22.161.1 П34 УДК 517 Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2: Учебное пособие для втузов.—t3-e изд.—М.: Наука, Главная редакция физико-математиче- ской литературы, 1985.—560 с. Хорошо известное учебное пособие по мате- матике для втузов с достаточно широкой мате- матической подготовкой. Второй том включает разделы: дифферен- циальные уравнения, кратные и криволинейные интегралы, интегралы по поверхности, ряды, уравнения математической физики, операцион- ное исчисление, элементы теории вероятностей и математической статистики, матрицы. Для студентов высших технических учебных заведений. Николай Семенович Пискунов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ для втузов том 2 Редактор В. В, Донченко Техн. редактор И. Ш. Аксельрод ИБ №. 12688 Сдано в набор 06.08.84. Подписано в печать 31.01.85. Формат SOxQO'/i,. Бумага тип. № 2. Гарнитура литературная. Высокая печать» Усл. печ. л. 35. Усл. кр.-отт. 35,25. Уч.-изд. л. 33,67. Тираж 250 000 экз. (ЫЙ»явд.1—1 50 000 экз.). Заказ №3531. Цена 1 #.3Q к.^~— Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15 МПО «Первая Образцовая типография» Союзполиграфпрома при Государственном коми- тете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 113054, Москва, Ва- ловая, 28 1702050000-042 - 053 (02)—85 Корректор Л. С. Сомам ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к девятому изданию .................. Предисловие к пятому изданию ...........,,,.,.,. ГЛАВА XIII ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Постановка задачи. Уравнение движения тела при сопротивлении среды, пропорциональном скорости. Уравнение цепной линии . . . § 2. Определения ......................... § 3. Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия) § 4. Уравнения .с разделенными и разделяющимися переменными. Задача о распаде радия .................... § 5. Однородные уравнения первого порядка ............ § 6. Уравнения, приводящиеся к однородным ............ § 7. Линейные уравнения первого порядка ............. § 8. Уравнение Бернулли ..................... § 9. Уравнение в полных дифференциалах .............. § 10. Интегрирующий множитель .................. § 11. Огибающая семейства кривых ................. § 12. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка. . § 13. Уравнение Клеро ....................... § 14. Уравнение Лагранжа ..................... § 15. Ортогональные и изогональные траектории ........... § 16. Дифференциальные уравнения высших порядков (общие понятия) § 17. Уравнение вида у<">=/(х) ................... § 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй кос- мической скорости ...................... § 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка ....................... § 20. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства § 21. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ........................ § 22. Линейные однородные уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами ........................ § 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка ....... § 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ........................ § 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков ...... § 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний ..... § 27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гар- монических колебаний ..................... § 28. Вынужденные колебания .................... § 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ...... § 30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ..;......•...,........ . . • 108 § 31. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки .'. . . 113 § 32. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого по- рядка методом Эйлера .................... 127 § 33. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора. Метод Адамса ............................ 130 § 34. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка ......,,,,.,,.,,.. 136 Упражнения к главе XIII ,,.,.,,,,,,......«.,. 141 ГЛАВА XIV КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Двойной интеграл ....................... 152 § 2. Вычисление двойного интеграла ................ 154 § 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение) ......... 160 § 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов 166 § 5. Двойной интеграл в полярных координатах ........... 168 § 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай) , . . . 174 § 7. Вычисление площади поверхности ............... 179 § 8. Плотность распределения вещества и двойной интеграл , . , . . 182 § 9. Момент инерции площади плоской фигуры .....,,,... 184 § 10. Координаты центра масс площади плоской фигуры .,,.,.. 188 § 11. Тройной интеграл ....................... 190 § 12. Вычисление тройного интеграла ................ 191 § 13. Замена переменных в тройном интеграле ...,.,,...., 196 § 14. Момент инерции и координаты центра масс тела ........ 199 § 15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра ........ 201 Упражнения к главе XIV ..................... 202 Г Л А В А XV КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ § 1. Криволинейный интеграл ................... 208 § 2. Вычисление криволинейного интеграла ............. 211 § 3. Формула Грина ............. s .......... 217 § 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интег- рирования .......................... 219 § 5. Поверхностный интеграл .................... 224 § 6. Вычисление поверхностного интеграла ............. 226 § 7. Формула Стокса ....................... 229 § 8. Формула Остроградского ................... 233 § 9. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения ....... 236 Упражнения к главе XV ,.......,,..,..,,..... 