., Кузнецов Ю. А. и др. Вычислительные методы ли- нейной алгебры. Библиографический указатель 1828—1974.— Новоси- бирск: Наука. 1976. Фаддеева В. Н., Икрамов X. Д. и др. Вычислительные методы ли- нейной алгебры. Библиографический указатель 1975—1980.— Л.: Наука, 1982. Фаддеева В. Н„ Колотилина Л. Ю. Вычислительные методы линей- ной алгебры. Набор матриц для тестирования.— Л.: Наука. Ч. I, 1982; Ч. II. III. 1983. Форсайт Дж., Моллср К. Численное решение систем линейных алге- браических уравнений.— М.: Мир, 1969. фрезер Р., Дункан В., Коллар А. Теория матриц и ее приложения к дифференциальным уравнениям и динамике,— М.: ИЛ, 1950. Хаусхолдер А. С. Основы численного анализа.— М.: ИЛ, 1956. Япенко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач матема- тической физики.— Новосибирск: Наука, 1967. Aitkеп А. С. Determinants and matrices.— Edinburgh — London: Oliver and Boyd, 1956. Alefeld G., Herzberger J. Einfuhrung in die Intervallrechnung. Man- hcini u. a.: B. I.— Wisscnschaftverl., 1974. Alien D. N. de G. Relaxation methods.—New York — Toronto — London: McGraw-Hill, 1954. Bauer F. L.,Heinhold J., Samelson K., Sauer B. Moderne Rehe- nanlagen; eine Einfuhrung.— Stuttgart: B. G. Teubner, 1965. Bjerhanimar A. Theory of errors and generalized matrix inverses.— Am- sterdam: Elsevier, 1973. Blumental B. Einfuhrung in die Matrizenrechnung, Allgemeeinverslandl. Darst. fur Nichtmathematiker.—-Berlin; Verl. Tchnik, 1960. Bunch J.,Rose D. (Eds.). Sparse matrix computations.—New York — San Francisco — London: Academic Press, 1976. Сullen С. G. Matrices and linear transformations.— Reading — London: Ad- dison-Wesley, 1966. Dekker T. J. Evaluation of determinants, solution of systems of linear equa- tions and matrix inversion.— Amsterdam: Bekenafdeling, 1963. Durand E. Solutions numeriques des equations algebriques. T. 2.—Paris: Masson, 1961. Forsythe G.E. A numerical analyst's fifteen-root shelf.— Math. Tables and Other Aids Comput., 1953. Forsythe G. E. Tentative classification of methods and bibliography on solving systems of linear equations.— Nat. Bur. Stand. Appl. Math. Ser., 1953, 29, p. 1—28. Fox L. An introduction to numerical linear algebra.— Oxford: Clarendon Press, 1964. Fox L., P а г k e г I. B. Chebyshev polynomials in numerical analysis.— Lon- don: Oxford Univ. Press, 1968. Froberg G.-E. Introduction to numerical analysis.—Reading—London: Addison-Wesley, 1965. Gastinel N. Analyse numerique lineaire.— Paris: Hermann, 1966. Gоuг1av A. R., Watson G. A. Computational methods for matrix eigen- problems.— London: J. Wiley, 1973. Gгaeub W. Lineare Algebra.— Berlin; Springer, 1958. Hammerling S. J. Latent roots and latent vectors.— London — Toronto — Buffulo: Higler and Watts — Univ. Toronto Press, 1970. Hamming R. W7. Numerical methods for scientists and engineers.— New York: McGraw-Hill, 1962. Henrici P. Elements of numerical analysis.—New York: J. Wiley, 1964, Householder A. S. The theory of matrices in numerical analysis.— New York: Blaisdell, 1964. Householder A. S. Kwic index for numerical algebra.—Oak Ridgo: Oak Ridge National Laboratory, 1972. Householder A. S. Kwic index for numerical algebra.— Oak Ridge: Oak Ridge National Laboratory, 1973. Householder A. S. Kwic index for numerical algebra.— Oak Ridge, Oak Ridge National Laboratory, 1975. Khabaza I. M. Numerical analysis.