556

ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ [ГЛ. 11

С. К. Годунов и В. С. Рябенький [6, 7] ввели понятие спектра
семейства разностных операторов, что позволило им сформули-
ровать необходимое условие устойчивости разностных уравнений,
хорошо вскрывающее сущность неустойчивости. Введено новое
понятие ядра спектра семейства разностных операторов. В терми-
нах радиусов ядер спектра даны оценки норм степеней операто-
ров семейства, причем эти оценки оказываются равномерными
для всего семейства и могут быть использованы для исследования
устойчивости.

Все рассмотренные выше признаки устойчивости можно на-
звать спектральными, так как они основаны на изучении спектра
разностных операторов. Эти признаки могут установить сходимость
в норме La. Доказательства устойчивости разностных схем в С
проводились С. И. Сердюковой [б], Томэ [б], А. А. Самар-
ским [7] и др.

Из неспектральных подходов к изучению устойчивости разно-
стных аналогов уравнений параболического и гиперболического
типов необходимо указать на весьма общую теорию, построенную
А. А. Самарским [3, 6, 71 на основе энергетических неравенств
и априорных оценок. В этой теории для широкого класса двух-
слойных и трехслойных схем содержатся достаточные условия
устойчивости, сформулированные в виде неравенств между опе-
раторными коэффициентами разностных схем. Эти условия весьма
конструктивны и позволяют не только исследовать схемы на устой-
чивость, но и строить новые устойчивые схемы.

Большое развитие в настоящее время получил энергетический
метод. Идея метода состоит в выборе такой нормы для вектора
решения, значения которой возрастают от шага к шагу не быстрее,
чем 1 — О (At), что означает устойчивость в этой норме.

Энергетический метод исследования устойчивости появился
еще в работе Куранта, Фридрихса и Леви [7] и был с успехом раз-
вит О. А. Ладыженской [71, Лпзом [7], Лаксом [7], Крайсом [61,
А. А. Самарским [З], А. Н. Коноваловым [15J и др.

Для гиперболических краевых задач весьма полное исследо-
вание проблемы устойчивости проведено Крайсом [61. Им уста-
новлены достаточные условия устойчивости разностных аналогов
при весьма общих предположениях относительно входных данных
задач.

Теория аппроксимации и сходимости с общих позиций функ-
ционального анализа развита Л. В. Канторовичем и Г. П. Аки-
ловым [I], которые рассмотрели широкий класс операторных урав-
нений, уделив особое внимание проблеме численного решения
интегральных уравнений.

Важное значение для теории сходимости имеет разработанная
С. Л. Соболевым ЦТ теория замыкания вычислительного алго-
ритма, широко используемая для теоретического обоснования
приближенных методов решения задач математической физики.

11.2] МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 557

11.2. Методы численного решения задач
математической физики

Понятия аппроксимации, устойчивости и сходимости создали
необходимую базу широкого поиска эффективных разностных
схем для решения задач математической физики. Алгоритмы ре-
шения задач с помощью конечно-разностных методов, как правило,
представляют собой сочетание методов построения разностных
аналогов задач и методов их решения. Поэтому прогресс в конст-
руктивной теории конечно-разностных методов обязан взаимо-
согласованному развитию указанных двух направлений иссле-
дований. Если попытаться просуммировать богатейший опыт в раз-
витии конечно-разностных методов последних лет, то условно
можно выделить следующие важные направления.

Построение разностных схем. Одно из таких направлений свя-
зано с разработкой методов построения консервативных разно-
стных схем, основанных на законах сохранения, свойственных
большинству физических процессов. Для конструирования кон-
сервативных разностных схем исходят из уравнений балансов,
записанных для отдельной ячейки сеточной области, с последую-
щим использованием квадратурных и интерполяционных формул.
Построенные разностные уравнения после необходимых преобра-
зований и суммирования по всем точкам сеточной области удовле-
творяют дискретным аналогам интегральных законов сохранения.

Такие подходы рассмотрены О. А. Ладыженской [7], в рабо-
тах которой построены разностные операторы для уравнений с раз-
рывными коэффициентами, имеющие единый вид для любой внут-
ренней точки области. Для обоснования алгоритма использовано
понятие обобщенного решения и доказано, что решение разностной
задачи образует некоторый функционал, переходящий при h —>- О
в функционал дифференциальной задачи.

Консервативные разностные схемы сквозного счета в гидро-
динамике разработаны С. К. Годуновым [4J, Лаксом и Вендро-
фом [6] на основе явных разностных аппроксимаций. Большое
значение для решения задач гидродинамики имеет метод инте-
гральных соотношений, предложенный А. А. Дородницыным [3]
и развитый О. М. Белоцерковским, П. И. Чушкиным [41 и др.,
в котором использована частичная разностная аппроксимация
уравнений, записанных в дивергентной форме, на основе метода
прямых. Эти методы сыграли существенную роль в формировании
общего взгляда на конструкцию разностных схем для квазили-
нейных уравнений. Интересные общие подходы к интегрирова-
нию уравнений гидродинамики также предложены в работах
К. II. Бабенко, В. В. Русанова [12], Фромма [4], Кроули [4],
В. Ф. Куропатенко [4].

В последнее время большое внимание уделяется построению
решений задач математической физики высокого порядка точности.