16

ВВЕДЕНИЕ

применить к решению краевых задач для уравнений эллиптиче-
ского и параболического типов. Здесь, естественно, возникают
различные особенности, которые отмечены в схемах реализации.
Важно подчеркнуть, что метод Ричардсона может быть применен
к решению задач с малым параметром или для решения условно-
корректных задач на основе методов регуляризации. В этом слу-
чае метод Ричардсона основывается на решении задач с различными
параметрами, сходящимися к предельному их значению. Таким
образом, метод экстраполяции позволяет ввести в вычислитэльную
математику новые идеи, которые с успехом используются для оп-
тимизации различных алгоритмов решения задач.

Следует также подчеркнуть особое место, которое отводится
этому методу при решении задач вариационно-разностными ме-
тодами. В самом деле, здесь имеет место обычно следующая аль-
тернатива: либо получать решение разностных уравнений с очень
мелким шагом на основе довольно грубых разностных аппрокси-
маций, либо с помощью схем высокого порядка точности, но при
более крупных шагах разностных схем.

Первый метод прост, но требует большого объема вычислений,
второй логически значительно труднее, но требует меньшего числа
арифметических операций. Таким образом, ни тот, ни другой ме-
тод не оказывается эффективным для задач математической фи-
зики, если требуется высокая точность результатов. Поэтому воз-
никла мысль использовать наиболее простые вариационно-раз-
ностные схемы первого или второго порядка аппроксимаций, но
реализованные на последовательности сеток. Линейная комбина-
ция решений таких задач, как указано выше, во многих случаях
позволяет получить решение требуемого порядка точности.

В седьмой главе рассматриваются методы, к которым в послед-
нее время значительно возрос интерес. Эти методы позволяют в ря-
де случаев свести решение задач в области со сложной границей
к решению последовательности задач в более простых областях.
Отметим здесь метод разделения области, исследования по кото-
рому ведутся во многих странах. Интерес к данному методу обу-
словлен и тем обстоятельством, что он часто допускает крупно-
блочное распараллеливание процесса решения исходной задачи.
Это обстоятельство является важным в связи с внедрением в прак-
тику вычислений многопроцессорных ЭВМ, работающих в парал-
лельном режиме.

В восьмой главе формулируются алгоритмы теории регулярных
возмущений. Данные алгоритмы излагаются в применении к не-
однородным функциональным уравнениям, задачам на собствен-
ные значения, вычислению линейных функционалов. Рассмотрение
здесь проводится с использованием как основных, так и сопряжен-
ных уравнений, осуществляется иллюстрация алгоритмов на при-
мере конкретных прикладных задач.

Девятая глава посвящена постановке и численному решению

ВВЕДЕНИЕ

17

обратных задач. Методы математического моделирования сложных
задач науки и техники постоянно выдвигают перед исследователем
проблемы, связанные с восстановлением решения задачи по не-
которым функционалам от решения или с восстановлением вида
оператора задачи. Этот класс обратных задач оказывается наиболее
трудным с точки зрения вычислительной математики, поскольку
он, как правило, связан с решением некорректных по Адамару
задач. В математике возникло целое направление исследований
некорректных задач, основные результаты которых были полу-
чены советской школой математиков. А. Н. Тихонов ввел в рас-
смотрение процесс регуляризации таких задач, и они вскоре нашли
свое обоснование и алгоритмическое оформление. В этой главе
делается акцент на постановку обратных задач по восстановлению
структуры дифференциальных операторов и входных данных.
Хотя вид дифференциального оператора фиксируется, но его коэф-
фициенты предполагаются неизвестными, требующими опреде-
ления. Теория обратных задач тесным образом связана с исполь-
зованием основных и сопряженных уравнений. Разработанный
автором математический аппарат оказывается эффективным для
оценки малых возмущений функционалов от решений задач в за-
висимости от вариаций входных параметров. Следует особо от-
метить, что разработанные здесь методы могут быть применены
как для линейных, так и для нелинейных задач математической
физики.

В десятой главе изложены методы оптимизации, которые ак-
тивно вторгаются в математическое моделирование технологи-
ческих процессов, экономики и управления. Это прежде всего
методы линейного и квадратичного программирования, кото-
рые с алгоритмической точки зрения продвинуты наиболее су-
щественно. В этой главе даны также описания подходов к нели-
нейному программированию для выпуклых функций и выпуклых
областей. Далее читатель знакомится с общими идеями метода
динамического программирования и принципа максимума Понт-
рягина. В заключение рассматриваются проблемы оптимизации
задач математической физики с ограничениями на основе метода
вариационных неравенств, получившие широкое развитие в трудах
французских математиков.

Одиннадцатая глава посвящена обзору методов вычислитель-
ной математики. Настоящая книга, разумеется, не могла включать
в себя огромного объема алгоритмов вычислительной матема-
тики, разработанных к настоящему времени. Многие из них
вообще выпали из рассмотрения, поскольку хорошо описаны
в учебниках по вычислительной математике или в специальной
литературе.

Мы не говорим здесь о таких классических основах числен-
ного анализа, как кубатурные формулы, методы численного ре-
шения обыкновенных дифференциальных уравнений, простейшие