—Oxford—London: Pergamon Press, 1965. Korganoff A., Pavel-Parvu M. Methodes de calcul numerique. T. 2. Elements de theorie des matrices carrees et rectangles en analyse en ana- lyse numerique.— Paris: Dunod, 1967. Lancaster P. Lambda matrices and vibrating systems.— Oxford: Pergamon Press, 1966. Lewis Т. О., В о u 11 i о n Т. L.. О d e 11 P. L. A bibliography on genera- lized matrix inverses.— Proc. Symp. on Theory and Appl. on Generalized Inverses of Matrices, Texas tech. college.— Lubbock: Texas, 1968, 283—315. Marcus M., Mine H. Introduction to linear algebra.— New York: McMil- lan; London: Collier — McMillan, 1965. Moore R. E. Interval analysis.— Englewood Cliffs, N. Y.: Prentice — Hall, 1966. Parker W. V., Eaves J. C. Matrices.— New York: Ronald Press, 1960. Rао С. R., Mitra S. K. Generalized inverse of matrices and its applica- tions.— New York: J. Wiley and Sons, 1971. Reid J. K. (Ed.) Large sparse sets of linear equations.— London — New York: Acad. Press, 1971. Rose D. J., W^lloughby R. A. (Eds). Sparce matrices and their appli- cations.— New York — London: Plenum Press, 1972. Schwarz H. R. Numerik symmetrischer Matrizen.—Stuttgart: Teubnor, 1968. Sсhwагz II. R., Rutishausсг H., Stiefe1 E. Numerik symmelrischer Matrizen.— Stuttgart: Teubner, 1972. Stantоn R. G. Numerical methods for science and engineering.— Englewo- od Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, 1961. Stewart G. W. Introduction to matrix computations.— Now York: Acad. Press, 1973. Stiefel E. Einfuhrung in die numerische Mathematik.— Stuttgart; Teubner, 1961. Stоeг J. Einfuhrung in die Numerische Mathematik. Bd. I.— Berlin: Sprin- ger, 1972. Stoer J., Bulirsch R. Einfuchrung in die Numerische Mathematik. Bd. 2.— Berlin: Springer, 1973. Tuгnbu11 H. VV. The theory of determinants, matrices and invariants.— New York: Dover, 1960. Turnbull H. W., A i t k e n A. C. An introduction to the theory of canoni- cal matrices.— New York: Dover, 1961. Vагga R. S. Matrix iterative analysis.— Englewood Cliffs, N. J.: Prentice- Hal i, 1962. Weгner H. Praktische Mathematik. I. Methoden der Linearen Algebra.— Berlin: Springer, 1970. Wes11ake J. R. A handbook of numerical matrix inversion and solution of linear equations.— New York: J. Wiley, 1968. Wi1kinsоn J. H. Rounding errors in algebraic processes.— London: H. M. Stat. Off., 1963. Wilkinson J.H., Rcinsch C. Linear Algebra.—Berlin: Springer, 1971. Young D. M. Iterative solution of large linear systems.—New York— London: Acad. Press, 1971. Zurtnuh1 R. Matrizen und ihre technischen Anwcndungen.— Berlin: Sprin- ger, 1961. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Адамара неравенство 5.66 Аксиомы метрики 14.1 Алгоритм QL 31.37 — QR 31.1 — — со сдвигами 31.24 Алгебраическая операция 1.1 — — ассоциативная 1.3 — — коммутативная 1.2 Алгебраическое дополнение 4.23 Альтернатива Фредгольма 6.29 Анализ ошибок обратный 21.29 — — прямой 21.27 Аннулирующий многочлен матрицы 9.21, 9.33, 23.17 База системы векторов 2.39 Базис Жордана 8.63 — ортогональный 13.49 — пространства 2.51, 7.7 — - - естественный 2.14 — псевдоортогональный 13.54 — сингулярный 11.46 Базисные столбцы 4.34 — строки 4.34 Базисный минор 4.33 Базисы двойственные 13.60 — одноименные 7.6 — пссвдодвопственные 13.61 Билинейная форма 12.1, 12.34 — —, дефект 12.76 — — кососимметричная 12.7, 12.28 — —, матрица 12.42 — — невырожденная 12.77 — —, ранг 