560

ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ [ГЛ. 11

Теоретическим исследованиям этого и родственных ему методов
посвящены работы Дугласа [15], Е. Г. Дьяконова [151, А. А. Са-
марского [31, Биркгофа, Варги, Янга [15], Вакспресса [151, Кел-
лога [15], Ганна [15], Ю. В. Воробьева [15] и др.

Развиваются методы, основанные на однородных и неоднород-
ных аппроксимациях. В случае неоднородной аппроксимации
каждая из вспомогательных задач может и не аппроксимировать
исходную задачу, но в совокупности и в специальных нормах
такая аппроксимация имеет место. Эти методы были названы ме-
тодами расщепления, они развиты в работах советских матема-
тиков Н. Н. Яненко [3, 15], Е. Г. Дьяконова [3, 151, А. А. Са-
марского [3, 15], В. К. Саульева [З], Г. И. Марчука [15] и др.

Большой цикл исследований посвящен выбору оптимизаци-
онных параметров схем расщепления на основе спектральных и
вариационных методов. Это работы А. А. Самарского [3, 151,
Е. Г. Дьяконова [151, В. П. Ильина [3, 15] и др.

Различные аспекты теории метода попеременных направле-
ний и метода расщеплений рассмотрены в работах В. Б. Андре-
ева [151, Видлунда [15], Фейрвезера, Митчелла [151 и др.

Решение многомерных нестационарных задач. Опыт решения
одномерных задач подготовил основу для формирования алго-
ритмов решения более сложных задач математической физики.
Важным этапом в развитии методов решения нестационарных
двумерных задач явился метод попеременных направлений, ос-
нованный на однородной аппроксимации; первоначально он был
применен для решения многомерных уравнений параболического
типа и затем получил широкое распространение во многих зада-
чах математической физики.

Развитие методов решения многомерных нестационарных задач
связано с методами расщепления, основанными, как правило, на
неоднородных разностных аппроксимациях исходной задачи.
Сущность метода расщепления состоит в редукции сложного опе-
ратора к простейшим. При таком подходе интегрирование данного
уравнения сводится к последовательному интегрированию урав-
нений более простой структуры. При этом разностные схемы обя-
заны удовлетворять условиям аппроксимации и устойчивости
только в конечном итоге. Это дает возможность гибкого построе-
ния схем по существу для всех основных задач математической
физики. Для явных аппроксимаций метод расщепления был пред-
ложен К. А. Багриновским и С. К. Годуновым [151. Схемы рас-
щепления для неявных аппроксимаций предложены Н. Н. Яненко
[151, Е. Г. Дьяконовым [151, А. А. Самарским [15], Г. И. Мар-
чуком [3] и др.

Эти методы нашли широкое применение для разнообразных
по своему характеру задач и стимулировали формирование более
общего подхода к решению задач математической физики на ос-
нове метода слабой аппроксимации, разработанного Н. Н. Янен-

11.2]

МЕТОДЫ   РЕШЕНИЯ   ЗАДАЧ  МАТЕМАТИЧЕСКОЙ  ФИЗИКИ

561

ко [3, 15], А. А. Самарским [3, 15]. Оказалось, что метод расщеп-
ления можно толковать как метод слабой аппроксимации исход-
ного уравнения некоторым другим, более простым. Условия, при
которых имеет место сходимость решения для метода слабой
аппроксимации, сформулированы в теореме Яненко — Демидо-
ва [151 и в работах В. И.Лебедева [151 и Е. Г. Дьяконова [3, 151.
Метод слабой аппроксимации нашел естественное применение
в задачах гидродинамики, метеорологии, океанологии, теории пере-
носа излучения и т. д. (Г. И. Марчук [3, 17], Н. Н. Яненко [31).

Широкое применение в задачах гидродинамики, метеороло-
гии, океанологии получила оригинальная схема типа предиктор-
корректор Лакса—Вендрофа, в которой предиктор предложен
в виде явной разностной схемы. Эта схема является условно устой-
чивой, она проста в реализации и имеет второй порядок аппрокси-
мации по всем переменным. Подробное исследование схемы при-
ведено в книге Рихтмайера и Мортона [31.

Различные варианты метода предиктор-корректор на основе
неявных разностных аппроксимаций предложены Брайеном [41,
Дугласом [151,   И. Д. Софроновым   [121, Г. И. Марчуком,
Н. Н. Яненко [15] и др. Оказалось, что все эти схемы в известном
смысле эквивалентны и различаются только методами реализа-
ции. В последней из перечисленных работ в качестве предиктора
применена неявная схема расщепления первого порядка точности
с факторизованным оператором. Для задач гидродинамики в ка-
честве предиктора используются неявные мажорантные схемы.

Особый интерес представляет сформулированный Лпонсом
и Темамом [5J, а также Бенсусаном, Лионсом и Темамом [151, метод
декомпозиции и децентрализации, который примыкает к методам
расщепления и слабой аппроксимации.

Метод частиц в ячейке. В последние годы интенсивно разви-
вается новый метод решения многомерных задач математической
физики, связанный с именем Харлоу [19]. Этот метод получил
название метода больших частиц. Он широко применяется для
расчета многомерных гидродинамических течений с сильными
деформациями жидкости, большими относительными перемеще-
ниями и соударяющимися поверхностями раздела. Сущность мето-
да состоит в следующем. Уравнения гидродинамики на основе
слабой аппроксимации на каждом малом временном интервале
сводятся к двум более простым системам, первая из которых опи-
сывает адаптацию гидродинамических полей между собой без
учета адвективных членов и интегрируется обычными способами
в неподвижной эйлеровой сетке, а вторая описывает перенос суб-
станций в лагранжевой системе координат. Именно при решении
второй системы используется феноменологическое упрощение мо-
дели сплошной среды на основе замены ее системой частиц в каждой
ячейке эйлеровой системы, так что суммарный баланс массы, им-
пульса и энергии частиц в ячейке отождествляется с соответствую-