От редактора перевода ........................     5

Предисловие ... .........................     7

Глава 1. Непрерывные краевые задачи и необходимость чи-
сленной дискретизации. Конечно-разностные методы   9

1.1. Введение ..........................     9

1.2. Некоторые примеры непрерывных задач ...........    10

1.3. Конечные разности в одномерном случае  ..........    13

1.4. Задача Неймана .,,..,,,.......• ......    21

1.5. Нелинейные задачи .....................    24

1.6. Конечные разности в многомерном случае ..........    27

1.7. Задачи для областей неправильной формы ..........    34

1.8. Нелинейные задачи в многомерном случае ..........    36

1.9. Аппроксимация и сходимость ................    36

1.10. Заключительные замечания .................    38

Литература , , . , «., ,.,,...,,,..........    39

Глава 2. Методы взвешенных невязок. Использованиэ не-
прерывных базисных функций ..........   40

2.1. Введение. Аппроксимация базисными функциями ,.,....    40

2.2. Аппроксимации с помощью взвешенных невязок .......    44

2.3. Аппроксимация решений дифференциальных уравнений и ис-
пользование базисных функций; виды взвешенных невязок.
Выполнение краевых условий с помощью базисных функций   51

2.4. Одновременная аппроксимация решений дифференциальных урав-
нений и краевых условий ..................    58

2.5. Естественные краевые условия ................    64

2.6. Методы граничного решения .................    71

2.7. Системы дифференциальных уравнений ............    75

2.8. Нелинейные задачи ... .................      87

2.9. Заключительные замечания '............... '.    90

Литература , ..........................    91

Глава 3. Кусочно-определенные базисные функции и метод
конечных элементов ..............   93

3.1. Введение. Понятие конечного элемента .,..,.,,.,..    93

3.2. Некоторые типичные локально определенные базисные функции
с минимальными носителями ................    94

3.3. Аппроксимация решений дифференциальных уравнений и гре-

Оглавление  317

бования гладкости .....................   100

3.4. Слабая формулировка и метод Галеркина ..........   103

3.5. Некоторые одномерные задачи ................   104

3.6. Стандартная дискретная система. Физический аналог процесса
ансамблирования уравнения .................   116

3.7. Обобщение конечно-элементных алгоритмов на двумерные и
трехмерные задачи .....................   123

3.8. Метод конечных элементов для двумерных задач теплопровод-
ности ...........................   129

3.9. Анализ двумерных задач теории упругости в напряжениях с
использованием треугольных элементов ...........   142

3.10. Является ли метод конечных разностей частным случаем метода
конечных элементов? ....................   147

3.11. Заключительные замечания .................   150

Литература ...........................   152

Глава 4. Конечно-элементные аппроксимации высшего по-
рядка .....................  154

4.1. Введение ..........................   154

4.2. Степень многочленов, составляющих базисные функции, и ско-
рость сходимости ......................   155

4.3. Кусочное тестирование ...................   157

4.4. Стандартные базисные функции высших степеней для одномер-
ных элементов с С°-гладкостью ...............   158

4.5. Иерархические формы высших степеней для одномерных эле-
ментов с С°-гладкостыо ...................   163

4.6. Двумерные базисные функции высших степеней для прямоуголь-
ных конечных элементов ..................   171

4.7. Двумерные базисные функции для треугольников .......   178

4.8. Трехмерные базисные функции ...............   182

4.9. Заключительные замечания .................   182

Литература ...........................   184

Глава 5. Отображение и численное интегрирование ...  185

5.1. Понятие отображения ....................   185

5.2. Численное интегрирование ..................   196

5.3. Дополнительные сведения об отображении ..........   205

5.4. Построение сетки и заключительные замечания ........   217

Литература ...........................   219

Глава б. Вариационные методы ............. 221

6.1. Введение ..........................   221

6.2. Вариационные принципы ..................   221

6.3. Конструирование естественных вариационных принципов . . .   226

6.4. Приближенное решение дифференциальных уравнений методом
Релея—Ритца .......................   233

6.5. Использование множителей Лагранжа ............   236

6.6. Общие вариационные принципы ...............   241

6.7. Штрафные функции .....................   243

6.8. Метод наименьших квадратов ................   245

6.9. Заключительные замечания .................   250

Литература .,,.,..,,....,.,....,...,,.   250