239 ГЛАВА XVI РЯДЫ § 1. Ряд. Сумма ряда ....................... 245 § 2. Необходимый признак сходимости ряда ............. 248 § 3. Сравнение рядов с положительными членами .......... 250 § 4. Признак Даламбера .....................; 252 § 5. Признак Коши ....................... 256 § 6. Интегральный признак сходимости ряда ............ 257 § 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница ...,....,. 260 § 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ...,.;.,... 263 § 9. Функциональные ряды ................. . . . . 266 § 10. Мажорируемые ряды .................. . . . 267 § 11. Непрерывность суммы ряда ............... .... < 269 § 12. Интегрирование и дифференцирование рядов ......... < 272 § 13. Степенные ряды. Интервал сходимости ............. 275 § 14. Дифференцирование степенных рядов ............... 279 § 15. Ряды по степеням х—а ...................... 280 § 16. Ряды Тейлора и Маклорена ................... 282 § 17. Примеры разложения функций в ряды ............. 283 § 18. Формула Эйлера ......................... ,285 § 19. Биномиальный ряд ...................... 286 § 20. Разложение функции 1п(1+-1') в степенной ряд. Вычисление лога- рифмов ............................ 288 § 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов ..... 290 § 22. Интегрирование дифференциальных уравнении с помощью . рядов. 292 § 23. Уравнение Бесселя ...................... 295 § 24. Ряды с комплексными членами .............., . . 299 § 25. Степенные ряды с комплексной переменной ........... 300 § 26. Решение дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений (метод итераций) .......... 302 § 27. Доказательство существования решения дифференциального урав- нения. Оценка погрешности при приближенном решении . , . . 304 § 28. Теорема единственности решения дифференциального уравнения ,308 Упражнения к главе XVI ..................... 310 ГЛАВА XVII . . РЯДЫ ФУРЬЕ §. 1. Определение. Постановка задачи ...............'.; 318 § 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье ..... .' .''.•'.' 322 § 3. Одно замечание о разложении периодической функции в -рад' : Фурье ............................ 327 § 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций ......... 329 § 5. Ряд Фурье для функции с периодом 11 .......... ,... . 331 § 6. О разложении непериодической функции в ряд Фурье ..... 332 § 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригоно- метрического многочлена ................. 334 § 8. Интеграл Дирихле ....... .............'.«^ '-339 § 9. Сходимость ряда Фурье в данной точке ........ '. .<.. . 341 § 10. Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье . ..ч,:.- 343 § 11. Практический гармонический анализ .......... .,••-'.; 345 § 12. Ряд Фурье в комплексной форме . . . . ... ... . ;• • . ...^ '346 § 13. Интеграл Фурье ........... ......... .. •• .'1 '349 § 14. Интеграл Фурье в комплексной форме . . . .. . . •. .•.,.. i,i •• . 352 § 15. Ряд Фурье по ортогональной системе функций . ... .•.'.,. .'. 355 § 16. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия : между разложением функций в ряд Фурье и разложением век- торов .......................•••••• 357 Упражнения к главе XVII ..................... 362 ГЛАВА XVIII УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ § 1. Основные типы уравнений математической физики . . 364 § 2. Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевои за- дачи. Вывод уравнений электрических колебанид.в продолах. .365 § 3. Решение уравнения колебаний струны методом., рйзделея1»я.".педе- •, менных (методом Фурье) ...„........'.•'.••• 368 § 4. Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка крае- вой задачи .......................... 372 § 5. Распространение тепла в пространстве ..........••• 374 § 6. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей .................. 377 § 7. Распространение тепла в неограниченном стержне ........ 379 § 8. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнений Лапласа. Формулировка краевых задач ................. 384 § 9. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение за- дачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях ........ 389 § 10. Решение задачи Дирихле для круга .............. 390 § 11. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей ..... 394 Упражнения к главе XVIII ..................... 396 ГЛАВА XIX ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ § 1. Начальная функция и ее изображение ............. 400 § 2. Изображение функций Од (<), sin t, cos t ............ 402 § 3. Изображение функции с измененным масштабом независимой пе- ременной. Изображение функций stnef, cos at ......... 403 § 4. Свойство линейности изображения ............... 405 § 5. Теорема смещения ....................... 405 § 6. Изображение функций e-0^, sha<, chat, e-^ sin at, e-^cosat 405 § 7. Дифференцирование изображения ............... 407 § 8. Изображение производных ................... 409 § 9. Таблица некоторых изображений ............... 410 § 10. Вспомогательное уравнение для данного дифференциального урав- нения ............................ 411 § 11. Теорема разложения ..................... 415 § 12. Примеры решения дифференциальных уравнений и систем диффе- ренциальных уравнений операционным методом ......... 417 § 13. Теорема свертывания ..................... 418 § 14. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифферен- циальные уравнения теории электрических цепей ........ 420 § 15. Решение дифференциального уравнения колебаний ....... 421 § 16. Исследование свободных колебаний .............. 423 § 17. Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы .................. 