12

ВВЕДЕНИЕ

Такой принцип, по-видимому, является основополагающим при
решении многих задач. Одновременно следует отметить, что пре-
емственность свойств операторов задач при редукции дает воз-
можность опираться на хорошо разработанные методы функцио-
нального анализа, что обычно позволяет простым и универсаль-
ным путем проводить исследования эффективности алгоритмов
вычислительной математики.

Теперь мы переходим к краткому обзору книги, с тем чтобы
отразить главные моменты и новые идеи, предлагаемые читателю.

Первая глава посвящается общим вопросам теории разност-
ных схем. Наряду с уже ставшими классичеекими понятиями в тео-
рии разностных схем, такими, как аппроксимация, счетная ус-
тойчивость и сходимость решений разностных уравнений, в этой
главе приведены некоторые важные результаты, связанные с об-
щими свойствами основных и сопряженных задач, которые будут
использованы во многих главах книги. Нам хотелось бы особо
выделить п. 1.1.2, в котором приведены современные алгоритмы
для вычисления границ неотрицательного спектра матриц. Как
известно, верхняя граница спектра находится с помощью хорошо
разработанных итерационных процессов, и эта проблема, как
правило, не вызывает трудностей в реализации. Что касается
минимального собственного числа — нижней границы спектра, то
его вычисление обычно является сложной проблемой.

Теоретически наиболее простой подход, связанный с оценкой
максимального собственного числа обратного оператора, оказы-
вается алгоритмически малоэффективным. В книге изложен дру-
гой подход, связанный со сдвигом спектра операторов, который
позволяет достаточно просто находить нижнюю границу спектра.
На этом вопросе мы остановились подробно, поскольку многие
вычислительные алгоритмы, особенно связанные с оптимизацией
итерационных процессов, существенно опираются на априорную
информацию о границах спектра.

Во второй главе рассмотрены методы построения разностных
схем. При этом мы сконцентрировали свое внимание на двух под-
ходах: методе интегральных соотношений и вариационных спо-
собах построения разностных схем. Каждый из этих подходов име-
ет свои определенные преимущества и некоторые недостатки. От-
метим лишь, что эти подходы не являются независимыми и при
определенных условиях приводят к тождественным разностным
схемам, аппроксимирующим исходные дифференциальные задачи.

Тем не менее следует отметить, что вариационный подход
к построению разностных схем во многих случаях бывает более
предпочтительным, поскольку он приводит к сохранению свойств
определенности исходных операторов при переходе к разностным.
Важно отметить, что для широкого класса задач это происходит
автоматически.

В книге мы ограничились рассмотрением трех методов построе-

ВВЕДЕНИЕ 13

ния разностных схем на основе вариационных принципов: метода
Ритца, метода Галеркина и метода наименьших квадратов. Ко-
нечно, они не исчерпывают всего многообразия вариационных
подходов, однако они позволяют познакомиться с общими прин-
ципами конструкции разностных схем, которые весьма просто мо-
гут быть распространены и на другие случаи.

Несколько слов о методе конечных элементов (вариационно-
разностный метод, проекционно сеточный метод). Можно сказать,
что этот метод является удобным средством для построения раз-
ностных схем на основе вариационных принципов. В своей мето-
дологической основе метод конечных элементов тесно связан с ме-
тодом рядов Фурье, но вместо привычных нам базисных функций
(например, тригонометрических функций, многочленов Лежандра,
Эрмита и т. д.) здесь мы имеем дело с многочленами, отличными
от нуля только в сравнительно небольшой области изменения ар-
гументов, т. е. с финитными функциями.

Применение вариационных принципов к построению разност-
ных схем не случайно. Из теории следует, что вариационный
функционал, адекватно отражающий определенные закономер-
ности механики, математической физики, динамики и т. д., дости-
гает своего экстремального значения на решении интересующей
нас задачи. Поэтому если нам задан вариационный функционал
и определен класс функций, на которых следует минимизировать
функционал, то дальнейшая задача состоит в алгоритмическом
отыскании функций, доставляющей экстремум функционалу.

Если класс допустимых функций сужать, налагая на них до-
полнительные ограничения, то минимизирующая функция не
обязательно будет решением исходной задачи, а будет только при-
ближаться к точному решению.

В будущем, когда средства вычислительной техники станут
еще более мощными, роль вариационных функционалов в по-
строении решений задач математической физики будет непрерывно
возрастать.

Появятся методы целенаправленного перебора пробных функ-
ций, принадлежащих широким классам, позволяющие эффективно
находить экстремальные решения. Таким образом, использование
вариационных функционалов для решения задач все более смы-
кается с проблемой оптимальной организации алгоритма получе-
ния решения задачи с заданной точностью, т. е. с теорией оптими-
зации.

Наряду с классически поставленными задачами, при решении
задач науки и техники зачастую приходится иметь дело с зада-
чами, поставленными неклассически. К ним, например, относится
задача с ограничениями. Правда, простейшие задачи с ограниче-
ниями являются классическими. Ограничениями, например, яв-
ляются краевые условия для дифференциальных задач.

Более сложные задачи с ограничениями требуют для своего