ГЛАВА 11

ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Высокопроизводительные электронные вычислительные ма-
шины создали основу для алгоритмических построений и широ-
ких математических экспериментов во многих областях науки
и техники. Это способствовало привлечению новых научных кадров
к проблемам машинной математики. Ценный опыт, накопленный
при решении прикладных задач, в дальнейшем был использован
для построения эффективных методов и алгоритмов вычислитель-
ной математики. В данной главе мы кратко перечислим основные
направления в вычислительной математике, которые сложились
к настоящему времени, и отметим основные тенденции их развития.

11.1. Теория аппроксимации, устойчивости
и сходимости разностных схем

Широкое использование метода конечных разностей для реше-
ния дифференциальных уравнений математической физики вы-
звало необходимость детального изучения тех свойств разностных
уравнений, которые непосредственно влияют на качество разност-
ных схем. Такими свойствами прежде всего являются устойчи-
вость и сходимость.

Развитие теории устойчивости и сходимости началось после
того, как расчеты на быстродействующих машинах показали,
что разностная схема, аппроксимирующая корректную диффе-
ренциальную задачу, может оказаться неустойчивой (некоррект-
ной). Неустойчивая схема чувствительна к ошибкам округления,
допускаемым в процессе счета, и поэтому может привести к реше-
нию, значительно отличающемуся от решения дифференциальной
задачи. Эта отличительная и своеобразная черта разностных
уравнений вызвала усиленные теоретические исследования по
установлению связи между сходимостью и устойчивостью.

В середине 50-х годов А. Ф. Филиппов [б], Лаке [6, 7], Рихт-
майер [3, 6, 7], В. С. Рябенький [б], Дж. Нейман [7] почти одно-
временно и с разных позиций сформулировали следующий основ-
ной результат, получивший название теоремы эквивалентности:
если линейная однородная дифференциальная задача корректна
и разностная схема аппроксимирует эту задачу, то устойчи-
вость разностной схемы является необходимым и достаточным
условием сходимости решения разностной задачи к решению
исходной задачи. В окончательном виде для абстрактного урав-

ii.i]

АППРОКСИМАЦИЯ, УСТОЙЧИВОСТЬ И СХОДИМОСТЬ:

555

нения в банаховом пространстве эта теорема сформулирована
и доказана В. С. Рябеньким и А. Ф. Филипповым [б]. Теорема
эквивалентности сформулирована в терминах одной и той же нор-
мы. Сходимость в других нормах, как правило, может быть установ-
лена на основе теорем вложения С. Л. Соболева [I]. Повышая тре-
бования гладкости к начальным данным, можно ослабить требо-
вания на устойчивость схемы, на что первыми обратили внимание
В. С. Рябенький и А. Ф. Филиппов [б]. Эта идея последовательно
проведена в теореме эквивалентности Стрэнга [7] с использованием
понятия слабой устойчивости.

Из исследований, связанных с поиском эффективных призна-
ков устойчивости, в первую очередь следует отметить работу
Неймана и Рихтмайера [7], в которой сформулирован локальный
критерий устойчивости. Однако этот критерий верен лишь для
уравнений с постоянными коэффициентами в случае самосопря-
женных задач, в связи с чем начались усиленные поиски границ
применимости локального критерия.

Лаке и Ниренберг [6, 7] разработали теорию устойчивости
гиперболических разностных схем в терминах так называемого
символа разностной схемы. В случае явных разностных уравнений
символ совпадает с обычной матрицей перехода, получаемой ме-
тодом Фурье, при этом локальный критерий устойчивости оказы-
вается справедливым, если коэффициенты имеют ограниченные
вторые производные по х.

Стрэнг [7] сформулировал теорему сходимости для систем
квазилинейных гиперболических уравнений при условии локаль-
ной устойчивости разностных уравнений, соответствующих пер-
вой вариации дифференциальной системы, и достаточной гладкости
решения.

Изучение разностных схем с переменными коэффициентами
связано с использованием понятия диссипативности. Прежде
всего здесь следует отметить работу Крайса [б], который сформу-
лировал теоремы о связи порядка диссипативности разностных
уравнений, аппроксимирующих системы гиперболических урав-
нений, с порядком их точности. При этом матричные коэффици-
енты разностных уравнений предполагаются эрмитовыми и Лип-
шиц-непрерывными как функции от х.

Интересный подход к исследованию устойчивости предложен
в работах Н. Н. Яненко и Ю. И. Шокина [7]: вместо разностного
уравнения рассматривается некое сопутствующее ему дифферен-
циальное уравнение, называемое первым дифференциальным
приближением, из некорректности которого следует неустойчи-
вость разностной схемы.

Весьма важный класс разностных схем составляют схемы
с положительными операторами, рассмотренные Фридрихсом
[2], который ввел общее понятие положительных схем и устано-
вил для них достаточный критерий устойчивости в Zg.