424 § 18. Решение уравнения колебаний в случае резонанса ....... 426 § 19. Теорема запаздывания ..................... 427 § 20. Дельта-функция и ее изображение ............... 42S Упражнения к главе XIX ...................... 431 ГЛАВА XX ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ § 1. Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей ....... 434 § 2. Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей ......................... 436 § 3. Сложение вероятностей. Противоположные случайные события . . 438 § 4. Умножение вероятностей независимых событий ......... 441 § 5. Зависимые события. Условная вероятность. Полная вероятность 443 § 6. Вероятность гипотез. Формула Байеса ............. 446 § 7. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины ..................... 449 § 8. Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях .................... 451 § 9. Математическое ожидание дискретной случайной величины . . . 455 § 10. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах 460 § 11. Функции от случайных величин ................ 463 § 12. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения не- прерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал ................ 464 § 13. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей ........ 468 § 14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины ... 471 § 15. Нормальный закон распределения. Математическое ожидание нор- мального распределения .................... 474 § 16. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения ........ 476 § 17. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распреде- ления для нормального закона ................ 477 § 18. Вероятное (срединное) отклонение или срединная ошибка .... 481 § 19. Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Приведенная функция Лапласа ........... 483 § 20. Правило трех сигм. Шкала вероятностей распределения ошибок 484 § 21. Среднеарифметическая ошибка ................. 486 § 22. Мера точности. Соотношение между характеристиками распреде- ления ошибок ......................... 486 § 23. Двумерная случайная величина ................ 487 § 24. Нормальный закон распределения на плоскости ........ 491 § 25. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямо- угольник со сторонами, параллельными главным осям рассеива- ния, при нормальном законе распределения .......... 492 § 26. Вероятность попадания двумерной случайной величины в эллипс рассеивания .......................... 494 § 27. Задачи математической статистики. Статистический материал , . 495 § 28. Статистический ряд. Гистограмма ............... 496 § 29. Определение подходящего значения измеряемой величины .... 499 § 30. Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпу- нова. Теорема Лапласа .................... 500 Упражнения к главе XX ...................... 504 ГЛАВА ХХII МАТРИЦЫ. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМ И РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. Линейные преобразования. Матрица .............. 508 § 2. Общие определения, связанные с понятием матрицы ...... 511 § 3. Обратное преобразование ................... 513 § 4. Действия над матрицами. Сложение матриц .......... 515 § 5. Преобразование вектора в другой вектор с помощью матрицы . . 518 § 6. Обратная матрица ....................... 519 § 7. Нахождение матрицы, обратной данной ............ 520 § 8. Матричная запись системы линейных уравнений ........ 522 § 9. Решение системы линейных уравнений матричным методом . . . 523 § 10. Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы ..... 525 § 11. Собственный вектор линейного преобразования ......... 528 § 12. Матрица линейного преобразования, при котором базисные век- торы являются собственными векторами ............ 531 § 13. Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому .................. 532 § 14. Квадратичные формы и их преобразования ............ 534 § 15. Ранг матрицы. Существование решений системы линейных урав- нений ............................ 536 § 16. Дифференцирование и интегрирование матриц ......... 537 § 17. Матричная запись системы дифференциальных уравнений и реше- ний системы дифференциальных уравнений с постоянными коэф- фициентами .......................... 539 § 18. Матричная запись линейного уравнения я-го порядка ...... 543 § 19. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с пере- менными коэффициентами методом последовательных приближений с использованием матричной записи .............. 544 Упражнения к главе XXI ..................... 548 Приложения ..................... 550 Предметный указатель .......... ........... 553 ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ Девятое издание данного учебника отличается от его восьмого издания. Это издание полностью соответствует программе по ма- тематике для втузов, рассчитанной на 400—450 часов. В учебник включены две новые главы XX и XXI. Глава XX «Элементы теории вероятностей и математической статистики» содержит материал, предусмотренный соответствующим разделом обязательной программы по математике МВССО СССР. Глава XXI «Матрицы. Матричная запись систем и решений систем линейных дифференциальных уравнений» также содержит материал, предусмотренный обязательной программой. Но, кроме того, в этой главе обращено большое внимание на матричную запись систем линейных дифференциальных уравнений и решений систем линейных дифференциальных уравнений. Использована матричная запись последовательных приближен- ных решений системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Этот материал необходимо поме- стить в курсе дифференциального и интегрального исчисления для втузов потому, что в настоящее время во многих книгах по