14

ВВЕДЕНИЕ

решения и более сложного математического аппарата. Например,
если требуется решить задачу о прогибе мембраны под действием
различных сил, если ее положение сверху и снизу ограничивается
заданными функциями координат, то обычный классический под-
ход оказывается бессильным. Тем не менее, если такой задаче
поставить в соответствие некоторый вариационный функционал
и отыскивать его минимум на классе функций, каждая из которых
удовлетворяет заданному ограничению, то минимизирующая
функция будет доставлять решение нашей задачи.

В главе третьей рассмотрены вопросы интерполяции сеточных
функций. Проблема интерполяции возникает всякий раз, когда
требуется заданную на сетке функцию восполнить непрерывными
функциями на всю область. Сюда относятся задача продолжения
приближенного решения на всю область по его значениям в узлах
сетки и задача обработки экспериментальных данных, известных
на дискретном множестве точек.

Задача интерполяции становится фундаментальным звеном
в системе автоматизации проектно-конструкторских работ, где
в самом существе проблемы заложены способы графического ото-
бражения информации. Проблема интерполяции не является
новой, и в математической литературе классические методы изло-
жены достаточно полно. Новым в последние десятилетия направ-
лением в теории интерполяции является использование так назы-
ваемых сплайновых интерполяций, описанию которых в основном
и посвящена третья глава.

Сплайновые интерполяции являются наилучшим средством
построения гладких восполнении сеточных функций на заданных
классах функций. Оптимальность сплайна связана с его специ-
альным экстремальным свойством. Сплайновые аппроксимации
все более широко применяются во всех областях науки и техники,
поэтому знакомство с ними читателя, по нашему мнению, являет-
ся необходимым.

Четвертая глава в основном посвящена итерационным методам
решения линейных алгебраических уравнений. Здесь изложены
как общие подходы к решению алгебраических систем, так и спе-
цифические методы, связанные с особенностями аппроксимаций
задач математической физики, с помощью разностных и вариа-
ционно-разностных методов. Хотя литература по итерационным
методам весьма обширна и содержит описание многих эффектив-
ных алгоритмов, тем не менее в настоящей книге мы, наряду с рас-
смотрением классических процессов, основное внимание уделили
итерационным методам, оптимизируемым с помощью квадратичных
функционалов. В этом состоит выражение нашего общего подхода
к вопросам оптимизации как при построении вычислительных
алгоритмов, так и при их реализации.

Касаясь специфических проблем, связанных с частным видом
матриц, возникающих при численном решении задач математичес-

ВВЕДВНИЕ                     15

кой физики, мы ориентируемся на методы расщепления матриц на
простейшие в общей схеме итерационного процесса. Метод рас-
щепления является естественным развитием метода попеременных
направлений, сыгравшим исключительную роль в численном ре-
шении задач математической физики. Метод расщепления имеет
различные модификации и обобщения, в том числе с использова-
нием вариационных принципов.

Особого внимания заслуживают прямые методы решения ко-
нечно-разностных уравнений, изложенные в конце этой главы.
Это прежде всего быстрое преобразование Фурье и метод цикли-
ческой редукции. Эти методы предложены недавно и их популяр-
ность непрерывно возрастает.

Методам решения нестационарных задач посвящена пятая
глава книги. Эти методы в основном связаны с использованием
идеи расщепления сложных операторов задач на более простые.
Здесь не только проанализированы хорошо утвердившиеся в прак-
тике методы, такие, как метод стабилизации и метод предиктор-
корректор, но и детально описан наиболее эффективный, по на-
шему мнению, метод покомпонентного расщепления, идея которого
изложена в 5.3.3 и 5.4.

Метод покомпонентного расщепления позволяет на каждом
временном шаге сводить сложную задачу математической физики
к последовательности простейших однокомпонентных задач.
В результате мы приходим к эффективному алгоритму реализации
на ЭВМ, абсолютно устойчивому и обеспечивающему второй поря-
док аппроксимации решения как по пространственным перемен-
ным, так и по времени. Этот метод применяется для широкого
класса нестационарных задач математической физики.

В шестой главе рассматриваются методы уточнения прибли-
женных решений, восходящие к Ричардсону и Рунге. Как извест-
но, уточнение приближенных решений можно производить раз-
личными методами. Обычно для этой цели используются более
точные аппроксимации дифференциальных или интегральных
уравнений с помощью схем высокого порядка точности. Ри-
чардсон предложил для этой цели использовать разностную
аппроксимацию сравнительно невысокого порядка точности, но
примененную для различных сеток. Так, если исходное разност-
ное уравнение соответствует аппроксимации на сетке с шагом h,
то следующее соответствует шагу h/2 и т. д. В результате мы при-
ходим к разностным уравнениям, записанным для последователь-
ности сеток. Оказывается, что при выполнении ряда требований
относительно операторов, шага сетки и исходных данных задачи
линейная комбинация приближенных решений на последователь-
ности сеток позволяет получить решение более высокого поряд-
ка точности по сравнению с исходными решениями.

Метод экстраполяции Ричардсона, первоначально предложен-
ный для обыкновенных дифференциальных уравнений, удалось