562

ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ [ГЛ. 1)

щими характеристиками для сплошной среды. Как только неко-
торая частица, «несущая» определенную массу в соответствии со
своей траекторией, рассчитываемой индивидуально, пересекает
границу ячейки, масса, импульс и энергия этой частицы вычитаются
из покинутой ячейки и добавляются в новую ячейку, где теперь
находится частица. Схема Харлоу основана на явных методах
решения уравнений первого и второго этапа, в целом она условно
устойчива. Особенно плодотворным является использование в рас-
четах первого шага неявных схем. В этом случае критерий устой-
чивости всей схемы совпадает с известным условием Куранта.
До сих пор еще не получены абсолютно устойчивые схемы метода
частиц, однако в ближайшие годы можно рассчитывать на суще-
ственный прогресс в этом направлении.

В последнее время в работах В. Ф. Дьяченко [19], О. М. Бе-
лоцерковского и Ю. М. Давыдова [19], Н. Н. Яненко, Н. Н. Ану-
чиной, В. Е. Петренко, Ю. И. Шокина [19] даны различные мо-
дификации метода, которые существенно уменьшили свойственные
ему флюктуации плотности и давления, увеличили «запас устой-
чивости», и рассмотрены различные схемы реализации.

Можно надеяться, что применение абсолютно устойчивых ме-
тодов и устранение флюктуации позволит распространить метод
частиц на слабосжимаемые течения жидкости. В ближайшие годы
можно ожидать существенного расширения сферы влияния этого
метода на решение многомерных задач.

Метод Монте-Карло, предложенный Нейманом и Уламом,
активно развивается уже более двух десятилетий. Первоначаль-
ный оптимизм в применении метода через некоторое время усту-
пил место столь же необоснованному пессимизму. Дело в том, что
уже на первых этапах развития оказалось, что метод Монте-Кар-
ло эффективен только при реализации на быстродействующих
ЭВМ с миллионами операций в секунду, поскольку он требует вы-
полнения большого числа статистических проб, понижающих
среднюю квадратичную ошибку в получаемом результате.

Однако несмотря на трудности в осуществлении метода на ЭВМ
среднего класса, а может быть, и благодаря им, в теорию метода
были внесены усовершенствования, которые существенно повыси-
ли эффективность метода в решении большого круга задач науки
и техники. Наиболее значительные усовершенствования связаны
с привлечением для расчетов условных вероятностей процессов
и статистических весов, определяемых на основе информации о ре-
шениях сопряженных уравнений по отношению к существенным
функционалам задач. Такие методы на два порядка, а в некоторых
случаях и на четыре уменьшили дисперсию ошибки и, следо-
вательно, на два и четыре порядка сократили время счета по
сравнению с методами прямого статистического моделирования.

В настоящее время ЭВМ третьего поколения создали необхо-
димую базу для активного применения этого метода к различным

11.3]                  УСЛОВНО КОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ

563

сложным задачам математической физики. Метод Монте-Карло
уже имеет солидные позиции в теории переноса излучения, зада-
чах массового обслуживания, кубатурных и интерполяционных
процессах, решениях интегральных уравнений и систем алгебраи-
ческих уравнений. В последнее время он начинает использоваться
для решения нелинейных уравнений Больцмана, в задачах ли-
нейного программирования и т. д.

Большой вклад в теорию и алгоритмы решения задач матема-
тической физики методом Монте-Карло внесли работы В. С. Вла-
димирова [18], Н. С. Бахвалова [18], И. М. Соболя [18],
Н. Н. Ченцова [18], Фано, Спансера, Бергера [18], С. М. Ерма-
кова, В. Г. Золотухина [18], Г. А. Михайлова [18], Н. П. Буслен-
ко, Д. И. Голенко [18] и др. Простой и универсальный метод Мон-
те-Карло, несомненно, станет активным средством вычислитель-
ной математики.

11.3. Условно корректные задачи

При решении задач математической физики численными мето-
дами важную роль играет корректность постановки исследуемой
задачи. Понятие корректности было введено Адамаром. Известно
большое число классических задач математической физики, по-
ставленных корректно по Адамару. В связи с более глубоким
изучением различных задач естествознания и техники возникла
проблема решения так называемых условно корректных задач.
А. Н. Тихонов [16] сформулировал требования, которые оказыва-
ются естественными в постановке задач, некорректных по Адама-
ру. Сущность этих требований состоит в том, что в условия поста-
новки задачи добавляется априорное предположение о существова-
нии решения и принадлежности его заданному компакту. Для ус-
тановления условной корректности необходимо доказать теорему
единственности.

Широкий цикл исследований по условно корректным задачам
проведен М. М. Лаврентьевым [16] и В. К. Ивановым [16]. Раз-
личные аспекты теории условно корректных задач математической
физики рассмотрены в трудах Джона [16], С. Н. Мергеляна [16],
Дугласа [16], С. Г. Крейна [16] и др.

А. Н. Тихонов [16] ввел понятие регуляризации. Сущность
его состоит в том, что вместо неограниченного оператора, дающего
точную формулу решения некорректно поставленной задачи, рас-
сматривается последовательность (регуляризующее семейство) не-
прерывных операторов такая, что на каждом элементе, принад-
лежащем области существования решения, соответствующая по-
следовательность сходится к решению.

Одним из интересных подходов к постановке задач, некоррект-
ных  по Адамару, является применение понятий и методов теории
вероятности. В наиболее полной форме такие исследования были