электротехнике, радиотехнике, автоматике исследование решений систем дифференциальных уравнений производится с использова- нием аппарата теории матриц. Написаны новые §§ 26, 27, 28 гл. XVI. Здесь рассмотрен метод последовательных приближений решения дифференциальных урав- нений, доказывается теорема о существовании решения дифферен- циального уравнения и теорема единственности. Обращено вни- мание на строгость изложения всей главы о дифференциальных уравнениях. Параграф 31 гл. XIII «Понятие о теории устойчивости Ляпу- нова» значительно расширен. В этом издании он называется так: «Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траекторий дифференциального уравнения в окрестности особой точки». Здесь параллельно с рассмотрением устойчивости решений систем диф- ференциальных уравнений рассмотрено поведение траекторий вблизи особой точки на фазовой плоскости. Это необходимо было сделать потому, что при изучении соответствующих вопросов в курсах электротехники, радиотехники, автоматики этими поня- тиями необходимо свободно пользоваться. Заново написаны неко- 10 ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ торые параграфы с изложением теории комплексных чисел. Суще- ственно расширен § 2 гл. XI, где дано доказательство существо- вания определенного интеграла от непрерывной функции. Написан дополнительный § 11 гл. XI «Интегрирование комплексной функ- ции действительной переменной». Написаны новые §§ 24 и 25 гл. XVI, посвященные рядам с комплексными членами и степен- ным рядам с комплексной переменной. Написан новый § 12 гл. XVII, посвященный рядам Фурье в комплексной форме. Расширено из- ложение вопроса об интеграле Фурье. Освещены понятия, исполь- зуемые в специальной прикладной литературе (спектр, спектраль- ная функция). Написаны новые § 15 «Ряд Фурье по ортогональной системе функций» и § 16 «Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов» в гл. XVII. Этот материал изложен таким образом, чтобы студенты и инженеры могли понимать ма- териал других дисциплин, опирающийся на этот математический аппарат. В главе XIX написан новый § 20 «Дельта-функция и ее изображение». В главе VIII помещен § 19 «Получение функции на основа- нии экспериментальных данных по методу наименьших квадратов». Содержанием этого параграфа ранее являлось Приложение I, по- мещавшееся в конце первого тома этого учебника. В главе VII даны § 10 «Интерполяционная формула Ньютона» и § 11 «Численное дифференцирование». Содержанием этих пара- графов ранее являлось Приложение II. Произведены некоторые дополнения в главах V, VII, IX, XII, XIII. Глава XIII «Дифференциальные уравнения» целиком перене- сена во второй том. Автор Настоящее (13-е) издание не отличается от предыдущего (1978 г.). ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ В пятом издании полностью сохранен без изменений весь текст четвертого издания,, ао этот материал разделен на два тома (для удобства использования настоящего и предыдущих изданий учеб- ника нумерация глав тоже оставлена без изменения). Содержание всего учебника определяется программами курса математики для втузов, рассчитанными на 300 — 450 часов. Учеб- ник предназначается для изучения курса математики как в ста- ционарных, так и в заочных втузах. Это учитывалось при изло- жении материала; в частности, с этой целью в учебнике разобрано много примеров, иллюстрирующих изложенный теоретический материал и дающих образцы решения задач. Первый том содержит материал, соответствующий программе 1-го курса втуза, за исключением главы XIII «Дифференциаль- ные уравнения», которая, как правило, проходится на 2-м курсе. Но так как в некоторых втузах предварительные сведения о диф- ференциальных уравнениях, необходимые для последующих дис- циплин, даются на 1-м курсе, то часть этой главы (§§ 1—28) и помещена в первом томе. Отметим, что материал, содержащийся в программе втузов, рассчитанный на число часов порядка 300, почти полностью со- держится в первом томе (но в нем содержится и материал, выхо- дящий за рамки этой программы). Второй том—конец главы XIII (§§ 29—34), главы XIV— XIX—содержит материал, соответствующий программе 2-го курса втуза. Первые две главы первого тома—«Число. Переменная. Функ- ция» и «Предел. Непрерывность функций» написаны в пределах возможного кратко. Некоторые вопросы, обычно излагаемые в этих главах, без ущерба для дела перенесены в третью и последую- щие главы. Это дало возможность раньше перейти к основному понятию дифференциального исчисления—производной, чего тре- буют другие дисциплины втузовского курса (целесообразность такого расположения материала подтверждается опытом работы). В связи с включением во втузовскую программу по высшей математике вопросов, необходимых для обеспечения курсом мате- матики втузовских дисциплин, связанных с автоматикой и вычис- 12 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ лительной техникой, в учебнике подробно изложены соответст- вующие разделы: «Численное интегрирование дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений» *), «Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений», «Понятие о теории устой- чивости Ляпунова», «Оператор Гамильтона», «Интеграл Фурье» и т. д. В главе XVIII рассмотрены основные уравнения математиче- ской физики. Обращено большое внимание на выяснение характера физи- ческих явлений, приводящих к уравнениям различных типов и соответствующим краевым задачам. Большое внимание уделено численным методам решения дифференциальных уравнений в част- ных производных. В'главе XIX излагаются основные понятия операционного исчисления и операционный метод решения дифференциальных уравнений. Это требуется для многих последующих дисциплин, и особенно электротехнических. В учебник