18

ВВЕДЕНИЕ

методы интерполяции и др. Речь идет о новых методах современ-
ной вычислительной математики, таких, как метод крупных ча-
стиц, метод интегральных соотношений, универсальные методы
линейной алгебры и др. Они отражены в обзоре.

Обзор методов вычислительной математики, данный в настоя-
щей главе, сопровождается постановкой ряда проблем вычислитель-
ной математики и анализом тенденций их развития. По нашему
мнению, это поможет читателю не только сориентироваться в проб-
лемах вычислительной математики, но и определить наиболее
активно развивающиеся ее области.

Поскольку книга является учебным пособием, мы старались
в основном тексте избегать ссылок на библиографию, которые
могли бы отвлечь читателя от систематического ознакомления
с материалом. Этот пробел частично восполняется одиннадцатой
главой, где, кроме обзора методов вычислительной математики,
даются ссылки на соответствующие источники.

Особое место в книге отводится списку литературы. Этот список
систематизирован по различным вопросам вычислительной мате-
матики, что позволит читателю быстро войти в круг интересующих
его проблем.

Вся книга имеет общую цель — подготовить читателя к реше-
нию сложных задач вычислительной и прикладной математики.

При изучении предлагаемой книги автор рекомендует читате-
лю использовать задачник В. И. Дробышевича, В. П. Дымни-
кова, Г. С. Ривина «Задачи по вычислительной математике»
(Москва, «Наука», 1980), который соответствует изложению боль-
шей части материала книги.

В заключение следует отметить, что в книге широко использо-
ваны новые результаты исследований советских и зарубежных
авторов и в первую очередь сотрудников Отдела вычислительной
математики АН СССР и Вычислительного центра СО АН СССР.
Это прежде всего результаты, полученные В. И. Агошковым,
В.А. Булавским,А. Л. Бухгеймом, В. А. Василенко, В. П. Ильиным,
Ю. А. Кузнецовым, В. И. Лебедевым, А. М. Мацокиным, В. В. Сме-
ловым, В. А. Цецохо, В. В. Шайдуровым, В. П. Шутяевым и др.
Раздел книги по вариационным неравенствам был'написан по мате-
риалам, любезно представленным автору французскими математи-
ками Ж.-Л.Лионсом и Р. Гловинским.

ГЛАВА  1

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

В настоящей главе приводятся краткие сведения по фундамен-
тальным вопросам теории разностных схем, которые существенно
использованы в последующих главах книги. Поскольку нашей
основной задачей является знакомство с некоторыми современными
принципами построения вычислительных алгоритмов для реше-
ния задач математической физики, то при рассмотрении вопросов
теории мы ограничимся только наиболее простыми случаями.

В данной главе мы также приведем конечно-разностные ап-
проксимации некоторых простейших (но вместе с тем широко рас-
пространенных) краевых задач.

1.1. Основные понятия и определения

Рассмотрим в и-мерном евклидовом пространстве R" некоторую
область D. Обозначим через Lg (Z?) гильбертово пространство
всех вещественных измеримых функций/ (ж), суммируемых с квад-
ратом, т. е. таких, что

со скалярным произведением

(/,§-)== \f(x)g(x)dx.

D

(1.1)

Как обычно, норму функций / из L^ (D) определим равенством

11 / 11 = (/,/У72.                           (1.2)

Выделим теперь из гильбертова пространства Ly (D) некоторое
множество элементов Ф С L^ (D), содержащее вместе с (р и г{э
их линейную комбинацию кср + рг|), где ее, (3 (= R, причем воз-
можно, что каждый элемент (р (= Ф удовлетворяет некоторым до-
полнительным условиям. Такими условиями в зависимости от
рассматриваемой задачи могут быть, например, требования за
данной гладкости, удовлетворение предельным соотношениям на
границе области D и т. д. Указанные условия, однако, должны
быть достаточными для того, чтобы оператор А задачи переводил
элемент <р ^= Ф в элемент Л(р ?? L^ (D).