12.75 — — симметричная 12.6, 12.28 — — эрмитова 12.24 Билинейно-метрическое простран- ство 13.1 — — — вырожденное 13.8 — — —, дефект 13.7 — — — невырожденное 13.8 — — —, ранг 13.6 Бине — Ноши формула 4.26 Биортогональные системы 5.61 Ведущий элемент 24.11 — —, стратегии выбора 24.12 Венля Г. неравенство 20.20 lieKTop 1.31, 2.4, 3.10 —, высота 8.58 —, длина 5.40 — единичный 2.13 — изотропный 12.15 —, координата 2.5 — корневой 8.45 — направляющий 6.70 — невязок 34.3 — неотрицательный 18.7 —, норма 14.20 — нормальный 6.61 —нормированный 5.7, 14.27 — нулевой 2.8 — ошибок 34.2 — подходящий 28.10 — положительный 18.7 —, проекция 5.26 —, — па гиперплоскость 6.66 —, — ортогональная 5.53 —, произведение на число 1.31, — противоположный 2.9 —, разложение по базису 2.52 — Ритца 33.21 — сдвига 6.56 — — столбец 3.10 — — строка 3.10 Векторное пространство 1.31 Векторы, база системы 2.39 —, биортогональные системы 5.61 —, двойственные системы 5.61 — коллинеарные 5.6 —, линейная комбинация 2.17 —, — оболочка 2.18 —, линейно зависимая система 2.20 —, — независимая система 2.21 —, нормированная система 5.8 —, объем системы 5.65 —, ортогональная система 5.11 — ортогональные 5.10 —, ортонормирвваниая система 5.12 —, псевдоортогепальная система 13.59 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 313 Векторы, ранг системы 2.39 —, расстояние 5.48 —, скалярное произведение 5.1, 5.2 —, сопряженные системы 13.66 —, сумма 1.31, 2.6 —, угол 5.45 —, эквивалентные системы 2.34 Вилапдта — Гофмана теорема 20.9 Возмущение 16.1 — эквивалентное 21.28 Гапкелсва матрица 17.54 Ггльдера неравенство 20.2 Гсршгорипа круг 16.29 Гиперплоскость 6.60 — диаметральная 15.30 —, проекция вектора 6.66 Группа 1.17 — абелева 1.23 —, единичный элемент 1.18 — коммутативная 1.23 — конечная 1.17 —, нулевой элемент 1.23 —, обратный элемент 1.19 —, противоположный элемент 1.23 Двойственные системы векторов 5.61 Делитель пуля 1.28 Дефект билинейной формы 12.76 — матрицы 6.24 Дискретное преобразование Фурье 17.21, 17.23 Жордапа каноническая форма 8.69, 8.75 — канонический ящик 8.68 Закон инерции квадратических форм 12.92 Изоморфные пространства 2.1 — — евклидовы 5.72 — — унитарные 5.72 Инвариантное подпространство 8.1 Инверсия 4.3 Индекс импримитивности 18.13 — инерции квадратичной формы 12.93 — цикличности 18.13 — эквивалентности 22.23 Инерции квадратичных форм закон 12.92 Каноническая форма Жордапа 8.69, 8.75 — — Смита 9.56 — — фробепиуса 9.68 Канонический ящик Жордана 8.68 Квадратичная форма 12.14, 12.34 — — вещественная 12.19 ——, закон инерции 12.92 — — знакопостоянная 12.22 — —, индекс инерции 12.93 — — положительно определенная 12.21 — —, сигнатура 12.93 — — эрмитова 12.34 Класс 1.6. Кольцо 1.24 —коммутативное 1.25 Композиционный тип матрицы 17.46 Конгруэнтные матрицы 12.79 Коши — Буняковского неравенство 5.5, 20.3 Коэффициент перекоса 16.44 Крамера формулы 6.23 Критерий Сильвестра 12.51 —цикличности 18.17 —Якоби 12.53 Кропекера — Капелли теоремы 6.14 Кронекерово произведение матрица 11.51 Круг Гершгорина 16.29 Куранта — Фишера теорема 15.40 Кели формулы 11.35 Лагранжа тождество 20.6 Лапласа теорема 4.24 Линейная комбинация 2.17 — оболочка 2.18 Линейно зависимая система 2.20 — независимая система 2.22 Линейное пространство 1.31 Мажорирующая последовательность 20.21 Матрица 3.4 —, аннулирующий многочлен 9.21 — ассоциативная 4.65 —, базисные