включено большое количество задач и примеров для упражнений, многие из которых иллюстрируют связь мате- матики с другими дисциплинами. Задачи и примеры специально подобраны по каждому разделу курса, что способствует усвоению излагаемого материала. Это обстоятельство также делает книгу удобной для самостоятельного изучения курса математики, в частности для студентов-заочников. ____ Автор Шестое издание отличается от пятого только тем, что в конце 1-го тома дано приложение, где изложен важный для инженеров вопрос «Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов». Седьмое издание отличается от шестого только тем, что в конце 1-го тома дано приложение «Интерполяционная формула Ньютона. Численное дифференцирование»; - *) Обычно излагаемые численные методы анализа также. изложены в дан- ном учебнике. ГЛАВА XIII ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Постановка задачи. Уравнение движения тела при сопротивлении среды, пропорциональном скорости. Уравнение цепной линии Пусть функция у = f (х) отражает количественную сторону некоторого явления. Часто, рассматривая это явление, мы не можем непосредственно установить характер зависимости у от х, а можем установить зависимость между величинами х и у и про- изводными от у по х: у', у", ..., г/'"', т. е. написать дифферен- циальное уравнение. Из полученной зависимости между переменными х, у и про- изводными требуется установить непосредственную зависимость у от х, т.е. найти i/==/"(^) или, как говорят, проинтегриро- вать дифференциальное уравнение. Рассмотрим два примера. Пример 1. С некоторой высоты сброшено тело, масса которого ст. Тре- буется установить, по какому закону будет изменяться скорость v падения этого тела, если на него, кроме силы тяжести, действует тормозящая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости (с коэффициентом пропор- циональности k), т.е. требуется найти v=f(t}. 'Решение. По второму закону Ньютона •• • • • ^ ' ' •'• • т^- •dv .,.,.., . где —— есть ускорение движущегося тела (производная от скорости по вре- мени), а /•'—сила, действующая на тело в направлении движения. Эта .сила складывается из двух: силы тяжести mg и силы сопротивления воздуха—feu (мы берем ее с минусом, так как она направлена в сторону, противоположную направлению скорости). Итак, ' - dv ...... ., (1) т dt =mg—kv. Мы получили соотношение, связывающее неизвестную функцию v и ее произ- dv т.е. дифференциальное уравнение относитель- водную dt ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Амплитуда колебаний 97 ^ — комплексная 98, 348, 354 Анализ гармонический 345 Вектор линейного преобразования соб- ственный 529 — матрицы собственный 529 — пространства Ф 360 Векторы базисные 525 — ортогональные 358 Величина случайная двумерная 487 — — дискретная 449 ' ^ — — непрерывная 465 — —' равномерно распределенная 469 — — центрированная 459 Вероятность 435, 436 — геометрическая 441 — относительной частоты при повтор- ных испытаниях 453 . —попадания двумерной случайной ве- личины в эллипс рассеивания 494 — — случайной величины в заданный интервал 466, 479 — условная 443—445 Вихрь 231 Вронскиан 69 Вычисление двойного интеграла 160 — значений sin x приближенное 283 — интеграла Пуассона 172—174 — коэффициентов тригонометрическо- го ряда 319, 321 — криволинейного интеграла 213 — логарифмов приближенное 288 — массы фигуры 189 — объема тела 161, 166, 195 — определенных интегралов с помо- щью рядов 290—292 — площади плоской области 167 — — поверхности 181 .— поверхностного интеграла 227 — работы 209, 216 — тройного интеграла 194 — числа я 288 Вычитание сходящихся рядов почлен- ное 248 Гармоника 348 Гипотеза 446 Гистограмма 497 Градиент скалярной функции 236 Группа событий полная 436 Группировка 497 Движение стационарное 51 — установившееся 51 Дельта-функция 429 Диаметр области 190 — площадки 153 Дивергенция вектора 235 Дисперсия 460 — непрерывной случайной величины 473 — нормально распределенной слу- чайной величины 476 — статистическая 500, 502 Дифференцирование изображения 407 — степенного ряда 279 — функциональных рядов почленное 273 Длина вектора 359 Дополнение алгебраическое 512 Жесткость рессоры 94 Задача Дирихле 385, 387 — Дирихле — Неймана 387 — краевая вторая 385 — — для уравнения Лапласа 385 — — первая 373, 385 — — — для уравнения теплопровод- ности 377 — Неймана 385, 387 — о второй космической скорости 64 — — математическом маятнике 62 — ^— распаде радия 23 . —'— стрельбе до первого попадания 450 ' — об электрических колебаниях в проводах 367 Закон больших чисел 504 — Гаусса 474 - ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 554 Закон Кулона 228 — равномерной плотности 469 — распределения вероятностей бино- миальный 453 — — — дискретной случайной вели- чины 449 — — интегральный 468 — — нормальный 474 — — равномерно распределенной слу- чайной величины 469 — — случайной величины 449 — — центрированной случайной вели^ чины 459 Замена переменных в двойном интегра- ле 174—179 — — — тройном интеграле 196—199 Значение интеграла главное 353 — определяемой величины подходящее 499 — собственное 370, 529 Значения наблюденные 496 — функции f (x) 551, 552 _ — ф (x) 550, 551 _- — ф (x) 552 _ — ф (x) 550, 551 Изображение 401 — дельта-функции 429 — лапласово 401 — производной 409 — функции с измененным масштабом независимой переменной 403, 404 Изоклина 21 Интеграл вероятностей 478 — двойной 153 — — в полярных координатах 170 — двукратный 155 — Дирих-ле 341 — дифференциального уравнения 17 — — — общий 18 — — — особый 46 — — — частный 18 — — — п-го порядка общий 56 —, зависящий от параметра 201 — криволинейный 209, 211, 212 — — от полного дифференциала 223 — — по замкнутому контуру 210 — несобственный кратный 173 — от векторной