УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ

R" — евклидово пространство л-мерных вещественных векторов 19
D — область в пространстве R71 19

9D — граница области D 33

L^ {D) — пространство вещественных измеримых функций, суммируе-
мых с квадратом в области D 19

(,) — скалярные произведения в L^ (D) и в R" 19

]| • || — нормы в Аз (D} и в R» 19

А — оператор, действующий в пространстве L^ (D), или матрица, дей-
ствующая в R" 19

А "^ 0 — положительно полуопределенный оператор 20

А > 0 — положительный оператор 20

Ф (А) — область определения оператора А 20

А* — сопряженный оператор 20

А = А* — самосопряженный оператор 20

^ (А) — собственное число оператора А 21

Ц А || — норма оператора А-^21

» (А) = ^faia (^) — минимальное по модулю собственное число опе-
ратора А

Р (А) — спектральный радиус оператора А 22

W!^ (D) — пространство Соболева 23

(,) ту; /п\ — скалярное произведение в W, (D} 23

В • || ^, - норма в Wy (D) 23

ТЙ (Д) — пространство Соболева функций пространства W\ (D), обра-
щающихся в нуль на дВ 23

Д — оператор Лапласа 33

д/i — разностный аналог оператора Лапласэ на равномерной сетке 38

D^ — сеточная область 35

8Dh — граница сеточной области D^ 35

(<P)h — проекция функции q> на сетку 35

\,'у — разностные операторы 38

Дж, Ду, Vxi v»/ — разностные операторы а»

А11, а11 — сеточные операторы 39, 41

F^, Gh, Ф;1 — пространства сеточных функций 41

Hi? > II • HG • II • ||Ф — ПОР"" в пространствах F^, Оц, Ф^ 41

Н"! (а, Ъ) — пространство кусочно-полиномиальных функций на отрез-
ке [я, Ь]

С"1 (а, Ь) — пространство функций, непрерывных вместе с производными
до порядка т включительно, на отрезке [а, Ь] 141

Т — оператор шага 45

supp (cp) — носитель функции ф (х) (— замыкание множества точек х,
в которых (р (ж) ^= 0)

0 — пустое множество

ВВЕДЕНИЕ

Современные электронные вычислительные машины дали
в руки исследователей эффективное средство для математического
моделирования сложных задач науки и техники. Именно поэтому
количественные методы исследования в настоящее время прони-
кают практически во все сферы человеческой деятельности, а ма-
тематические модели становятся средством познания.

Роль математических моделей далеко не исчерпывается про-
блемой познания закономерностей. Их значение непрерывно воз-
растает в связи с естественной тенденцией к оптимизации техни-
ческих устройств и технологических схем планирования экспе-
римента. В процессе познания и в стремлении создать детальную
картину исследуемых процессов мы приходим к необходимости
строить все более сложные математические модели, которые в свою
очередь требуют универсального тонкого математического аппара-
та. Реализация математических моделей на ЭВМ осуществляется
с помощью методов вычислительной математики, которая непре-
рывно совершенствуется вместе с прогрессом в области электрон-
но-вычислительной техники.

Всякая редукция задач математической физики или техники
в конечном итоге обычно сводится к алгебраическим уравнениям
той или иной структуры. Поэтому предмет вычислительной мате-
матики, как правило, связан с методами сведения задач к систе-
мам алгебраических уравнений и их последующему решению.

Построение систем алгебраических уравнений, соответствую-
щих той или иной задаче с непрерывно меняющимися аргумента-
ми, обычно существенно опирается на априорную информацию,
связанную с исходной задачей. Такой информацией может быть
принадлежность решения к тому или иному классу функций,
обладающих определенными свойствами гладкости, свойства опе-
раторов задачи, свойства входных данных и т. д. Априорная ин-
формация во многих случаях оказывает решающее влияние на вы-
бор методов вычислительной математики, используемых для ре-
шения указанных алгебраических уравнений. При этом, как пра-
вило, должно иметь место соответствие между априорными требо-
ваниями для исходной задачи и свойствами ее алгебраического
аналога. Это прежде всего относится к операторам задач, свойства
которых должны быть по возможности сохранены при редукции
задачи от непрерывных аргументов к дискретным.