столбцы 4.34 — билинейной формы 12.42 —, блок 8.9 — блочная 8.9 —, внедиагональные элементы 3.39 — вполне неотрицательная 4.63 — — положительная 4.63 — вращения 22.1 — вырожденная 4.49 — ганкелева 17.54 —, главная диагональ 3.39 —, главное сингулярное подпро- странство 26.7 — Грама 13.3 —, граф направленный 18.2 —, — сильно связанный 18.3 — двоякостохастическая 18.34 — двухдиагоиальная 27.1 314 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Матрица, дефект 6.24 —, дефектная 7.41 — диагональная 3.45 —, диагональные элементы 3.39 —, доминирующая диагональ 16.27, 35.3, 35.4 — единичная 3.47 — импримитивная 18.13 — квадратная 3.7 —, квадратный корень 12.66 —, клетка 8.9 — комплексно-сопряженная 3.35 — композиционного типа 17.46 — кососамосопряженная 10.52 — кососимметричная 10.56 — косоэрмитова 10.52 —, коэффициент перекоса 16.44 —ленточная 17.10 —, минимальный многочлен 9.24 —, — —, аннулирующий вектор 9.33, 23.17 — модифицированная 29.9 —, модуль 18.26 — монотонная 36.1 — невырожденная 4.49 — неотрицательная 18.1 — неразложимая 16.38 —, нижняя грань 14.48 — нильпотентная 8.54 —, норма 14.4 —, — аддитивная 14.46 —, —мультипликативная 14.45 — —, обобщенная 14.46 —, — подчиненная 14.56 —, — согласованная 14.54 —, — спектральная 14.48 — нормальная 10.1 — нулевая 3.43 —, образ 6.24 — обратная 4.56 — — обобщенная 6.44 — ортогональная 10.36 — ортогонального проектирования 6.72 — осциляцпонная 18.40 — отражения 22.37 — перестановок 3.54 — перехода 34.24 —, перманент 4.70 —персимметричная 17.13 —положительная 18.1 —положительно определенная 12.47 — — полуопределенная 12.47 — полного ранга 4.41 —, полярное разложение 11.28 —почти треугольная 28.26, 30.18 — преобразования координат 7.1 — преобразования Фурье 17.19 — примитивная 18.3 Матрица присоединенная 4.53 —, произведение на число 3.18 — простого поворота 22.1 — простой структуры 7.41 — прямоугольная 3.7 — псевдообратная 6.44 —, размер 3.6 — разреженная 11.73 —, ранг 4.32 —, регулярное расщепление 36.3 — самосопряженная 10.41 —, свойство «Л» 35.29 — симметричная 10.56 —, сингулярное разложение 11.48 —, —число 11.39 —, сингулярный базис 11.46 — скалярная 3.46 —, скелетное разложение 6.42 —, след 3.40 —, собственное значение 7.19 —, собственный вектор 7.19 — согласованно упорядоченная 35.26 — соответствующая 7.61 — сопряженная 3.37 —, спектр 7.19, 34.48 —, спектральный радиус 16.20 —, степень 8.32 — Стилтьеса 36.31 — столбцевая 3.8 — стохастическая 18.28 — строго треугольная 3.60 — строчная 3.9 —, теплпцев ранг 17.57 — теплицева 17.1 — типа Mr 22.57 — — Nr 22.67 — тождественного преобразования 3.47 — транспонирования 3.33 — трапецевидная 12.81 — — каноническая 12.82 — —нормализованная 24.36 — треугольная 3.59 — трехднагональная 17.10 — унитарная 10.19 —, уровень разбиения 17.43 — Фробениуса 9.66 —, характеристический многочлен 7.23 — циклическая 18.13 — циркулянтная 17.9 —, число обусловленности 16.4, 26.11 —, элемент 3.5 — элементарная неунитарная 22.53 —, элементарный делитель 9.70 —, — — линейный 9.70 —, — — нелинейный 9.70 — эрмитова 10.41 —, эрмитово разложение 10.49 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 315 Матрица, ядро 6.24 — якобиева 19.1 —, /^'-разложение 11.7 —, — блочное 11.14 —, <?