558

ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ [ГЛ. 11

Здесь в основном определились два направления. Первое связано
с повышенным порядком аппроксимации разностных уравнений.
Такие идеи рассмотрены в исследованиях А. А. Самарского [З],
Н. Н. Яненко и А. Н. Валпуллина [З], Митчелла [3] и др. Второе
направление связано с построением решений на основе разностных
уравнений сравнительно невысокого порядка на последователь-
ности сеток с изменяющимися шагами. Эти методы получили на-
звание экстраполяции по Ричардсопу и нашли отражение в иссле-
дованиях Е. А. Волкова [41, Фокса [41, В. В. Шайдурова [4] и др.

Методы построения разностных схем для уравнений эллип-
тического и параболического типов в классе разрывных коэффи-
циентов разработаны на основе интегро-пнтерполяционного ме-
тода А. Н. Тихоновым, А. А. Самарским [4] и др.

Вариационные и проекционные методы. В последние годы
заметно повысился интерес к вариационным и проекционным
методам решения задач математической физики. Эти методы
давно заняли в вычислительной математике важное место. Осо-
бенно эффективны они в тех задачах, где искомыми являются
функционалы от решения. Оказалось, что уже при сравнитель-
но невысоких приближениях функционалы получаются с боль-
шой точностью. Наиболее полное теоретическое обоснование
методов дано в исследованиях С. Г. Михлина [11, который уста-
новил необходимые и достаточные условия устойчивости вариа-
ционных методов в пространствах с энергетической нормой. Актив-
ное развитие вариационных методов обнаружило и некоторые их
недостатки, связанные с трудностью построения базисных функций.

Новое направление в методе построения разностных уравне-
ний для задач математической физики было развито на основе
использования вариационных и проекционных методов в сочета-
нии со специальной конструкцией базисных функций, отличных
от нуля в некоторых сравнительно небольших областях, принад-
лежащих всей области определения решения. Первые работы
Куранта [51, Л. А. Оганесяна [5], Лионса, Темама [5], Сеа [57,
Обэна [5], Биркгофа, Шульца, Варги [5], Брембела положили
начало развитию этого направления. Развитие этих методов обя-
зано прежде всего работам Бабушки [5], Стрэнга и Фикса [5],
Зламала [51, Дугласа и Дюпона [51, В. Я. Рпвкинда [41, В. И.
Агошкова [5], Г. И. Марчука, В. И. Агошкова [5], А. М. Мацоки-
на [4], В. В. ГОайдурова [3] и др.

Решение многомерных стационарных задач. Интенсивное раз-
витие методов решения линейных алгебраических уравнений
с якобиевыми и блочно-трехдиагональными матрицами приводит
к созданию ряда первоклассных численных алгоритмов решения
стационарных задач, основанных на факторизации разностного
оператора задачи. Среди методов факторизации особое место за-
нимают различные варианты безытерациопных методов матрич-
ной факторизации, разработанные В. С. Владимировым [121,

11.2] МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

559

М. В. Келдышем [51, И. М. Гельфандом, О. В. Локуциевским [12],
К. И. Бабенко, В. В. Русановым [121, Н. Н. Ченцовым, С. К. Го-
дуновым [121, А. А. Абрамовым, В. Б. Андреевым [121 и др.

На основе работ М. И. Вишика, С. Л. Соболева и Л. А. Лю-
стерника для решения краевых задач в областях сложной гео-
метрии В. К. Саульевым [41 был предложен метод фиктивных об-
ластей, исследованный впоследствии Мпно [21, В. Д. Копченовым
[41, Л. А. Руховцом [41, А. Н. Коноваловым [4] и др. Исследова-
нию разностных уравнений, аппроксимирующих краевую задачу,
возмущенную по методу фиктивных областей, посвящены, напри-
мер, работы В. И. Лебедева [41 и В. Я. Ривкинда [41.

В последнее время интенсивно развиваются безытерационные
методы решения разностных уравнений, соответствующих диф-
ференциальным задачам, допускающим разделение переменных.
Разработанная специальная техника быстрого преобразования
Фурье и циклической редукции позволяет существенно сократить
объем вычислительной работы. Это направление представлено
работами Кули и Таки [13], Бужби, Голуба и Нилсона [12], Хок-
ни [13] и др.

Вместе с развитием методов точной факторизации активно раз-
виваются методы приближенной факторизации, в которых факто-
ризация оператора комбинируется с методом последовательных
приближений. Необходимость в таких алгоритмах обнаружилась
сразу же, как только задачи математической физики начали ре-
дуцироваться к большим алгебраическим системам. Первые работы
Н. И. Булеева [151, Бейкера и Олифанта [151 дали толчок к раз-
витию новых методов решения многомерных задач на основе
быстросходящихся процессов.

Начало 60-х годов ознаменовалось крупным вкладом в вы-
числительную математику, связанным с именами Дугласа, Писс-
мана и Рэчфорда [151, предложившими метод переменных направ-
лений. Успех метода был обеспечен использованием простой ре-
дукции многомерной задачи к последовательности одномерных
с матрицами якобиевого типа, легко обращаемыми на ЭВМ. В ко-
нечном итоге метод продольно-поперечных направлений сводится
к итерационному методу, в котором оптимизация вычислений
осуществляется специальным подбором оператора сжатия, со-
стоящего из произведения более простых операторов и ряда сво-
бодных параметров релаксации. При этом последовательное об-
ращение простых операторов, как правило, осуществляется на
основе одномерной факторизации. Такие итерационные схемы
весьма экономичны и эффективны при незначительном, по срав-
нению с явным методом Ричардсона, увеличении объема вычисли-
тельной работы в расчете на одну итерацию. Метод переменных
направлений оказал существенное влияние на построение алго-
ритмов в различных областях прикладной математики и развитие
исследований по нелокальным и блочно-итерационным процессам.