4                            ОГЛАВЛЕНИЕ

2.4. Вариационно-разностные и проекционно-сеточные схемы   133

2.4.1. Вариационно-разностная схема для одномерного уравнения диф-
фузии   (13i).   2.4.2. Вариационно-разностная схема для эллиптиче-
ского уравнения   (139).   2.4.3. Проекпионно-сеточная схема для эл-
липтического уравнения   (1,3).   2.4.4. Решение третьей краевой за-
дачи для эллиптического уравнения второго порядка   (147)   245
Метод штрафа (151).

2.5. Метод интегральных тождеств ..............   152

2.5.1. Построение разностных уравнений для задач с разрывными ко-
эффициентами на основе интегрального тождества   (162)    262
Вариационная форма интегрального тождества (160).

2.6. Построение схем для нестационарных задач проекционно-се-
точным методом .....................   169

Глава 3. Интерполяция сеточных функций ...........   173

3.1. Интерполяция функций одного переменного ........   174

3.1.1. Интерполяция функций одного переменного с помощью куби-
ческих сплайнов   (174).   3.1.2. Кусочно-кубическая интерполяция
со сглаживанием   (178).    3.1.3. Гладкие восполнения   (181).
3.1.4. Сходимость сплайн-функций (182).

3.2. Интерполяция функций двух и многих переменных . . .   184

3.3. г-гладкое приближение функций многих переменных . . .   187

3.4. Элементы общей теории сплайнов .............   193

Глава 4. Методы решения стационарных задач математической
физики .......................   199

4.1. Общие понятия теории итерационных методов .......  200

4.2. Некоторые итерационные методы и их оптимизация . . .   202

4.2.1. Простейший итерационный метод   (202).   4.2.2. Сходимость
и оптимизация стационарных итерационных методов   (205).   4.2.3.
Метод последовательной верхней релаксации   (208).   4.2.4. Чебы-
шевский итерационный метод   (213).   4.2.5. Сравнение скорости
сходимости итерационных методов для систем разностных уравнений
(222).

4.3. Нестационарные итерационные методы ..........  224

4.3.1. Теоремы сходимости  (224).  4.3.2. Метод минимальных невязок
(227).   4.3.3. Метод сопряженных градиентов (228).

4.4. Метод расщепления . . . ................  234

4.4.1. Коммутативный  случаи (237). 4.4.2. Некоммутативный слу-
чай   (241).   4.4.3. Вариационная и чебышевская оптимизация мето-
дов расщепления (246).

4.5. Итерационные методы для систем с вырожденными матрица-
ми ...........................  251

4.5.1. Случай совместной системы   (251).   4.5.2. Случай несовмест-
ной системы   (253).   4.5.3. Метод фиктивных областей (255).

4.6. Итерационные методы при неточных входных данных . . .  259

4.7. Прямые методы решения конечно-разностных уравнений 261

4.7.1. Быстрое преобразование Фурье   (261).   4.7.2. Метод цикли-
ческой редукции   (266).   4.7.3. факторизация разностных уравне-
ний (268).

4.8. Асимптотический анализ алгоритмов решения задач . . .  279

4.8.1. Оценки некоторых алгоритмов линейной алгебры   (280).

4.8.2. Анализ вычислительных алгоримов решения модельной задачи
(282).

Глава 5. Методы решения нестационарных задач ........  290

5.1. Разностные схемы второго порядка аппроксимации с опера-
торами, зависящими от времени .............  290

ОГЛАВЛЕНИЕ

5.2. Неоднородные уравнения эволюционного типа .......  293

5.3. Методы расшепления нестационарных задач .......  294

5.3.1. Метод стабилизации   (295).   5.3.2. Метод предиктор-корректор
(299).   5.3.3.   Метод покомпонентного расщепления   (303).   5.3.4.
Некоторые общие замечания. Попеременно-треугольный метод (308).

5.4. Многокомпонентное расщепление задач ..........   312

5.4.1. Метод стабилизации   (312)   5.4.2. Метод предиктор-корректор
(314).   5.4.3. Метод   покомпонентного расщепления на основе эле-
ментарных схем   (316).   5.4.4. Расщепление квазилинейных задач
(321).

5.5. Общий подход к покомпонентному расщеплению ......  322

5.6. Методы решения уравнений гиперболического типа . . .   327
5.6.1. Метод стабилизации (327).  5.6.2. Сведение уравнения колеба-
ний к эволюционной вадаче (330).

5.7. Методы решения многомерного уравнения движения и урав-
нения переноса .....................  335

5.7.1. Двумерное уравнение движения с переменными коэффициента-
ми   (336).   5.7.2. Многомерное уравнение движения   (340).   5.7.3.
Нестационарное уравнение переноса нейтронов (3-6).

5.8. Асимптотический анализ и распараллеливание алгоритмов
решения простейшего уравнения диффузии ........  359

Глава 6. Повышение точности приближенных решений по Ри-
чардсону ...............   366

6.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка   366

6.2. Общие результаты . . .................   361

6.2.1. Теорема о разложении   (372).   6.2.2. Ускорение сходимости
(378).

6.3. Простейшие интегральные уравнения ...........   384

6.3.1. Уравнение Фредгольма второго рода   (384).   6.3.2. Уравнение
Вольтерра первого рода (387).

6.4. Одномерное уравнение диффузии .............   389

6.4.1. Разностный метод   (390).   6.4.2. Метод Галёркина   (392).

6.5. Нестационарные задачи .................   399

6.5.1. Уравнение теплопроводности   (399).   6.5.2. Метод расщепле-
ния для эволюционной задачи (404).

6.6. Экстраполяция Ричардсона для многомерных задач . . .   406

Глава 7. Методы Шварца и разделения области ........   411

7.1. Метод Шварца . . ............. ......   412

7.1.1. Формулировка метода  (411). 7.1.2. Сходимость метода  (414).

7.2. Метод разделения области ................   418

7.2.1. Алгоритмы метода разделения области   (418).   7.2.2. Сходи-
мость алгоритмов   (423).   7.2.3. Распараллеливание процесса реше-
ния задач (427).

7.3. Метод разделения области в нестационарных задачах . . .   430

7.4. Метод фиктивных областей ................   436

Глава 8. Сопряженные уравнения и методы возмущений . . .  443

8.1. Основные и сопряженные уравнения. Алгоритмы возмуще-
ний ...........................   443

8.2. Метод теории возмущений для задач на собственные значе-
ния ..................   4

8.3. Сопряженные уравнения и теория возмущений для линей-
ных функционалов ...................  4 7