функции 210 — — матрицы 538 — поверхностный 225, 226 — Пуассона 172, 383, 394 — трехкратный 191 — тройной 190 — — в сферических координатах 197, 198 — — — цилиндрических координатах 196 — Фурье 350 Интеграл Фурье в комплексной форме 354 Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов 292— 294 — почленное степенного ряда 279 — — функционального ряда 272 — уравнений в полных дифференциа- лах 35.; Интервал сходимости степенного ряда 276 Исследование свободных колебаний 4-°3, 424 Колебание вынужденное 99 — гармоническое 97, 424 — затухающее 99, 424 — свободное 96, 423 Координаты криволинейные 175 — — в пространстве 198 — сферические 197 — центра масс линии 197 — — — плоской фигуры 188 — — — тела 200 — цилиндрические 196 Корень функции Бесселя 357 — характеристического уравнения 109 Косинус гиперболический комплексной переменной 302 • — -комплексной переменной 302 Косинус-преобразование Фурье 351. Косинусы направляющие нормали 226 Коэффициенты биномиальные 287 • — степенного ряда 275, 280 — тригонометрического ряда 318 — Фурье 319, 321 — — комплексные 348 — — по ортогональной системе функ- - ций 356 ' - Кривая гладкая 67 — интегральная 19, 56, 117 — нормального распределения 474 .,— распределения 465 — — вероятностей 465 — — интегральная 468 — резонанса 101 Круг сходимости 301 Линейность, изображения 404 Линия равного потенциала 52 —— силовая 53 — тока 52 — цепная 15 — эквипотенциальная 52 Лист декартов 239 Ломаная Эйлера 128 Луч 168 • Мажорируемость степенного ряда 278 Масса тела 189 "\ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 555 Материал статистический 496 Матрица 511 — вырожденная 514, 53& — диагональная 512 — единичная 512, 517 — квадратичной формы 535 — квадратная 511 — невырожденная 536 — обратная 513, 519, 521 — ортогональная 527 — отображения 509 — присоединенная 521 — расширенная 537 — симметричная 512 — столбцевая 512 — строчная 512 — транспонированная 512 Матрицы равные 512 Медиана 473, 475 Мера точности 487 Метод Адамса 130 — вариации произвольных постоян- ных 82, 91 — интегрирования дифференциальных уравнений графический 66 — — систем дифференциальных урав- нений первого порядка приближен- ный 136 — неопределенных коэффициентов 294 — приближенного решения дифферен- циальных уравнений разностный 130 — разделения переменных 368 — Фурье решения задач математичес- кой физики 368 — Эйлера численного решения диффе- ренциальных уравнений первого по- рядка 127 Метрика пространства Ф 360 Минор 536 Многоугольные распределения вероят- ностей 449 . Множитель интегрирующий 38 • Мода 450, 473, 475 Модуль вектора 359 -Момент балки изгибающий 58 — инерции плоской фигуры относи- тельно оси 185 — — — — — точки 184 — —• системы точек 184 — — тела 199 — — точки 184 — статический 189 — центральный второго порядка 463 — — первого' порядка 463 . — — третьего порядка 463 Набла-оператор 236 Направление интегрирования 209 Направления квадратичной формы главные 536 Нахождение радиуса сходимости ряда ^/ / Независимость криволинейного интег- рала от пути интегрирования в прост- ранстве 232 — — — — — — на плоскости 220 Непрерывность суммы ряда 270 — — степенного ряда 278 Неравенство Бесселя 337 — Буняковского 1-87 — Шварца 187 Норма элемента 360 Область замкнутая 152 — интегрирования 153 — правильная 155, 168 — — в направлении оси Ох 155 ————— Оу'155 — — трехмерная 191 — сходимости ряда 266 — — степенного ряда с комплексной переменной 300 Объем тела 161, 166, 195 — эллипсоида 195 Огибающая семейства кривых 40 Ожидание математическое дискретной случайной величины 456 — — непрерывной случайной величи- ны 471 — — нормально распределенной слу- чайной величины 475 Оператор Гамильтона 236 — Лапласа 239, 376, 384 Определитель Вронского 69 — матрицы 509, 511 — функциональный 177 Оригинал 401 Оси рассеивания 492 Остаток ряда 267 Отклонение 459 — вероятное 481, 482 — — радиальное 495 — срединное 481, 482 • — среднеквадратичное 460, 461 ' — — непрерывной случайной величи- ны 473 — — нормально распределенной слу- чайной величины 476 Отклонения главные вероятные. 491 — среднеквадратичные 491 ' -• Отображение аффинное 513 — взаимно однозначное 513 — вырожденное 514 — линейное 508 — невырожденное 513 — обратное 513 — однозначное 513 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 556 Отражение зеркальное от оси 509 Оценка двукратного интеграла 158 — погрешности приближенного реше- ния 308 Ошибка изготовления 496 — измерения 496 — срединная 481 — среднеарифметическая 486 Парабола безопасности 43 Период колебаний 97 Плоскость фазовая 117 Плотность вероятности 465. — вещества поверхностная 183 — — — средняя 183 — нормального распределения случай- ной величины 474, 476 — распределения вероятностей слу- чайной величины 465- — — двумерной случайной величины 488 — — — — —, нормально -распреде- ленной 491 — спектральная 354 Площадь плоской области 167, 215, 216 — поверхности 180 — эллипса 216 Поворот 509 Подобие 532 Поле векторное безвихревое 238 — — потенциальное 237 — — соленоидальное 238 — — трубчатое 238 — направлений 20 Понижение порядка дифференциально- го уравнения 59, 60 Порядок дифференциального уравне- ния 16 Последовательность функций, ортого- нальная на отрезке 360 .Потенциал вектора 222 — поля тяготения 233 — скоростей 52 —— стационарного электрического поля 388 Поток вектора через поверхность 236 — векторного поля через поверхность 225 —вихря через поверхность 231 Правило трех сигм 484 Предел последовательности комплекс- ных чисел 299 Преобразование ортогональное 526 — тождественное 518 — Фурье 354 — — обратное 354 Преобразования координат линейные 508 Приближение в среднем 334 Приближение решения второе 303 — — нулевое 303 — — первое 303 Признак Даламбера 252, 253 — Коши 256 — разложимости функции в ряд Фурье достаточный 321 — сходимости знакопеременного ряда достаточный 263 — — ряда интегральный 257, 258 — — — необходимый 248 Прогрессия геометрическая 246 Продолжение функции нечетное 333 — — четное 333 Произведение матриц 516 — скалярное 358 — — функций 359 Производная матрицы 538 — слева 343 — справа 343 Пространство евклидово п-мерное 358 — линейное функциональное с квадра- тичной метрикой 360 — функций 359 — ?