Я-разложение 11.23 М-матрица 9.1 ^-матрица 9.1 —, инвариантный многочлен 9.52 —, ранг 9.48 — регулярная 9.4 —, степень 9.2 — унимодулярная 9.42 —, элементарные операции 9.39 Матрицы вращения, индекс эквива- лентности 22.23 — —, несвязанная последователь- ность 22.14 — —, сильно связанная последова- тельность 22.12 — —, циклические последовательно- сти 22.24 — —, эквивалентные последователь- ности 22.20 — коммутирующие 3.25 — конгруэнтные 12.79 —, кронекерово произведение 11.51 — перестановочные 3.25 — подобные 7.14 —, произведение 3.20 — равные 3.15 —, разность 3.19 —, сумма 3.17 —, —прямая 8.73 , —, тензорное произведение 11.51 — эквивалентные 7.9 ^-матрицы, остаток 9.9, 9.10 —, произведение 9.6 —, сумма 9.5 —, частное 9.9, 9.10 — эквивалентные 9.45 Мантисса 21.15 Матричный многочлен 8.33 Машинный нуль 21.19 Метод бисекций 32.14 —вращении 24.27, 25.15, 30.20, 32.29 — — нормализованяый 24.33, 25.16 — — с оптимазгвпый 32.30 — — с, барьерами 32.30 — — циклический 32.30 — Гаусса 24.2, 25.10 — —, компактная схема 24.18, 25.11 — Гаусса — Зейделя блочный 35.10 — — — обобщенный 35.16 — — — точечный 35.9 — двойственных направлений 28.43 — Жордана 29.8 — квадратного корня 24.24, 25.12 — — — блочный 29.14 — Лапцоша 33.14 Метод линейный 34.10 — минимальных итераций 28.36, 28.37, 39.34 — — — обобщенный 39.35 — — невязок 39.22 — — ошибок 39.27 — наискорейшего спуска 39.18 — неполного разложения 28.39 — одновременных смещений 35.1 — — — блочный 35.2 — окаймления 29.12 — оптимального исключения 29.1 — ортогонализации 24.38, 25.17 — отражений 24.30, 25.13 — — нормализованный 24.37, 25.14 — переменных направлений 37.1 — Писмапа — Рэкфорда 37.11 — попеременно-треугольный 37.36 — последовательной верхней релак- сации 35.12 — — — — модифицированный 35.41 — — — — обобщенный 35.16 — — — — симметричный 35.47 — последовательных смещений 35.10 — — — блочный 35.10 — простой итерации 34.50 — — — обобщенный 34.56 — расщепления 37.1 — — коммутативный 37.4 — регуляризации 26.30 — Ритца 33.14 — Ричардсона 34.50 — — обобщенный 34.56 —, скорость сходимости асимптоти- ческая 34.34 —, — — средняя 34.33 — сопряженных градиентов 28.35 — — — обобщенный 39.39 — — направлений 28.18 — стационарный 34.6 — сходящийся 34.18 — циклический 34.7 — чебышевский 38.1 — —.циклический 38.29 — эрмитова разложения 28.38 — Якоби 32.29 — — блочный 35.2 — — точечный 35.1 — — экстраполяционный 35.6 — р-шаговый 34.5 Метрики аксиомы 14.1 Метрическое пространство 14.1 Минковского неравенство 20.4 Минор 4.18 —, алгебраическое дополнение 4.23 — базисный 4.33 — ведущий 4.19 — главный 4.19 — дополнительный 4.23 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 316 Минор угловой 4.19 Множества векторов, пересечение 5.29 — —, расстояние 5.50 — —, сумма 5.24 Множество 1.1 —замкнутое 14.11 —, замыкание 14.11 — ограниченное 14.8 —предельная точка 14.10 —, элемент 1.1 Накопление 21.23 . Невязка 6.38 Невязок вектор 34.3 Неравенство Адамара 5.66 — Вейля Г. 20.20 — Гельдера 20.2 — Коши — Буняковского 5.5, 20.3 — Минковского 20.4 — Сильвестра 4.46 — Фробениуса 4.45 Норма вектора 14.20 — Гельдера 14.26 — евклидова 14.26, 14.48 — матрицы 14.44 — — аддитивная 14.46 — — мультипликативная 14.45 — — обобщенная 14.46 — — подчиненная 14.56 — — согласованная 14.54 — — спектральная 14.48 — энергетическая 14.24 Нормальная форма разложимой мат- рицы 18.23 Нормированное пространство 14.20 Нормы эквивалентные 14.42 Обобщенная проблема собственных значений 19.8 Образ 1.38 — матрицы 6.24 Обратная подстановка 25.1 — — с нормировкой 