572 ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ [ГЛ. И

с частными производными. Работы, в которых содержатся дру-
гие концепции и дальнейшее развитие теории оптимального уп-
равления, приведены в списке литературы [22].

Многие задачи математической физики допускают естествен-
ную вариационную постановку, когда задача сводится к отысканию
экстремума некоторого функционала. Вариационный подход
позволяет снять ограничения гладкости на искомое решение, не
вызванные физической природой явления, и, кроме того, дает
возможность строить заведомо устойчивые разностные схемы
(см. гл. 2).

В приложениях часто приходится иметь дело с задачами, ко-
торые приводятся к экстремальным, но на более узком множестве,
чем традиционные, причем соответствующие функционалы могут
не обладать гладкостью, необходимой для применения классиче-
ских методов вариационного исчисления. Для исследования та-
кого рода задач с ограничениями были привлечены вариационные
неравенства, что позволило решить довольно сложные задачи
механики и физики, до того не поддававшиеся решению.

Вариационные неравенства возникают в ряде разделов меха-
ники сплошных сред, в задачах со свободной границейе во многих
задачах оптимального управления и т. д. Вопросы теории данного
подхода развивались в основном в работах французских матема-
тиков [21]. Систематическое изложение численных методов ис-
cледования вариационных неравенств, возникающих в различных
приложениях, можно найти в книге Гловинского, Лионса, Тре-
польера «Численное исследование вариационных неравенств»,
моторая вышла в русском переводе в 1979 году.

11.7. Методы Шварца и разделения области

Альтернирующий метод Шварца известен в вычислительной
математике уже многие годы (В. И. Смирнов [2], С. Л. Соболев
[23], С. Г. Михлин [23], С. К. Годунов [2] и др.). Он всегда рас-
сматривался прежде всего как метод, позволяющий сводить ре-
шение исходной задачи в области со сложной формой границы-
к последовательности задач в подобластях, форма которых доста-
точно простая. В последние годы интерес к этому методу значи-
тельно возрос (Е. А. Волков [23], С. Е. Романова [23], А. М. Ма-
цокин [23], А. М. Мацокин, С. В. Непомнящих [231, П.-Л. Лионе
[23] и др.). Одной из причин этого является то обстоятельство, что
в настоящее время разработаны достаточно эффективные алгорит-
мы численного решения ряда задач математической физики имен-
но для случая простых областеи. С учетом этого обстоятельства
в последние годы осуществляется поиск модификаций метода
Шварца, обладающих более высокой скоростью сходимости, по
сравнению с его классическим вариантом.

11.8]     СОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ И АЛГОРИТМЫ ВОЗМУШЕНИИ      573

Другим методом, позволяющим часто сводить решения задач
к решениям последовательности задач в подобластях, имеющих
простую форму границы, является метод разделения области
(Э. И.'Матеева, Б. В. Пальцев [23], В. Э. Кацнельсон. В. В. Мень-
шиков [23], Л. Б. Цвик [23], В. В. Смелов [23], А. М. Мацокин [23],
В. И. Лебедев, В. И. Агошков [23], Г. И. Марчук, Ю. А. Куз-
нецов [23], Р. Гловинский [23], М. Дрыя [23], Е. Г. Дьяконов
[23] и др.). В первых же исследованиях поданному методу была
отмечена необходимость введения в итерационный процесс,
лежащий в основе метода, некоторых параметров. Эти пара-
метры необходимо было выбирать так, чтобы процесс сходил-
ся. Некоторые подходы по выбору оптимальных значений
этих параметров осуществлены В. Э. Кацнельсоном, В. В. Мень-
шиковым [23]. Л. Б. Цвиком [23] параметры итерационного про-
цесса выбирались на основе одношаговой минимизации квадра-
тичного функционала. В работах М. Е. Дмитриенко, Л. А. Ога-
несяна [23], В. Г. Осмоловского, В. Я. Ривкинда [23], А. М. Ма-
цокина [23] рассматривались стационарные итерационные процес-
сы метода разделения области в применении к дифференциальным
уравнениям и их разностным аналогам. В работах В. И. Ле-
бедева, В. И. Агошкова [23] исследованы эффективные нестацио-
нарные итерационные алгоритмы метода разделения области
с переменными параметрами, найдены оптимальные наборы этих
параметров. В. И. Агошковым, В. И. Лебедевым введен специаль-
ный класс операторов — операторов Пуанкаре — Стеклова, изу-
чен ряд свойств этих операторов и на их основе разработана об-
щая методология конструирования и исследования алгоритмов
разделения области. В. В. Смеловым [23] и В. И. Агошковым
[23] методы разделения области изучались в применении к зада-
чам теории переноса излучения. Исследованием данных методов
в нестационарных задачах посвящены работы Ю. А. Кузнецова
[23], Г. И. Марчука, Ю. А. Кузнецова [23], С. Н. Булеева,
В. И. Агошкова [23] и др.

В настоящее время число научных работ по методу разделения
области постоянно растет как в нашей стране, так и за рубежом.
Одной из причин этого роста является то, что данный метод часто
позволяет осуществить распараллеливание процесса решения
задачи при использовании многопроцессорных ЭВМ, которые
интенсивно внедряются в практику вычислений в последние годы.

11.8. Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений

Алгоритмы возмущений возникли в XIX веке в связи с реше-
нием задач небесной механики. Математическая теория возмуще-
ний берет свое начало из работ А. Пуанкаре [24], А. М. Ляпуно-
ва [24J, Реллиха [24]. Дальнейшее свое развитие она получила
в работах К. Фридрпхса, Т. Като, Н. II. Боголюбова, Ю. А. Мпт-