„ 359 — Ф 359 Равенство Ляпунова — Парсеваля 337 Радиус сходимости степенного ряда 276 — — — — с комплексной перемен- ной 301 Разложение в ряд Маклорена arcsin x 288 • — — — — ch x 285 — — — — cos x 285 — — — — 6х 284 — — — — In (l+.t:) 288 — — — — sh x 285 — — — — sin x 283 — — — — (1 +x}"> 287 — — — Фурье непериодической функции 332, 333 — — — — нечетной функции 329, 330 — — — — функции 321 — — — — четной функции 330 Разность вторая 130 — второго порядка 130 — матриц 515 — первая 130 — первого порядка 130 Ранг матрицы 536 Распределение двумерной случайной величины нормальное 491 — температуры в однородном теле ста- ционарное 384, 385 Распространение тепла в неограничен- ном стержне 379—384 Рассеивание 496 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 557 Расстояние между элементами прост- ранства Ф 360 Растяжение 509 — вдоль оси 509 Расходимость ряда 245 Резонанс 103, 427 Решение дифференциального уравне- ния 17 — — — колебаний 421—423 — — — комплексное 98 — — —' методом операционного ис- числения 411—413 — —— общее 18 — — — особое 46, 49 . — — — частное 18 — — — Р.-ТО порядка общее 56 — — — — — частное 56 — задачи Дирихле для кольца 390 — — — — круга 390—394 — — — методом конечных разностей 394—396 — — о распространении тепла в неог- раниченном стержне 383, 384 — линейного дифференциального урав- нения первого порядка 30 — — неоднородного дифференциаль- ного уравнения второго порядка общее 81 — — — — — — — с постоянны- ми коэффициентами 85, 86 — — — — — высшего порядка 91 — — — — — — — с постоянными коэффициентами 92, 93 ——однородного дифференциально- го уравнения с постоянными коэффи- циентами общее 79 — однородного дифференциального уравнения первого порядка 26 — первой краевой задачи 377—379 — системы дифференциальных уравне- ний общее 110 — — — — с постоянными коэффи- циентами матричным методом 539— 541 — — — -^", устойчивое по Ляпунову 114 . — — линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффици- ентами матричным методом 544—547 — — — однородных дифференциаль- ных уравнений с постоянными коэф- фициентами 108 — — — уравнений матричным -мето- дом 523, 524 — уравнения колебаний в случае ре- зонанса 426;427 — — — струны 368—372 Решения линейно зависимые 69 — — независимые 69 - Ротор 231 Ряд абсолютно сходящийся 264 — — — с комплексными членами 301 — биномиальный 287 — гармонический 249 — знакопеременный 263 — знакочередующийся 260 — из комплексных чисел 299 — мажорируемый 267 , — Маклорена 283 — неабсолютно сходящийся 264 . — простой статистический 497 — равномерно сходящийся 269 — расходящийся 245, 300 — с положительными членами 250 — степенной 275, 280 — — с комплексной переменной 300 — сходящийся 245, 300 — Тейлора 282 — тригонометрический 318 — условно' сходящийся 264 — функциональный 266 — Фурье 321 — — в комплексной форме 347 — —'-для нечетных функций 330 — — — функций- с периодом 21 331 — — —' четных функций 330 — — по ортогональной системе функ- ций 356 — числовой 245 Свертка функций 419 Свертывание функций^419 Свойства абсолютно сходящегося ряда 265 — двойного интеграла 153, 154 — двукратного интеграла 156—159 — криволинейного интеграла 210 — сходящихся рядов 246, 247 — трехкратного интеграла 192, 193 — условно сходящегося ряда 265 Свойство линейности изображения 404 Сдвиг вдоль оси 610 Седло 119 • ' —' вырожденное 125 Семейство кри-вых однопараметричес- кое 40 — ортогональных траекторий 51 Сетка 394 Синус гиперболический комплексной переменной 302 — комплексной переменной 301 Синус-преобразование Фурье 352 Система дифференциальных уравнений автоионная 115 — — —нормальная 103 — — — первого порядка 103 — линейных дифференциальных урав- нений 539, 544 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 558 Система однородных дифференциаль- ных уравнений с постоянными коэф- фициентами 108 — ортогональных многочленов Ле- жандра 357 — — функций полная 301 — функций Бесселя 357 — —, ортогональная на отрезке 355 — — — полная 356 Складка функций 4.19 Скорость вращения вектора угловая 97 — распада радия 24 — распространения тепла 372 .Сложение вероятностей 'несовместных событий 438, 439 — — совместных событий 440 — сходящихся рядов почленное 247 Случай 436 —, благоприятствующий событию 436 Событие достоверное 437 — невозможное 437 — случайное 434 События зависимые 443 — независимые 441 — несовместные 436 — противоположные 440 — равновозможные 436 — совместные 440 Спектр 348 — дискретный 348 — непрерывный 354 Спираль логарифмическая 55 Сравнение рядов 250, 252 Среднее арифметическое значений слу- чайной величины 456 — взвешенное 499 Сумма геометрической прогрессии 246 — интегральная 152 — матриц 515 — ряда 245 — — из комплексных чисел 300 — — частичная 245 „ — событий 438 Схема урн 438 Сходимость знакочередующегоая ряда 261 — ряда 245, 300 — — абсолютная 264, 301 — — равномерная 269 — — условная 264 — — Фурье в среднем 356, 361 Таблица изображений 410 Теорема Абеля 275 — Бернулли 435 — гипотез 447 — единственности изображения 402 — — решения дифференциального уравнения 308, 309 Теорема живых сил 233 — запаздывания 427 — Лапласа 503 '•• — Лейбница 261 — Ляпунова 501 — о вычислении тройного интеграла 194 — — сложении .вероятностей 438 — — сравнении рядов 250, 252 — .