564

ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ ГГЛ. 11

развиты М. М. Лаврентьевым и В. Г. Васильевым [16]. В работах
этого направления устанавливается понятие устойчивости, конст-
руируются оптимальные в определенном смысле алгоритмы реше-
ния различных классов задач при некоторых предположениях
о вероятностных свойствах погрешностей во входных данных и о
вероятностных свойствах множества искомых решений.

Лионе и Латтес [16] сформулировали численный метод решения
обратных эволюционных уравнений на основе так называемого
квазиобращения. К эволюционному уравнению добавляется ре-
гуляризующий оператор с малым параметром, являющийся про-
изведением исходного оператора на его сопряженный. Малый пара-
метр выбирается на основе специальным образом разработанных
оптимальных оценок в решении. Метод квазиобращения весьма
прост в реализации для решения эволюционных задач математи-
ческой физики.

Автором и С. А. Атанбаевым [16] разработан метод решения
условно корректных задач эволюционного типа на основе приме-
нения метода минимальных невязок для всей пространственно-
временной области определения решения. Регуляризация в этом
методе производится за счет выбора оптимального числа шагов
итерационного процесса на основе априорной оценки погрешно-
стей во входных данных. Весьма полное исследование по теории
некорректно поставленных задач и методов регуляризации дано в
работах В. А. Морозова [14, 16].

Тенденция развития методов решения условно корректных за-
дач свидетельствует о том, что используемые методы тесно примы-
кают к методам оптимизации вычислительного процесса.

11.4. Вычислительные методы в линейной алгебре

Необходимо отметить все возрастающий интерес к решению
больших систем линейных алгебраических уравнений как с раз-
реженными, так и плотными матрицами, решению плохо обус-
ловленных систем и спектральных задач для матриц произвольной
структуры. Большое внимание при этом уделяется использованию
априорной и апостериорной информации о задаче в ходе ее реше-
ния. Существенное влияние на пересмотр старых вычислительных
методов линейной алгебры оказали ЭВМ, которые стимулировали
интерес к новым алгоритмам, приспособленным для автоматиче-
ского счета.

Прямые методы линейной алгебры. Под
прямым методом линейной алгебры обычно понимают метод, ко-
торым можно решить задачу за конечное число арифметических
действий. В вычислительной линейной алгебре прямые методы
играют важную роль при решении систем линейных уравнении,
вычислении обратных матриц и определителей. Прямые методы
позволяют с помощью ряда элементарных преобразований полу-

11.4]        ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

565

чить разложение исходной матрицы в произведение двух, каждая
из которых легко обращается.

Классическими примерами прямых методов служат метод иск-
лючения Гаусса, методы вращения и отражения. Вторую группу
составляют так называемые методы сопряженных направлений:
метод сопряженных градиентов Хестенса и Штифеля [11] и метод
минимальных итераций Ланцоша [З]. Работы этих авторов положи-
ли начало развитию методов, основанных на ортогонализации.

В последние годы прямые методы получили значительное раз-
витие в первую очередь благодаря исследованиям Д. К. Фаддее-
ва, В. Н. Фаддеевой, В. Н. Кублановской [18], Бауэра [8], Хаус-
холдера [З], Уилкинсона [8], Хенричи [З], Форсайта, Молера [8],
Голуба [12], В. В. Воеводина [8] и др.

Большой проблемой по-прежнему остается решение систем
уравнений с плохо обусловленными матрицами, которая тесно
связана с решением условно корректных задач математической
физики. Сложность проблемы связана с сильной чувствитель-
ностью решения к точности задания элементов матрицы и компо-
нент вектора правой части системы. Хотя уже получен ряд важных
результатов, тем не менее это только начало большого научного
поиска, который должен завершиться созданием общей теории.

Итерационные методы. Важнейшим средством решения задач
линейной алгебры являются итерационные методы, активное раз-
витие которых привело к созданию ряда хороших алгоритмов, эф-
фективно реализуемых на ЭВМ. Этот прогресс в первую очередь
был вызван необходимостью решать задачи математической физи-
ки, экономики и управления, приводящие к системам большого
порядка с матрицами специального вида. Прямые методы в боль-
шинстве случаев оказываются малоэффективными при решении
таких задач, хотя каждый новый этап в развитии вычислительной
техники и расширяет их возможности.

К настоящему времени определились некоторые направления
в построении итерационных методов; мы ограничимся рассмотре-
нием только двух из них. Первое основано на использовании спект-
ральных характеристик операторов, участвующих в процессе.
Методы этого типа можно описать следующим образом: строится
итерационный процесс с матрицей перехода, зависящей от сово-
купности параметров, и эти параметры выбираются либо одина-
ковыми для всех шагов из условия минимизации спектрального
радиуса матрицы перехода, либо строится последовательность зна-
чений параметров, зависящих от номера итерации так, чтобы век-
тор ошибки стремился как можно быстрее к нулю равномерно
по всем начальным приближениям. Оба способа используют ап-
риорную информацию о спектрах участвующих матриц. Выбор
таких параметров является составной частью проблемы оптимиза-
ции вычислительного алгоритма. Наибольшая трудность этапа
состоит в определении границ спектров участвующих матриц.