25.3 Обратные итерации 30.13 — — со сдвигами 30.15 Обусловленности число 16.4, 26.11 Объем системы векторов 5.65 Овал Кассини 16.42 Округление числа 21.7, 21.20, 21.21 — —, ошибка 21.7 — — правильное 21.11 ——, усечение 21.9 Оператор 1.38 — линейный 1.38 —, область значений 1.38 —, — определения 1.38 — перехода 34.23 Оператор, произведение на число 1.42 — противоположный 1.40 — разрешающий 34.4 — тождественный 1.40 Операторы, произведение 1.46 — равные 1.40 —, сумма 1.41 Операция алгебраическая 1.1 ——ассоциативная 1.3 — — коммутативная 1.2 — обратная 1.9, 1.10 Определитель 4.9 — Грама 13.3 Ортогопализация Грама — Шмидта 23.7 Ортогональная проекция вектора 5.53 — сумма подпространств 5.34 Ортогональное дополнение 5.22, 13.14 Ортогональные векторы 5.10, 13.10, 13.11 — множества векторов 5.12 Ортогональный базис 13.49 Ортонормированная система векто- ров 5.12 Отношение Релея 15.4 — — обобщение 15.4 — эквивалентности 1.7 Ошибок анализ обратный 21.29 ——прямой 21.27 Ошибок вектор 34.2 Пенроуза уравнения 6.50 Цереортогопализация 23.33 Переполнение 21.19 Пересечение множеств векторов 5.29 Перестановка чисел 4.1 — — четная 4.4 — — нормальная 4.1 — — четная 4.4 Перманент 4.70 Перпендикуляр 5.53 Перрона — Фробениуса теорема 18.8 Плавающая запятая 21.17 Плоскости размерность 6.56 Плоскость 6.56 Подпространств прямая сумма 5.26 Подпространство 1.35 — инвариантное 8.1 — корневое 8.45 — Крылова 33.22 — направляющее 6.56 — нетривиальное 1.36 —нулевое 1.35, 13.35 — циклическое 8.64 Поле 1.29 Полярное разложение. 11.28 Порядок числа 21.15 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Последовательность мажорирующая 20.21 — Релея 30.30 — сходящаяся 14.2 — — в себе 14.14 — фундаментальная 14.14 Предел последовательности 14.2 Предельная точка 14.10 Преобразование Фурье 17.19, 12.21, 17.23 Проектор 6.72 Проекция вектора 5.26 — — гиперплоскость 6.66 — — ортогональная 5.53 Приведенный многочлен 9.23 Произведение матриц 3.20 — па число вектора 1.31, 2.7 — — — матрицы 3.18 — — — операторов 1.42 — операторов 1.46 — скалярное 5.1, 5.2, 12.1 Прообраз 1.38 Пространства изоморфные 2.1 — — евклидовы 5.72 — — унитарные 5.72 Пространство арифметическое 2.10 —, базис 2.51 — бесконечномерное 2.12 — билинейно-метрическое 13.1 — — — вырожденное 13.8 — — —, дефект 13.7 — — — невырожденное 13.8 — — —, ранг 13.6 — векторное 1.31 — вещественное 1.37 — евклидово 5.1 —, естественный базис 2.14 — комплексное 1.37 —конечномерное 2.11 — линейное 1.31 — метрическое 14.1 — нормированное 14.20 — полное 14.17 —, размерность 2.10 — рациональное 1.37 Прямая линия 6.69 — подстановка 25.1 Прямые итерации 30.1 — — со сдвигами 30.12 Псевдоортогональный базис 13.54 Равные матрицы 3.15 — операторы 1.40 — элементы 1.8 Размер матрицы 3.6 Размерность плоскости 6.56 —пространства 2.10 Разность матриц 3.19 Ранг билинейной формы 12.75 — матрицы 4.32 — — теплицев 17.57 — системы векторов 2.40 Расстояние между векторами 5.48 — — множествами векторов 5.50 Регуляризирующии функционал 26.17 Сигпатура квадратичной формы 12.93 Сильвестра критерий 12.51 — неравенство 4.46 Сингулярное разложение 11.48 — число 11.39 Сингулярный базис 11.46 Система линейных алгебраических уравнений 6.1 — — — —, вектор неизвестных 6.10 — — — —, — правых частей 6.10 — — — —, коэффициенты 6.1 — — — —, матрица 6.10 — — — —, — расширенная 6.13 — — — — неоднородная 6.5 — — — — несовместная 