— среднем для двукратного интег- рала 159 — — — — трехкратного интеграла 193 — об оценке трехкратного интеграла 193 • — Пеано 308 — разложения 415, 416 — авертывания 418 — смещения 405 — существования двойного интеграла 153 — — и единственности решения диф- ференциального уравнения 304 — — — — — — — ге-го порядка 55 — — интеграла по поверхности 225 — — криволинейного интеграла 211 — — тройного интеграла 190 — центральная предельная 501 — Чебышева 500, 502 Теория вероятностей 435 Течение жидкости или газа потенци- альное 385 Точка области внутренняя 154 —• обыкновенная 46 — особая 46 — — для дифференциального уравне- ния 117 — пространства Ф 359, 360 — га-мерного евклидова пространства 358 Траектория дифференциального урав- нения 117 — изогональная 50, 53 — ортогональная 50, 51 Угол между двумя векторами 359 Узел неустойчивый 118, 119 — устойчивый 117, 118 Узлы сетки 394 Уклонение наибольшее 334 — среднеквадратичное 334 Умножение вероятностей зависимых событий 444 — — независимых событий 441, 442 — матрицы на число 515 — — — единичную матрицу 518 — сходящегося ряда "на постоянный множитель 247 Уравнение Бернулли 33 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 559 Уравнение Бесселя 295 — в конечных разностях 394 — — полных дифференциалах 35 — вида y^=f (x) 56 — волновое 364—366 — .вспомогательное 412 — вынужденных колебаний 95 — геометрического места особых точек 41 — гиперболического типа 364 — дифференциальное 13, 16 — — в частных производных 13, 16 — — второго порядка неоднородное линейное 81 — — — — — — с постоянными ко- эффициентами 84 — — — — — однородное с постоян-- ными коэффициентами 74 — — высшего, порядка неоднородное линейное 90 — — изогональных траекторий 54 — — линейное без правой части 68 — — — неоднородное 68 — — — однородное 68 — — — первого порядка 30 — — — с правой частью 68 — — — n-ro порядка 68, 543 — — механических колебаний 94 — — обыкновенное 16 — — ортогональных траекторий 51 — — первого порядка 17 — —• — — однородное 25 —'- —, приводящееся к однородному 27 — — с разделенными переменными 22 — — — разделяющимися перемен- ными 23 — — цепной линии 59 — — п-то порядка 55 — — —.— линейное однородное с по-.' стоянными коэффициентами 79 — изображающее 412 — интегральное 303, 352 — Клеро 47 — колебаний струны 66 — крутильных колебаний стержня 396 — Лагранжа 49 — Лапласа 239, 364, 365, 384 — — в полярных координатах 389 — — — цилиндрических координа- тах 389 — — на плоскости 355 — неразрывности течения сжимаемой жидкости 386 — огибающей 40 — параболического типа 364 — продольных колебаний стержня 397 — разностное 394 — распространения тепла '373 — — — в стержне 377 Уравнение распространения. тепла на плоскости 377 — свободных колебаний 95 — телеграфное 367, 368 — теплопроводности 364, 365, 373 — — в пространстве 376 — Фурье 364 — характеристическое 75, 529 — — для системы дифференциальных уравнений 109 — эллиптического типа 364 Уравнения динамики материальной точки основные 232 Условие граничное 366, 367, 373, 376 — линейной независимости решений линейного дифференциального урав- нения 71 — Липшица 305 — начальное 18, 373, 376 — независимости криволинейного ин- теграла от пути интегрирования на плоскости 220 — полного дифференциала функции трех переменных 232 — сходимости ряда с комплексными членами 300 Условия краевые 367 — начальные 55, 366, 367 — независимости криволинейного ин- теграла от пути интегрирования в пространстве 232 — сходимости ряда Фурье достаточ- ные 343 Устойчивость решений системы диффе- • ренциальных уравнений 114 Фаза начальная 97 Фокус неустойчивый 121, 122 — устойчивый 120, 121 Форма квадратичная 534 Формула Адамса 133 — Байеса 447 — Грина 219, 242 — Лиувилля 70 — Остроградского 235 — Остроградского — Гаусса 235 — полной вероятности 445 ' — преобразования координат в двой- ном интеграле 177 — Стокса 231 — Тейлора 282 — Эйлера' 285, 286 — — для функций комплексной пере- менной 302 Функции линейно зависимые 79 — — независимые 79 —, ортогональные с весом р (x) 357 Функция абсолютно интегрируемая 349 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 560 функция Бесселя второго рода нуле- вого порядка 299 — — — — п-го порядка 298 — — первого роДа п-го порядка 298 — — — — р-го порядка 297 — гармоническая 239, 384 — Дирака 428 — единичная импульсная 429 — интегральная нормального закона " ^распределений 481 — — распределения вероятностей дву- мерной случайной величины 490 — комплексной переменной аналити- ческая 301 — — показательная 301 — кусочно монотонная 321 — — непрерывная 338 — Лапласа 480 — — приведенная 483 — начальная 401 — нечетная 329 — однородная п-го измерения 25 — от случайной величины 463 — распределения вероятностей 468 , — собственная 370 — спектральная. 354 — Хевисайда единичная 402 — четная 329 — "о (/) 402 —Центр 123 — распределения вероятностей слу- чайной величины 458, 472 — рассеивания двумерной нормально распределенной случайной величины 491 Циркуляция вектора 211 Циссоида 145 Частота 434 — колебаний 97 — относительная 434, 451 Часть уравнения правая 68 Числа волновые 348, 354 Член матрицы 511 — ряда 245 Шанс 436 Шкала рассеивания ошибок 485 Элемент пространства Ф 359 — п-мерного евклидова пространства 358 . t' *. Эллипс инерции,188 — рассеивания 492 — — единичный 49Й — — полный 492 Энергия движущейся точки кинетиче- ская 62 — — — потенциальная 62 ' • Якобиан 177, 198 L-изображение 401 — функции Хевисайда 402 — ch at 406 — cos t 403 — e-"t 405 — sh at 406 — sin t 403 — I" 408 у -оператор 236 н.с. пискунов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ВТУЗОВ том ВТОРОЙ ИЗДАНИЕ ТРИНАДЦАТОЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия оля еылших технических учебных заведений МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1985