8     Предисловие

До появления метода конечных элементов существовало много
иных численных процессов аппроксимации. Это уже зарекомендо-
вавшие себя методы граничных решений и конечно-разностные ме-
тоды. Их приверженцы по временам скрещивали шпаги с защитни-
ками метода конечных элементов, провозглашая те или иные их
преимущества. В настоящее время некоторые из нас видят, что все
процессы аппроксимации, используемые при решении описываемых
дифференциальными уравнениями задач, по существу составляют
единое целое, и эта мысль постоянно подчеркивается в книге. Мы
пытаемся показать, что можно ввести «обобщенный метод конечных
элементов», охватывающий все возможные варианты и, таким об-
разом, оставляющий простор для выбора пользователем оптималь-
ной аппроксимации. По этой причине книга начинается с главы,
посвященной конечно-разностным методам,— возможно, наиболее
наглядным (и старейшим) процедурам аппроксимации.

Мы старались обеспечить достаточное число иллюстративных
примеров, а также упражнений, чтобы книга могла служить учеб-
ником (или даже самоучителем). Любые предложения читателя по
конкретным улучшениям будут приветствоваться.

В заключение мы хотели бы поблагодарить д-ра Дона Келли за
содействие в написании посвященной оценкам погрешностей части
гл. 8 и секретарей Отдела гражданского строительства в Суонси
за перепечатку рукописи.

О. Зенкевич
К- Морган

Суонси, Уэльс, Великобритания
Сентябрь 1982 г.

Глава 1

НЕПРЕРЫВНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И
НЕОБХОДИМОСТЬ ЧИСЛЕННОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ.
КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ

1.1. Введение

При поиске количественного описания физического явления
инженер и физик обычно вводят в рассмотрение некоторую систему
обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений с
частными производными, справедливую в определенной области, и
налагают на эту систему подходящие краевые и начальные условия.
На этой стадии математическая модель замкнута, и для практических
применений требуется только найти решение для конкретного мно-
жества числовых данных. Здесь, однако, возникают основные труд-
ности, так как точному решению существующими математическими
методами поддаются лишь уравнения самого простого вида внутри
геометрически тривиальных границ. Обыкновенные дифференци-
альные уравнения с постоянными коэффициентами являются одним
из немногих примеров, для которых имеются стандартные процеду-
ры решения, но даже здесь при большом числе зависимых перемен-
ных встречаются значительные трудности.

Чтобы преодолеть эти трудности и иметь возможность восполь-
зоваться наиболее мощным средством вычислений нашего века —
цифровой ЭВМ,— необходимо преобразовать задачу к чисто ал-
гебраической форме, включающей только основные арифметические
операции. Для достижения этой цели могут быть использованы
различные виды дискретизации непрерывной задачи, определенной
дифференциальными уравнениями. При такой дискретизации беско-
нечное множество чисел, представляющих неизвестную функцию
или функции, заменяется конечным числом неизвестных парамет-
ров, и для этого процесса, вообще говоря, требуется некоторая
форма аппроксимации.

Среди различных возможных видов дискретизации одним из
простейших является процесс перехода к конечным разностям. В
этой главе описываются некоторые из основных моментов этого
процесса, что позволит сформулировать суть метода. Остальная
часть книги касается различных аппроксимаций базисными функ-
циями, при общей классификации относящихся к методам конеч-
ных элементов. Читатель увидит впоследствии, что даже конечно-
разностный процесс может быть включен (как подкласс) в эту
более общую категорию.