6.3 — — — — неустойчивая 25.21 — — — — однородная 6.5 — — — —, правая часть 6.1 — — — — приведенная 6.6 — — — —, псевдорсшение 6.37 — — — —, решение 6.2 — — — —, —, нормальное 6.31 — — __ —^ — обобщенное 6.37 — — — —^ — общее 6.4 — — — —, — частное 6.4 _____ совместная 6.3 — — — —, угочненио решения 25.23 — — — —, фундаментальная система решений 6.16 — — — — эквивалентная 6.8 —счисления 21.1 — —, основание 21.1 — — позиционная 21.1 — —, разряд 21.1 — — сокращенная 21.4 Скалярное произведение 5.1, 5.2, 12.1 Скелетное разложение 6.42 Смита каноническая форма 9.56 Собственное значение 7.19 — —, кратность алгебраическая — —, — геометрическая 7.29 — —, обобщенная проблема 19.8 Сопряженные числа 20.1 Спектр матрицы 7.19, 34.48 Спектральный радиус 16.20 Степенная последовательность 23.16 Степень матрицы 8.32 Сумма векторов 1.31, 2.6 — матриц 3.17 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 318 Сумма прямая 8.73 — множеств векторов 5.24 — операторов 1.41 — подпространств ортогональная 5.34 — — прямая 5.26 Сходимость по координатам 14.33 — — норме 14.32 — — форме 31.8 Сходящаяся последовательность 14.2 Тензорное произведение 11.51 Теорема Виландта — Гофмана 20.9 — Кронекера — Капелли 6.14 — Куранта — Фишера 15.40 — Лапласа 4.24 — Перрона — Фробепиуса 18.8 ' — Фредгольма 6.30 — Шура 8.75 Теплицева матрица 17.1 Тождество Лагранжа 20.6 Транспозиция 4.5 Угол между векторами 5.45 — — вектором и подпространством 5.51 Уравнения Пенроуза 6.50 Уровень разбиения матрицы 17.43 Уточнение решения 25.23 Фиксированная запятая 21.17 Формула Бине — Коши 4.20 — Крамера 6.23 —Кели 11.35 Фредгольма альтернатива 6.29 — теорема 6.30 Фробениуса каноническая форма 9.68 — неравенство 4.45 Функционал 15.1 —, градиент 15.7 —линейный 15.2 — невязки 15.4 — нелинейный 15.2 — ошибки 15.4 —, производная по направлению 15.6 — регуляризирующий 26.17 —, центр симметрии 15.28 — энергии 15.31 Характеристический многочлен 7.23 Циркулянт 17.9 Число обусловленности 16.4, 26.11 — Ритца 33.21 Шар 14.6 — замкнутый 14.13 —, окрестность 14.7 —, радиус 14.6 —, центр 14.6 Шары вложенные 14.18 Ширина ленты 17.10 Шура теорема 8.75 Эквивалентное возмущение 21.28 Эквивалентности отношение 1.7 Эквивалентные нормы 14.42 — системы векторов 2.34 Элемент ведущий 24.11 — —, стратегии выбора 24.12 — матрицы 3.5 — множества 1.1 Элементы равные 1.8 Эрмитово разложение 10.49 Ядро матрицы 6.24 Якоби критерий 12.53 Валентин Васильевич Воеводин, Юрий Алексеевич Кузнецов МАТРИЦЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ (серия: «Справочная математическая библиотека»), Редактор Е. Е. Тыртышников Техн. редактор В. II. Кондакова Корректоры Г. С. Плетнева, Т. С. Вайсберг ИБ № 12063 Сдано в набор 16.09.83. Подписано к печати 19.01.84, Формат 60x90'/i8. Бумага для глубокой печати. Обыкно- венная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 20. Усл. кр.-отт. 2U. Уч.-пзд. л. 21,69. Тираж 30 000 экз. Заказ ,М 805. Цена 1 р. 40 к. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 4-я типография издательства «Наука» 630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25 ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 117071, Москва, В-71, Ленинский пр., 15 Готовятся к печати: Марчук Г. И. Математические модели в им- мунологии. Изд. 2-е, переработанное и дополненное. Белоцерковский О. М. Численное моделиро- вание в механике сплошных сред.